Series convexas

En matemáticas, particularmente en análisis funcional y análisis convexo , ununa serie convexa es unaseriede la forma${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$dónde${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$son todos elementos de un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$y todos${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$son números reales no negativos que suman${\displaystyle 1}$(es decir, de tal manera que${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$).

Supongamos que${\displaystyle S}$es un subconjunto de${\displaystyle X}$y${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$es una serie convexa en${\displaystyle X.}$

• Si todo${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$pertenecer a${\displaystyle S}$luego la serie convexa${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$se llama unseries convexas con elementos de${\displaystyle S}$.
• Si el conjunto${\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}$es un conjunto acotado (de von Neumann) entonces la serie llamadaseries b-convexas .
• La serie convexa${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$Se dice que es unserie convergente si la sucesión de sumas parciales${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$converge en${\displaystyle X}$a algún elemento de${\displaystyle X,}$que se llama elsuma de la serie convexa .
• La serie convexa se llamaCauchy si${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}x_{i}}$es una serie de Cauchy , lo que por definición significa que la secuencia de sumas parciales${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }}$es una secuencia de Cauchy .

Las series convexas permiten definir tipos especiales de subconjuntos que se comportan bien y son útiles, con muy buenas propiedades de estabilidad.

Si${\displaystyle S}$es un subconjunto de un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle S}$Se dice que es un:

• conjunto cs-cerrado si alguna serie convexa convergente con elementos de${\displaystyle S}$tiene su (cada) suma en${\displaystyle S.}$
  • En esta definición,${\displaystyle X}$no es necesario que sea Hausdorff, en cuyo caso la suma puede no ser única. En cualquier caso de este tipo, requerimos que cada suma pertenezca a${\displaystyle S.}$
• conjunto cs-cerrado inferior o unconjunto lcs-cerrado si existe unespacio de Fréchet${\displaystyle Y}$de tal manera que${\displaystyle S}$es igual a la proyección sobre${\displaystyle X}$(a través de la proyección canónica) de algún subconjunto cs-cerrado${\displaystyle B}$de${\displaystyle X\times Y}$Todo conjunto cs-cerrado es cs-cerrado inferior y todo conjunto cs-cerrado inferior es idealmente convexo inferior y convexo (los recíprocos no son ciertos en general).
• idealmente conjunto convexo si cualquier b-serie convergente con elementos de${\displaystyle S}$tiene su suma en${\displaystyle S.}$
• conjunto idealmente convexo inferior o unconjunto li-convexo si existe unespacio de Fréchet${\displaystyle Y}$de tal manera que${\displaystyle S}$es igual a la proyección sobre${\displaystyle X}$(a través de la proyección canónica) de algún subconjunto idealmente convexo${\displaystyle B}$de${\displaystyle X\times Y.}$Todo conjunto idealmente convexo es inferiormente idealmente convexo. Todo conjunto inferiormente idealmente convexo es convexo, pero lo contrario no suele ser cierto.
• Conjunto cs-completo si existe alguna serie convexa de Cauchy con elementos de${\displaystyle S}$es convergente y su suma está en${\displaystyle S.}$
• Conjunto bcs-completo si existe alguna serie b-convexa de Cauchy con elementos de${\displaystyle S}$es convergente y su suma está en${\displaystyle S.}$

El conjunto vacío es convexo, idealmente convexo, bcs-completo, cs-completo y cs-cerrado.

Se utilizan las siguientes notaciones y nociones, donde${\displaystyle {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y}$y${\displaystyle {\mathcal {S}}:Y\rightrightarrows Z}$son multifuncionales y${\displaystyle S\subseteq X}$es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial topológico${\displaystyle X:}$

• Elgráfico de una multifuncionalidad${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es el conjunto${\displaystyle \operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$escerrado (respectivamente,cs-cerrado ,cs-cerrado inferior ,convexo ,idealmente convexo ,inferior idealmente convexo ,cs-completo ,bcs-completo ) si lo mismo es cierto para el gráfico de${\displaystyle {\mathcal {R}}}$en${\displaystyle X\times Y.}$
  • La multifuncional${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es convexa si y solo si para todo${\displaystyle x_{0},x_{1}\in X}$y todo${\displaystyle r\in [0,1],}$${\displaystyle r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).}$
• Elinversa de una multifuncional${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es multifuncional${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X}$definido por${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(y):=\left\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\right\}.}$Para cualquier subconjunto${\displaystyle B\subseteq Y,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).}$
• Eldominio de una multifuncional${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es${\displaystyle \operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\left\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \emptyset \right\}.}$
• Elimagen de una multifuncional${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es${\displaystyle \operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).}$Para cualquier subconjunto${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).}$
• Elcomposición${\displaystyle {\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Z}$se define por${\displaystyle \left({\mathcal {S}}\circ {\mathcal {R}}\right)(x):=\cup _{y\in {\mathcal {R}}(x)}{\mathcal {S}}(y)}$para cada${\displaystyle x\in X.}$

Dejar${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$sean espacios vectoriales topológicos,${\displaystyle S\subseteq X,T\subseteq Y,}$y${\displaystyle A\subseteq X\times Y.}$Se deducen las siguientes implicaciones:

completo${\displaystyle \implies }$cs-completo${\displaystyle \implies }$cs-cerrado${\displaystyle \implies }$cs-cerrado inferior (lcs-cerrado) e idealmente convexo.

cs-cerrado inferior (lcs-cerrado) o idealmente convexo${\displaystyle \implies }$inferior idealmente convexa (li-convexa)${\displaystyle \implies }$convexo.

(H x )${\displaystyle \implies }$(Hw x )${\displaystyle \implies }$convexo.

Las implicaciones inversas no se cumplen en general.

Si${\displaystyle X}$entonces está completo,

1. ${\displaystyle S}$es cs-completo (respectivamente, bcs-completo) si y solo si${\displaystyle S}$es cs-cerrada (respectivamente, idealmente convexa).
2. ${\displaystyle A}$satisface (H x ) si y solo si${\displaystyle A}$está cs-cerrado.
3. ${\displaystyle A}$satisface (Hw x ) si y solo si${\displaystyle A}$es idealmente convexo.

Si${\displaystyle Y}$entonces está completo,

1. ${\displaystyle A}$satisface (H x ) si y solo si${\displaystyle A}$es cs-completo.
2. ${\displaystyle A}$satisface (Hw x ) si y solo si${\displaystyle A}$es bcs-completo.
3. Si${\displaystyle B\subseteq X\times Y\times Z}$y${\displaystyle y\in Y}$entonces:
   1. ${\displaystyle B}$satisface (H (x, y) ) si y solo si${\displaystyle B}$satisface (H x ).
   2. ${\displaystyle B}$satisface (Hw (x, y) ) si y solo si${\displaystyle B}$satisface (Hw x ).

Si${\displaystyle X}$es localmente convexa y${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$entonces está limitado,

1. Si${\displaystyle A}$satisface (H x ) entonces${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$está cs-cerrado.
2. Si${\displaystyle A}$satisface (Hw x ) entonces${\displaystyle \operatorname {Pr} _{X}(A)}$es idealmente convexo.

Si${\displaystyle S}$sea ​​un subconjunto convexo no vacío de un espacio vectorial topológico${\displaystyle X}$entonces,

1. Si${\displaystyle S}$está cerrado o abierto entonces${\displaystyle S}$está cs-cerrado.
2. Si${\displaystyle X}$es Hausdorff y de dimensión finita entonces${\displaystyle S}$está cs-cerrado.
3. Si${\displaystyle X}$es primero contable y${\displaystyle S}$es idealmente convexo entonces${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} S\right).}$

Dejar${\displaystyle X}$ser un espacio Fréchet ,${\displaystyle Y}$ser un espacio vectorial topológico,${\displaystyle A\subseteq X\times Y,}$y${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}:X\times Y\to Y}$sea ​​la proyección canónica. Si${\displaystyle A}$es inferior idealmente convexo (respectivamente, inferior cs-cerrado) entonces lo mismo es cierto para${\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(A).}$

Si${\displaystyle X}$es un primer espacio contable con barril y si${\displaystyle C\subseteq X}$entonces:

1. Si${\displaystyle C}$es inferior idealmente convexo entonces${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C,}$dónde${\displaystyle C^{i}:=\operatorname {aint} _{X}C}$denota el interior algebraico de${\displaystyle C}$en${\displaystyle X.}$
2. Si${\displaystyle C}$es idealmente convexo entonces${\displaystyle C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.}$

• Teorema de Ursescu : Generalización de los teoremas de grafos cerrados, aplicaciones abiertas y acotación uniforme. 

• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, NJ Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556 . OCLC 285163112 – vía Internet Archive .  
• Baggs, Ivan (1974). "Funciones con un grafo cerrado" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 43 (2): 439– 442. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN 0002-9939 .