bidimensional Dejar( incógnita , y ) {\displaystyle (x,y)} coordenadas cartesianas estándar y( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} las coordenadas polares estándar .
A coordenadas cartesianas
Desde coordenadas polares incógnita = r porque θ y = r pecado θ ∂ ( incógnita , y ) ∂ ( r , θ ) = [ porque θ − r pecado θ pecado θ − r porque θ ] Jacobiano = det ∂ ( incógnita , y ) ∂ ( r , θ ) = r {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\[5pt]{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &{\phantom {-}}r\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5pt]{\text{Jacobiano}}=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\end{aligned}}}
A partir de coordenadas logarítmicas polares incógnita = mi ρ porque θ , y = mi ρ pecado θ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{\rho }\cos \theta ,\\y&=e^{\rho }\sin \theta .\end{aligned}}}
Mediante el uso de números complejos( incógnita , y ) = incógnita + i y ′ {\displaystyle (x,y)=x+iy'} incógnita + i y = mi ρ + i θ {\displaystyle x+iy=e^{\rho +i\theta }}
Es decir, viene dada por la función exponencial compleja .
Desde coordenadas bipolares incógnita = a sinh τ aporrear τ − porque σ y = a pecado σ aporrear τ − porque σ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\\y&=a{\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\end{aligned}}}
A partir de coordenadas bipolares de 2 centros incógnita = 1 4 do ( r 1 2 − r 2 2 ) y = ± 1 4 do 16 do 2 r 1 2 − ( r 1 2 − r 2 2 + 4 do 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{4c}}\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right)\\[1ex]y&=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}
incógnita = ∫ porque [ ∫ κ ( s ) d s ] d s y = ∫ pecado [ ∫ κ ( s ) d s ] d s {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\\y&=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\end{aligned}}}
A coordenadas polares
A partir de coordenadas bipolares de 2 centros r = r 1 2 + r 2 2 − 2 do 2 2 θ = arctan [ 8 do 2 ( r 1 2 + r 2 2 − 2 do 2 ) r 1 2 − r 2 2 − 1 ] {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\theta &=\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{aligned}}}
Donde 2c es la distancia entre los polos.
De coordenadas cartesianas a coordenadas logarítmicas polares ρ = registro incógnita 2 + y 2 , θ = arctan y incógnita . {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}
Longitud de arco y curvatura
En coordenadas cartesianas κ = incógnita ′ y ″ − y ′ incógnita ″ ( incógnita ′ 2 + y ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a t incógnita ′ 2 + y ′ 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}\,dt\end{aligned}}}
En coordenadas polares κ = r 2 + 2 r ′ 2 − r r ″ ( r 2 + r ′ 2 ) 3 2 s = ∫ a φ r 2 + r ′ 2 d φ {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r^{2}+2{r'}^{2}-rr''}{(r^{2}+{r'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}\\s&=\int _{a}^{\varphi }{\sqrt {r^{2}+{r'}^{2}}}\,d\varphi \end{aligned}}}
tridimensional Para coordenadas esféricas, este artículo utiliza la convención de quer {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta } ϕ {\displaystyle \phi } Sean (x, y, z) las coordenadas cartesianas estándar y (ρ, θ, φ) las coordenadas esféricas , donde θ es el ángulo medido desde el eje +Z (como se ilustra). Dado que φ tiene un rango de 360°, se aplican las mismas consideraciones que en las coordenadas polares (bidimensionales) al calcular su arcotangente. θ tiene un rango de 180°, desde 0° hasta 180°, y no presenta ningún problema al calcularse a partir de un arcocoseno, pero hay que tener cuidado al calcular la arcotangente.
Si, en la definición alternativa, se elige que θ varíe de −90° a +90°, en dirección opuesta a la definición anterior, se puede obtener de forma única a partir de un arcoseno, pero hay que tener cuidado con la arcocotangente. En este caso, en todas las fórmulas siguientes, se deben intercambiar los senos y cosenos de todos los argumentos de θ , y como derivada, también se deben intercambiar los signos positivo y negativo.
Todas las divisiones por cero dan como resultado casos especiales de direcciones a lo largo de uno de los ejes principales y, en la práctica, se resuelven más fácilmente mediante la observación.
A coordenadas cartesianas
A partir de coordenadas esféricas incógnita = ρ pecado θ porque φ y = ρ pecado θ pecado φ z = ρ porque θ ∂ ( incógnita , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) = ( pecado θ porque φ ρ porque θ porque φ − ρ pecado θ pecado φ pecado θ pecado φ ρ porque θ pecado φ ρ pecado θ porque φ porque θ − ρ pecado θ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \theta \cos \varphi \\y&=\rho \,\sin \theta \sin \varphi \\z&=\rho \,\cos \theta \\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
Entonces, para el elemento de volumen : d incógnita d y d z = det ∂ ( incógnita , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) d ρ d θ d φ = ρ 2 pecado θ d ρ d θ d φ {\displaystyle dx\,dy\,dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}\,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }
Desde coordenadas cilíndricas incógnita = r porque θ y = r pecado θ z = z ∂ ( incógnita , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) = ( porque θ − r pecado θ 0 pecado θ r porque θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z\,\\{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}&={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
Entonces, para el elemento de volumen: d V = d incógnita d y d z = det ∂ ( incógnita , y , z ) ∂ ( r , θ , z ) d r d θ d z = r d r d θ d z {\displaystyle dV=dx\,dy\,dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}\,dr\,d\theta \,dz=r\,dr\,d\theta \,dz}
A coordenadas esféricas
Desde coordenadas cartesianas ρ = incógnita 2 + y 2 + z 2 θ = arctan ( incógnita 2 + y 2 z ) = arcos ( z incógnita 2 + y 2 + z 2 ) φ = arctan ( y incógnita ) = arcos ( incógnita incógnita 2 + y 2 ) = arcoseno ( y incógnita 2 + y 2 ) ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( incógnita , y , z ) = ( incógnita ρ y ρ z ρ incógnita z ρ 2 incógnita 2 + y 2 y z ρ 2 incógnita 2 + y 2 − incógnita 2 + y 2 ρ 2 − y incógnita 2 + y 2 incógnita incógnita 2 + y 2 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\\\varphi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)\\{\frac {\partial \left(\rho ,\theta ,\varphi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}&={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
Consulte también el artículo sobre atan2 para obtener información sobre cómo manejar con elegancia algunos casos límite.
Entonces, para el elemento: d ρ d θ d φ = det ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( incógnita , y , z ) d incógnita d y d z = 1 incógnita 2 + y 2 incógnita 2 + y 2 + z 2 d incógnita d y d z {\displaystyle d\rho \,d\theta \,d\varphi =\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}\,dx\,dy\,dz={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}\,dx\,dy\,dz}
Desde coordenadas cilíndricas ρ = r 2 + h 2 θ = arctan r h φ = φ ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = ( r r 2 + h 2 h r 2 + h 2 0 h r 2 + h 2 − r r 2 + h 2 0 0 0 1 ) det ∂ ( ρ , θ , φ ) ∂ ( r , h , φ ) = 1 r 2 + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\\\theta &=\arctan {\frac {r}{h}}\\\varphi &=\varphi \\{\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0\\{\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}&{\frac {-r}{r^{2}+h^{2}}}&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}{\partial (r,h,\varphi )}}&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\end{aligned}}}
A coordenadas cilíndricas
Desde coordenadas cartesianas r = incógnita 2 + y 2 θ = arctan ( y incógnita ) z = z {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan {\left({\frac {y}{x}}\right)}\\z&=z\quad \end{aligned}}}
∂ ( r , θ , h ) ∂ ( incógnita , y , z ) = ( incógnita incógnita 2 + y 2 y incógnita 2 + y 2 0 − y incógnita 2 + y 2 incógnita incógnita 2 + y 2 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
A partir de coordenadas esféricas r = ρ pecado φ h = ρ porque φ θ = θ ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = ( pecado φ ρ porque φ 0 porque φ − ρ pecado φ 0 0 0 1 ) det ∂ ( r , h , θ ) ∂ ( ρ , φ , θ ) = − ρ {\displaystyle {\begin{aligned}r&=\rho \sin \varphi \\h&=\rho \cos \varphi \\\theta &=\theta \\{\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&={\begin{pmatrix}\sin \varphi &\rho \cos \varphi &0\\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\\\det {\frac {\partial (r,h,\theta )}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}&=-\rho \end{aligned}}}
s = ∫ 0 t incógnita ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 d t κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( incógnita ″ z ′ − z ″ incógnita ′ ) 2 + ( y ″ incógnita ′ − incógnita ″ y ′ ) 2 ( incógnita ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 2 τ = incógnita ‴ ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) + y ‴ ( incógnita ″ z ′ − incógnita ′ z ″ ) + z ‴ ( incógnita ′ y ″ − incógnita ″ y ′ ) ( incógnita ′ y ″ − incógnita ″ y ′ ) 2 + ( incógnita ″ z ′ − incógnita ′ z ″ ) 2 + ( y ′ z ″ − y ″ z ′ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,dt\\[3pt]\kappa &={\frac {\sqrt {\left(z''y'-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-z''x'\right)^{2}+\left(y''x'-x''y'\right)^{2}}}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\[3pt]\tau &={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{{\left(x'y''-x''y'\right)}^{2}+{\left(x''z'-x'z''\right)}^{2}+{\left(y'z''-y''z'\right)}^{2}}}\end{aligned}}}
Referencias Arfken, George (2013). Métodos matemáticos para físicos . Academic Press. ISBN 978-0123846549 .
Hispanopedia Wiki
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\[5pt]{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &{\phantom {-}}r\cos \theta \end{bmatrix}}\\[5pt]{\text{Jacobiano}}=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9005464a89553d80be52a7b3c648717e7efc509)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{4c}}\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\right)\\[1ex]y&=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-\left(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2}\right)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972f7959ed9a099263bb1c1dcdb6e77f925c441a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\\y&=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf415cca15fe7faf409efdfa8323225993978f8)
![{\displaystyle \theta ={\begin{cases}\theta '&{\text{para }}\theta '{\text{ en QI: }}&0<\theta '<{\frac {\pi }{2}}\\[1.2ex]\pi -\theta '&{\text{para }}\theta '{\text{ en QII: }}&{\frac {\pi }{2}}<\theta '<\pi \\[1.2ex]\pi +\theta '&{\text{para }}\theta '{\text{ en QIII: }}&\pi <\theta '<{\frac {3\pi }{2}}\\[1.2ex]2\pi -\theta '&{\text{para }}\theta '{\text{ en QIV: }}&{\frac {3\pi }{2}}<\theta '<2\pi \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c128ed42f71cb67f7323cff563f379284d5e9e4f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}\\\theta &=\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fd7b0ef6f1fea0e4467981685d16feb513186d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{t}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}\,dt\\[3pt]\kappa &={\frac {\sqrt {\left(z''y'-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-z''x'\right)^{2}+\left(y''x'-x''y'\right)^{2}}}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\[3pt]\tau &={\frac {x'''\left(y'z''-y'z'\right)+y'''\left(x'z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x'y'\right)}{{\left(x'y''-x'y'\right)}^{2}+{\left(x'z'-x'z''\right)}^{2}+{\left(y'z''-y'z'\right)}^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4956dccc982282eafc49bd83da2ec73d77546d7)