Principal asociado

En álgebra abstracta , un primo asociado de un módulo M sobre un anillo R es un tipo de ideal primo de R que surge como un anulador de un submódulo (primo) de M. El conjunto de primos asociados se suele denotar por${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$y a veces llamado el asesino o asesino de M (juego de palabras entre la notación y el hecho de que un primo asociado es un aniquilador ). ^{[ 1 ]}

En álgebra conmutativa , los ideales primos asociados están vinculados a la descomposición primaria de Lasker-Noether de ideales en anillos noetherianos conmutativos . Específicamente, si un ideal J se descompone como una intersección finita de ideales primarios , los radicales de estos ideales primarios son ideales primos , y este conjunto de ideales primos coincide con${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$^{[ 2 ]} También vinculadas con el concepto de "primos asociados" del ideal están las nociones deprimos aisladosyprimos incrustados.

Un R -módulo no nulo N se llama módulo primo si el aniquilador${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,}$para cualquier submódulo no nulo N' de N. Para un módulo primo N ,${\displaystyle \mathrm {Ann} _ {R}(N)\,}$es un ideal primo en R . ^{[ 3 ]}

Un primo asociado de un R -módulo M es un ideal de la forma${\displaystyle \mathrm {Ann} _ {R}(N)\,}$donde N es un submódulo primo de M. En álgebra conmutativa, la definición usual es diferente, pero equivalente: ^{[ 4 ]} si R es conmutativa, un primo asociado P de M es un ideal primo de la forma${\displaystyle \mathrm {Ann} _ {R}(m)\,}$para un elemento no nulo m de M o equivalentemente${\displaystyle R/P}$es isomorfo a un submódulo de M.

En un anillo conmutativo R , los elementos mínimos en${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$(con respecto a la inclusión de la teoría de conjuntos) se denominan primos aislados, mientras que el resto de los primos asociados (es decir, aquellos que contienen propiamente primos asociados) se denominan primos incrustados .

Un módulo se llama coprimario si xm  =  0 para algún m  ∈ M distinto de cero implica x ⁿ M = 0 para algún entero positivo n . Un módulo M finitamente generado distinto de cero sobre un anillo noetheriano conmutativo es coprimario si y solo si tiene exactamente un primo asociado. Un submódulo N de M se llama P -primario si   ${\displaystyle M/N}$es coprimario con P. Un ideal I es un ideal P - primario si y solo si${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}}$; por lo tanto, la noción es una generalización de un ideal primario.

La mayoría de estas propiedades y afirmaciones se dan en ( Lam 1999 ) a partir de la página 86.

• Si M' ⊆ M , entonces${\displaystyle \mathrm {Culo} _{R}(M')\subseteq \mathrm {Culo} _{R}(M).}$Si además M' es un submódulo esencial de M , sus primos asociados coinciden.
• Es posible, incluso para un anillo local conmutativo , que el conjunto de primos asociados de un módulo finitamente generado sea vacío. Sin embargo, en cualquier anillo que satisfaga la condición de cadena ascendente en los ideales (por ejemplo, cualquier anillo noetheriano derecho o izquierdo), todo módulo no nulo tiene al menos un primo asociado.
• Cualquier módulo uniforme tiene cero o un número primo asociado, lo que convierte a los módulos uniformes en un ejemplo de módulos coprimarios.
• Para un anillo noetheriano unilateral, existe una sobreyección del conjunto de clases de isomorfismo de módulos inyectivos indescomponibles sobre el espectro.${\displaystyle \mathrm {Spec} (R).}$Si R es un anillo artiniano , entonces esta aplicación se convierte en una biyección.
• Teorema de Matlis : Para un anillo noetheriano conmutativo R , la aplicación de las clases de isomorfismo de módulos inyectivos indescomponibles al espectro es una biyección. Además, un conjunto completo de representantes para esas clases viene dado por${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}})\,}$dónde${\displaystyle E(-)\,}$denota la envoltura inyectiva y${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,}$abarca los ideales primordiales de R.
• Para un módulo noetheriano M sobre cualquier anillo, solo hay un número finito de primos asociados de M.

Para el caso de anillos noetherianos conmutativos, véase también Descomposición primaria#Descomposición primaria a partir de primos asociados .

• Si${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$los ideales primordiales asociados de${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$son los ideales${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$y${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3}).}$
• Si R es el anillo de los enteros, entonces los grupos abelianos libres no triviales y los grupos abelianos no triviales de orden potencia de primo son coprimarios.
• Si R es el anillo de los enteros y M un grupo abeliano finito, entonces los primos asociados de M son exactamente los primos que dividen el orden de M.
• El grupo de orden 2 es un cociente de los enteros Z ( considerado como un módulo libre sobre sí mismo), pero su ideal primo asociado (2) no es un primo asociado de Z.

• Nicolas Bourbaki , Algèbre conmutativo
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Matsumura, Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa