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Articulo de referencia

Teorema del círculo de Conway

El círculo de Conway de un triángulo con sus seis puntos concéntricos (negro sólido), el círculo inscrito del triángulo (gris discontinuo) y el centro de ambos círculos (blanco)...

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Un diagrama geométrico que muestra un círculo dentro de un triángulo, que a su vez está dentro de un círculo más grande.
El círculo de Conway de un triángulo con sus seis puntos concéntricos (negro sólido), el círculo inscrito del triángulo (gris discontinuo) y el centro de ambos círculos (blanco); los segmentos de línea sólidos y discontinuos del mismo color tienen la misma longitud.

En geometría plana , el teorema del círculo de Conway establece que cuando los lados que confluyen en cada vértice de un triángulo se extienden por la longitud del lado opuesto, los seis extremos de los tres segmentos de recta resultantes se encuentran sobre un círculo cuyo centro es el incentro del triángulo. El círculo sobre el que se encuentran estos seis puntos se denomina círculo de Conway del triángulo. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] El teorema y el círculo reciben su nombre del matemático John Horton Conway .

Prueba

Los segmentos del mismo color tienen la misma longitud.△IFdoPAGa≅△IFdoQb≅△IFaPAGb≅△IFaQdo≅△IFbPAGdo≅△IFbQa⇒|IPAGa|=|IQa|=|IPAGb|=|IQb|=|IPAGdo|=|IQdo|{\displaystyle {\begin{aligned}\triangle IF_{c}P_{a}&\cong \triangle IF_{c}Q_{b}\cong \triangle IF_{a}P_{b}\\&\cong \triangle IF_{a}Q_{c}\cong \triangle IF_{b}P_{c}\\&\cong \triangle IF_{b}Q_{a}\\\Rightarrow \,|IP_{a}|&=|IQ_{a}|=|IP_{b}|=|IQ_{b}|\\&=|IP_{c}|=|IQ_{c}|\end{aligned}}}

Sea I el centro de la circunferencia inscrita del triángulo ABC , r su radio y F a , F b y F c los tres puntos donde la circunferencia inscrita toca los lados del triángulo a , b y c . Dado que los lados del triángulo (extendidos) son tangentes a la circunferencia inscrita, se deduce que IF a , IF b e IF c son perpendiculares a a , b y c . Además, se cumplen las siguientes igualdades para los segmentos de línea: |AF c |=|AF b |, |BF c |=|BF a |, |CF a |=|CF b |. Con esto, los seis triángulos IF c P a , IF c Q b , IF a P b , IF a Q c , IF b Q a e IF b P c tienen todos un lado de longitud | AF c |+| BF c |+| CF a | y un lado de longitud r con un ángulo recto entre ellos. Esto significa que, debido al teorema de congruencia LAL para triángulos, los seis triángulos son congruentes, lo que produce | IP a |=| IQ a |=| IP b |=| IQ b |=| IP c |=| IQ c |. Por lo tanto, los seis puntos P a , Q a , P b , Q b , P c y Q c tienen todos la misma distancia del triángulo con centro I , es decir, se encuentran en un círculo común con centro I .

Propiedades adicionales

El radio del círculo de Conway es

r2+s2=a2b+ab2+b2do+bdo2+a2do+ado2+abdoa+b+do{\displaystyle {\sqrt {r^{2}+s^{2}}}={\sqrt {\frac {a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}+abc}{a+b+c}}}}

dónder{\displaystyle r}ys{\displaystyle s}son el radio interno y el semiperímetro del triángulo. [ 3 ]

Generalización

El teorema del círculo de Conway como un caso especial de la generalización, llamado "teorema del divisor lateral" (Villiers) o "teorema del limpiaparabrisas" (Polster).

El círculo de Conway es un caso especial de un círculo más general para un triángulo que se puede obtener de la siguiente manera: Dado cualquier △ABC con un punto arbitrario P en la línea AB. Construir BQ = BP, CR = CQ, AS = AR, BT = BS, CU = CT. Entonces AU = AP, y PQRSTU es cíclico. [ 4 ]

Si colocas P en el lado AB del triángulo extendido de tal manera que BP=b y BP esté completamente fuera del triángulo, entonces las construcciones anteriores dan como resultado el teorema del círculo de Conway.

Véase también

Referencias

  1. ↑ "John Horton Conway" . www.cardcolm.org . Archivado del original el 20 de mayo de 2020. Consultado el 29 de mayo de 2020 .
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Conway Circle" . MathWorld . Consultado el 29 de mayo de 2020 .
  3. 1 2 Francisco Javier García Capitán (2013). "Una generalización del círculo de Conway" (PDF) . Forum Geometricorum . 13 : 191–195 .
  4. ↑ Michael de Villiers (2023). "El teorema del círculo de Conway como un caso especial de un teorema más general del divisor lateral" . Aprendizaje y enseñanza de las matemáticas (34): 37–42 .
  • Kimberling, Clark. "Enciclopedia de centros triangulares" .
  • Colin Beveridge: El círculo de Conway, una demostración sin palabras . The Aperiodical, 7 de mayo de 2020.
  • Colin Beveridge, Elizabeth A. Williams: El teorema del círculo de Conway: una demostración, esta vez con palabras . The Aperiodical, 11 de junio de 2020 (Vídeo, 9:12 min.)
  • De Villiers, Michael. "El teorema del círculo de Conway como caso especial del teorema del divisor lateral (limpiaparabrisas)" . dynamicmathematicslearning.com .
  • Polster, Burkard (6 de abril de 2024). "El iris de Conway y el teorema del limpiaparabrisas" . Matólogo . YouTube.