Cambio de variables

Algunos sistemas se pueden resolver más fácilmente al cambiar a coordenadas polares . Consideremos, por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

Esta podría ser una función de energía potencial para algún problema físico. Si no se encuentra una solución de inmediato, se podría intentar la sustitución.

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$dado por${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

Tenga en cuenta que si${\displaystyle \theta }$corre fuera de un${\displaystyle 2\pi }$-intervalo de longitud, por ejemplo,${\displaystyle [0,2\pi ]}$, el mapa${\displaystyle \Phi }$ya no es biyectivo. Por lo tanto,${\displaystyle \Phi }$debería limitarse a, por ejemplo${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$Fíjate cómo${\displaystyle r=0}$está excluido, por${\displaystyle \Phi }$no es biyectiva en el origen (${\displaystyle \theta }$puede tomar cualquier valor, el punto se asignará a (0, 0)). Luego, reemplazando todas las ocurrencias de las variables originales por las nuevas expresiones prescritas por${\displaystyle \Phi }$y utilizando la identidad${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$, obtenemos

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

Ahora las soluciones se pueden encontrar fácilmente:${\displaystyle \sin(\theta )=0}$, entonces${\displaystyle \theta =0}$o${\displaystyle \theta =\pi }$. Aplicando la inversa de${\displaystyle \Phi }$muestra que esto es equivalente a${\displaystyle y=0}$mientras${\displaystyle x\not =0}$. En efecto, vemos que para${\displaystyle y=0}$La función desaparece, excepto en el origen.

Tenga en cuenta que, si hubiéramos permitido${\displaystyle r=0}$, el origen también habría sido una solución, aunque no es una solución al problema original. Aquí la biyectividad de${\displaystyle \Phi }$es crucial. La función siempre es positiva (para${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$), de ahí los valores absolutos.

La regla de la cadena se utiliza para simplificar la diferenciación compleja. Por ejemplo, consideremos el problema de calcular la derivada.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

Dejar${\displaystyle y=\sin u}$con${\displaystyle u=x^{2}.}$Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

Las integrales difíciles a menudo se pueden evaluar cambiando variables; esto es posible gracias a la regla de sustitución y es análogo al uso de la regla de la cadena descrita anteriormente. Las integrales difíciles también se pueden resolver simplificando la integral mediante un cambio de variables dado por la matriz jacobiana y el determinante correspondientes . ^{[ 1 ]} El uso del determinante jacobiano y el cambio de variable correspondiente que proporciona es la base de sistemas de coordenadas como los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

Los cambios de variables para la diferenciación y la integración se enseñan en cálculo elemental , pero rara vez se llevan a cabo todos los pasos.

El amplio uso de cambios de variables se hace evidente al considerar ecuaciones diferenciales, donde las variables independientes pueden modificarse mediante la regla de la cadena o las variables dependientes pueden cambiar, lo que requiere realizar alguna diferenciación. Los cambios más complejos, como la combinación de variables dependientes e independientes en transformaciones puntuales y de contacto , pueden resultar muy complicados, pero ofrecen una gran libertad.

Con mucha frecuencia, se sustituye una fórmula general para un cambio en un problema y se eligen parámetros sobre la marcha para simplificarlo al máximo.

Probablemente el cambio más simple sea el escalado y desplazamiento de variables, es decir, reemplazarlas con nuevas variables que se "estiran" y "mueven" por cantidades constantes. Esto es muy común en aplicaciones prácticas para obtener parámetros físicos a partir de problemas. Para una derivada de ^orden n , el cambio simplemente resulta en

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

dónde

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

Esto se puede demostrar fácilmente mediante la regla de la cadena y la linealidad de la diferenciación. Este cambio es muy común en aplicaciones prácticas para obtener parámetros físicos a partir de problemas, por ejemplo, el problema de valores en la frontera.

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad$ ;\quad u(0)=u(L)=0}

describe el flujo de fluido paralelo entre paredes sólidas planas separadas por una distancia δ; μ es la viscosidad y${\displaystyle dp/dx}$el gradiente de presión , ambos constantes. Al escalar las variables, el problema se convierte en

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad$ ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}

dónde

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

El escalado resulta útil por muchas razones. Simplifica el análisis al reducir el número de parámetros y al presentar el problema de forma más clara. Un escalado adecuado puede normalizar las variables, es decir, asignarles un rango adimensional razonable, como de 0 a 1. Finalmente, si un problema requiere una solución numérica, cuantos menos parámetros haya, menor será el número de cálculos.

Consideremos un sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

para una función dada${\displaystyle H(x,v)}$La masa se puede eliminar mediante la sustitución (trivial).${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$. Claramente, este es un mapa biyectivo de${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} }$. Bajo la sustitución${\displaystyle v=\Phi (p)}$el sistema se convierte

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

Dado un campo de fuerza${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$Las ecuaciones de movimiento de Newton son :

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

Lagrange examinó cómo cambian estas ecuaciones de movimiento bajo una sustitución arbitraria de variables.${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$,${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

Descubrió que las ecuaciones

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

son equivalentes a las ecuaciones de Newton para la función${\displaystyle L=T-V}$donde T es la energía cinética y V la energía potencial.

De hecho, cuando la sustitución se elige adecuadamente (aprovechando, por ejemplo, las simetrías y las restricciones del sistema), estas ecuaciones son mucho más fáciles de resolver que las ecuaciones de Newton en coordenadas cartesianas.