Optimización convexa

La optimización convexa es un subcampo de la optimización matemática que estudia el problema de minimizar funciones convexas sobre conjuntos convexos (o, equivalentemente, maximizar funciones cóncavas sobre conjuntos convexos). Muchas clases de problemas de optimización convexa admiten algoritmos de tiempo polinomial, ^{[ 1 ]} mientras que la optimización matemática es, en general, NP-difícil . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Definición

Forma abstracta

Un problema de optimización convexa se define por dos ingredientes: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

La función objetivo , que es una función convexa de valor real de n variables, $f:{\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ;
El conjunto factible , que es un subconjunto convexo $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ .

El objetivo del problema es encontrar algún $\mathbf {x^{\ast }} \in C$ alcanzar

\inf\{f(\mathbf {x} ):\mathbf {x} \in C\}

.

En general, existen tres opciones con respecto a la existencia de una solución: ^{[ 7 ]}^{: cap. 4}

Si existe un punto x * de este tipo, se le denomina punto óptimo o solución ; el conjunto de todos los puntos óptimos se denomina conjunto óptimo ; y el problema se denomina resoluble .
Si $f$ es ilimitado por debajo de $C$ , o no se alcanza el ínfimo, entonces se dice que el problema de optimización no está acotado .
De lo contrario, si $C$ Si el conjunto es vacío, entonces se dice que el problema es infactible .

Formato estándar

Un problema de optimización convexa está en forma estándar si se escribe como

{\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&f(\mathbf {x} )\\&\operatorname {subject\ to} &&g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{i}(\mathbf {x} )=0,\quad i=1,\dots ,p,\end{aligned}}

donde: ^{[ 7 ]}^{: cap. 4}

$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ es el vector de variables de optimización;
La función objetivo $f:{\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ es una función convexa ;
Las funciones de restricción de desigualdad $g_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , $i=1,\ldots ,m$ son funciones convexas;
Las funciones de restricción de igualdad $h_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , $i=1,\ldots ,p$ son transformaciones afines , es decir, de la forma: $h_{i}(\mathbf {x} )=\mathbf {a_{i}} \cdot \mathbf {x} -b_{i}$ , dónde $\mathbf {a_{i}}$ es un vector y $b_{i}$ es un escalar.

El conjunto factible $C$ del problema de optimización consta de todos los puntos $\mathbf {x} \in {\mathcal {D}}$ que satisface las restricciones de desigualdad e igualdad. Este conjunto es convexo porque ${\mathcal {D}}$ es convexo, los subconjuntos de funciones convexas son convexos, los conjuntos afines son convexos y la intersección de conjuntos convexos es convexa. ^{[ 7 ]}^{: cap. 2}

Muchos problemas de optimización pueden formularse de forma equivalente en esta forma estándar. Por ejemplo, el problema de maximizar una función cóncava. $f$ puede reformularse de forma equivalente como el problema de minimizar la función convexa $-f$ El problema de maximizar una función cóncava sobre un conjunto convexo se denomina comúnmente problema de optimización convexa. ^{[ 8 ]}

Forma epigráfica (forma estándar con objetivo lineal)

En la forma estándar es posible asumir, sin pérdida de generalidad, que la función objetivo f es una función lineal . Esto se debe a que cualquier programa con un objetivo general puede transformarse en un programa con un objetivo lineal añadiendo una sola variable t y una sola restricción , como sigue: ^{[ 9 ]}^{: 1.4}

{\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} ,t}{\operatorname {minimize} }}&&t\\&\operatorname {subject\ to} &&f(\mathbf {x} )-t\leq 0\\&&&g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{i}(\mathbf {x} )=0,\quad i=1,\dots ,p,\end{aligned}}

Forma cónica

Todo programa convexo puede presentarse en forma cónica , lo que significa minimizar una función objetivo lineal sobre la intersección de un plano afín y un cono convexo: ^{[ 9 ]}^{: 5.1}

{\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&c^{T}x\\&\operatorname {subject\ to} &&x\in (b+L)\cap K\end{aligned}}

donde K es un cono convexo cerrado y puntiagudo , L es un subespacio lineal de R ⁿ , y b es un vector en R ⁿ . Un programa lineal en forma estándar es el caso especial en el que K es el ortante no negativo de R ⁿ .

Eliminación de restricciones de igualdad lineal

Es posible convertir un programa convexo en forma estándar a un programa convexo sin restricciones de igualdad. ^{[ 7 ]}^{: 132} Denotemos las restricciones de igualdad h _i ( x )=0 como Ax = b , donde A tiene n columnas. Si Ax = b es infactible, entonces, por supuesto, el problema original es infactible. De lo contrario, tiene alguna solución x ₀ , y el conjunto de todas las soluciones se puede presentar como: Fz + x ₀ , donde z está en R ^k , k = n -rank( A ), y F es una matriz n × k . Sustituyendo x = Fz + x ₀ en el problema original se obtiene:

${\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&f(\mathbf {F\mathbf {z} +\mathbf {x} _{0}} )\\&\operatorname {subject\ to} &&g_{i}(\mathbf {F\mathbf {z} +\mathbf {x} _{0}} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\\end{aligned}}$

donde las variables son z . Nótese que hay rango( A ) menos variables. Esto significa que, en principio, se puede limitar la atención a problemas de optimización convexa sin restricciones de igualdad. Sin embargo, en la práctica, suele preferirse mantener las restricciones de igualdad, ya que pueden hacer que algunos algoritmos sean más eficientes y también facilitan la comprensión y el análisis del problema.

Casos especiales

Las siguientes clases de problemas son todos problemas de optimización convexa, o pueden reducirse a problemas de optimización convexa mediante transformaciones simples: ^{[ 7 ]}^{: cap. 4}^{[ 10 ]}

Los problemas de programación lineal son los programas convexos más simples. En la programación lineal, tanto la función objetivo como las funciones de restricción son lineales.
La programación cuadrática es la siguiente más sencilla. En la programación cuadrática, todas las restricciones son lineales, pero la función objetivo puede ser una función cuadrática convexa.
La programación de conos de segundo orden es más general.
La programación semidefinida es más general.
La optimización cónica es aún más general; véase la figura de la derecha.

Otros casos especiales incluyen:

Mínimos cuadrados
Minimización cuadrática con restricciones cuadráticas convexas
Programación geométrica
Maximización de la entropía con las restricciones adecuadas.

Propiedades

Las siguientes son propiedades útiles de los problemas de optimización convexa: ^{[ 11 ]}^{[ 7 ]}^{: cap. 4}

Todo punto que sea un mínimo local es también un mínimo global ;
El conjunto óptimo es convexo;
Si la función objetivo es estrictamente convexa, entonces el problema tiene como máximo un punto óptimo.

Estos resultados son utilizados por la teoría de minimización convexa junto con nociones geométricas del análisis funcional (en espacios de Hilbert) como el teorema de proyección de Hilbert , el teorema del hiperplano separador y el lema de Farkas .

Algoritmos

Problemas sin restricciones y problemas con restricciones de igualdad

Los problemas convexos más fáciles de resolver son los problemas sin restricciones , o aquellos con solo restricciones de igualdad. Dado que las restricciones de igualdad son todas lineales, se pueden eliminar mediante álgebra lineal e integrar en la función objetivo, transformando así un problema con restricciones de igualdad en uno sin restricciones.

En la clase de problemas sin restricciones (o con restricciones de igualdad), los más simples son aquellos en los que la función objetivo es cuadrática . Para estos problemas, las condiciones de KKT (que son necesarias para la optimalidad) son todas lineales, por lo que pueden resolverse analíticamente. ^{[ 7 ]}^{: cap. 11}

Para problemas sin restricciones (o con restricciones de igualdad) con una función objetivo convexa general que es dos veces diferenciable, se puede utilizar el método de Newton . Este método puede considerarse como la reducción de un problema convexo general sin restricciones a una secuencia de problemas cuadráticos. ^{[ 7 ]}^{: cap. 11} El método de Newton se puede combinar con la búsqueda lineal para un tamaño de paso adecuado, y se puede demostrar matemáticamente que converge rápidamente.

Otros algoritmos eficientes para la minimización sin restricciones son el descenso de gradiente (un caso especial del descenso más pronunciado ).

Problemas generales

Los problemas más complejos son aquellos con restricciones de desigualdad. Una forma común de resolverlos es reducirlos a problemas sin restricciones añadiendo una función barrera , que impone las restricciones de desigualdad, a la función objetivo. Estos métodos se denominan métodos de punto interior . ^{[ 7 ]}^{: cap. 11} Deben inicializarse encontrando un punto interior factible mediante los llamados métodos de fase I , que encuentran un punto factible o demuestran que no existe ninguno. Los métodos de fase I generalmente consisten en reducir la búsqueda en cuestión a un problema de optimización convexa más simple. ^{[ 7 ]}^{: cap. 11}

Los problemas de optimización convexa también pueden resolverse mediante los siguientes métodos contemporáneos: ^{[ 12 ]}

Métodos de agrupamiento (Wolfe, Lemaréchal, Kiwiel) y
Métodos de proyección de subgradiente (Polyak),
Métodos de punto interior , ^{[ 1 ]} que utilizan funciones de barrera autoconcordantes ^{[ 13 ]} y funciones de barrera autorregulares. ^{[ 14 ]}
Métodos de planos de corte
Método elipsoidal
Método de subgradiente
Subgradientes duales y el método de deriva más penalización

Los métodos de subgradiente se pueden implementar de forma sencilla y, por lo tanto, se utilizan ampliamente. ^{[ 15 ]} Los métodos de subgradiente dual son métodos de subgradiente aplicados a un problema dual . El método de deriva más penalización es similar al método de subgradiente dual, pero toma un promedio temporal de las variables primales.

multiplicadores de Lagrange

Consideremos un problema de minimización convexa dado en forma estándar por una función de coste. $f(x)$ y restricciones de desigualdad $g_{i}(x)\leq 0$ para $1\leq i\leq m$ . Entonces el dominio ${\mathcal {X}}$ es:

{\mathcal {X}}=\left\{x\in X\vert g_{1}(x),\ldots ,g_{m}(x)\leq 0\right\}.

La función lagrangiana para el problema es ^{[ 16 ].}

L(x,\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m})=\lambda _{0}f(x)+\lambda _{1}g_{1}(x)+\cdots +\lambda _{m}g_{m}(x).

Para cada punto $x$ en $X$ que minimiza $f$ encima $X$ , existen números reales $\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},$ denominados multiplicadores de Lagrange , que satisfacen simultáneamente estas condiciones:

$x$ minimiza $L(y,\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m})$ en general $y\in X,$
$\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}\geq 0,$ con al menos uno $\lambda _{k}>0,$
$\lambda _{1}g_{1}(x)=\cdots =\lambda _{m}g_{m}(x)=0$ (holgura complementaria).

Si existe un "punto estrictamente factible", es decir, un punto $z$ satisfactorio

g_{1}(z),\ldots ,g_{m}(z)<0,

entonces la afirmación anterior puede reforzarse para exigir que $\lambda _{0}=1$ .

Por el contrario, si algunos $x$ en $X$ satisface (1)–(3) para escalares $\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{m}$ con $\lambda _{0}=1$ entonces $x$ es seguro que minimizará $f$ encima $X$ .

Software

Existe un amplio ecosistema de software para la optimización convexa. Este ecosistema se divide en dos categorías principales: por un lado, los solucionadores y, por otro, las herramientas de modelado (o interfaces ).

Los solucionadores implementan los algoritmos por sí mismos y suelen estar escritos en C. Requieren que los usuarios especifiquen los problemas de optimización en formatos muy específicos, que pueden no ser naturales desde una perspectiva de modelado. Las herramientas de modelado son programas independientes que permiten al usuario especificar una optimización con una sintaxis de alto nivel. Gestionan todas las transformaciones desde y hacia el modelo de alto nivel del usuario y el formato de entrada/salida del solucionador.

A continuación se presentan dos tablas. La primera muestra herramientas de modelado (como CVXPY y JuMP.jl) y la segunda, solucionadores (como SCS y MOSEK). Estas tablas no son exhaustivas.

Aplicaciones

La optimización convexa se puede utilizar para modelar problemas en una amplia gama de disciplinas, como sistemas de control automático , estimación y procesamiento de señales , comunicaciones y redes, diseño de circuitos electrónicos , ^{[ 7 ]}^{: 17} análisis y modelado de datos, finanzas , estadística ( diseño experimental óptimo ), ^{[ 22 ]} y optimización estructural , donde el concepto de aproximación ha demostrado ser eficiente. ^{[ 7 ]}^{[ 23 ]} La optimización convexa se puede utilizar para modelar problemas en los siguientes campos:

Optimización de cartera . ^{[ 24 ]}
Análisis de riesgo en el peor de los casos. ^{[ 24 ]}
Publicidad óptima. ^{[ 24 ]}
Variaciones de la regresión estadística (incluidas la regularización y la regresión de cuantiles ). ^{[ 24 ]}
Ajuste de modelos ^{[ 24 ]} (en particular, clasificación multiclase ^{[ 25 ]} ).
Optimización de la generación de electricidad . ^{[ 25 ]}
Optimización combinatoria . ^{[ 25 ]}
Modelado no probabilístico de la incertidumbre . ^{[ 26 ]}
Localización mediante señales inalámbricas ^{[ 27 ]}

Extensiones

Las extensiones de la optimización convexa incluyen la optimización de funciones biconvexas , pseudoconvexas y cuasiconvexas . Las extensiones de la teoría del análisis convexo y los métodos iterativos para la resolución aproximada de problemas de minimización no convexos se dan en el campo de la convexidad generalizada , también conocido como análisis convexo abstracto.

Véase también

Notas

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Referencias

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Enlaces externos

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