Generador de números aleatorios por convolución

En estadística y software informático , un generador de números aleatorios por convolución es un método de muestreo de números pseudoaleatorios que se puede utilizar para generar variables aleatorias a partir de ciertas clases de distribución de probabilidad . La ventaja particular de este tipo de enfoque es que permite aprovechar el software existente para generar variables aleatorias a partir de otras distribuciones, generalmente no uniformes. Sin embargo, se pueden obtener algoritmos más rápidos para las mismas distribuciones mediante otros enfoques más complejos. ^{[ 1 ]}

Varias distribuciones pueden expresarse como la suma (posiblemente ponderada) de dos o más variables aleatorias de otras distribuciones. (La distribución de la suma es la convolución de las distribuciones de las variables aleatorias individuales).

Consideremos el problema de generar una variable aleatoria con una distribución de Erlang ,${\displaystyle X\ \sim \operatorname {Erlang} (k,\theta )}$Dicha variable aleatoria puede definirse como la suma de k variables aleatorias, cada una con una distribución exponencial.${\displaystyle \operatorname {Exp} (k\theta )\,}$Este problema equivale a generar un número aleatorio para un caso especial de la distribución Gamma , en la que el parámetro de forma toma un valor entero.

Observa que:

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{k\theta }}+{\frac {1}{k\theta }}+\cdots +{\frac {1}{k\theta }}={\frac {1}{\theta }}.}$

Ahora se puede generar${\displaystyle \operatorname {Erlang} (k,\theta )}$muestras utilizando un generador de números aleatorios para la distribución exponencial:

si${\displaystyle X_{i}\ \sim \operatorname {Exp} (k\theta )}$  entonces${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}X_{i}\sim \operatorname {Erlang} (k,\theta ).}$