Núcleo (teoría de grupos)

Para un grupo G , el núcleo normal o interior normal ^{[ 1 ]} de un subgrupo H es el subgrupo normal más grande de G que está contenido en H (o equivalentemente, la intersección de los conjugados de H ). De manera más general, el núcleo de H con respecto a un subconjunto S ⊆ G es la intersección de los conjugados de H bajo S , es decir 

${\displaystyle \mathrm {Core} _{S}(H):=\bigcap _{s\in S}{s^{-1}Hs}.}$

Según esta definición más general, el núcleo normal es el núcleo con respecto a S  = G. El núcleo normal de cualquier subgrupo normal es el subgrupo mismo.

Dual al concepto de núcleo normal es el de cierre normal , que es el subgrupo normal más pequeño de G que contiene a H.

Los núcleos normales son importantes en el contexto de las acciones de grupo sobre conjuntos , donde el núcleo normal del subgrupo de isotropía de cualquier punto actúa como la identidad en toda su órbita . Por lo tanto, si la acción es transitiva , el núcleo normal de cualquier subgrupo de isotropía es precisamente el núcleo de la acción.

Un subgrupo sin núcleo es un subgrupo cuyo núcleo normal es el subgrupo trivial . De forma equivalente, es un subgrupo que aparece como el subgrupo de isotropía de una acción de grupo fiel y transitiva.

La solución al problema del subgrupo oculto en el caso abeliano se generaliza a la búsqueda del núcleo normal en el caso de subgrupos de grupos arbitrarios.

Para un número primo p , el p -núcleo de un grupo finito se define como su mayor p - subgrupo normal . Es el núcleo normal de cada p-subgrupo de Sylow del grupo. El p -núcleo de G se suele denotar${\displaystyle O_{p}(G)}$y en particular aparece en una de las definiciones del subgrupo Fitting de un grupo finito . De manera similar, el p ′-núcleo es el subgrupo normal más grande de G cuyo orden es coprimo con p y se denota ${\displaystyle O_{p'}(G)}$. En el área de grupos insolubles finitos, incluida la clasificación de grupos simples finitos , el núcleo 2′ se denomina a menudo simplemente núcleo y se denota${\displaystyle O(G)}$Esto causa solo una pequeña cantidad de confusión, porque normalmente se puede distinguir entre el núcleo de un grupo y el núcleo de un subgrupo dentro de un grupo. El p ′, p -núcleo , denotado${\displaystyle O_{p',p}(G)}$se define por${\displaystyle O_{p',p}(G)/O_{p'}(G)=O_{p}(G/O_{p'}(G))}$. Para un grupo finito, el p ′, p -núcleo es el único subgrupo normal p -nilpotente más grande.

El p -núcleo también puede definirse como el único subgrupo p subnormal más grande ; el p′ -núcleo como el único subgrupo p ′ subnormal más grande ; y el p ′, p -núcleo como el único subgrupo p -nilpotente subnormal más grande.

Los núcleos p ′ y p ′, p comienzan la serie p superior . Para conjuntos π ₁ , π ₂ , ..., π _{n +1} de números primos, se definen subgrupos O _{π 1 , π 2 , ..., π n +1} ( G ) por:

${\displaystyle O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n+1}}(G)/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n}}(G)=O_{\pi _{n+1}}(G/O_{\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi {n}}(G))}$

La p -serie superior se forma tomando π _{2 i −1} = p ′ y π _{2 i} = p; también existe una p -serie inferior . Se dice que un grupo finito es p -nilpotente si y solo si es igual a su propio p ′, p -núcleo. Se dice que un grupo finito es p- soluble si y solo si es igual a algún término de su p- serie superior ; su p -longitud es la longitud de su p -serie superior. Se dice que un grupo finito G está p-restringido para un primo p si${\displaystyle C_{G}(O_{p',p}(G)/O_{p'}(G))\subseteq O_{p',p}(G)}$.

Todo grupo nilpotente es p- nilpotente, y todo grupo p- nilpotente es p- soluble. Todo grupo soluble es p- soluble, y todo grupo p- soluble está p -restringido. Un grupo es p -nilpotente si y solo si tiene un p -complemento normal , que es simplemente su p′ -núcleo.

Así como los núcleos normales son importantes para las acciones de grupo sobre conjuntos, los p- núcleos y p' -núcleos son importantes en la teoría de representación modular , que estudia las acciones de grupos sobre espacios vectoriales . El p -núcleo de un grupo finito es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles sobre cualquier cuerpo de característica p . Para un grupo finito, el p' -núcleo es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles ordinarias (complejas) que se encuentran en el bloque principal p . Para un grupo finito, el p ', p -núcleo es la intersección de los núcleos de las representaciones irreducibles en el bloque principal p sobre cualquier cuerpo de característica p . Además, para un grupo finito, el p ', p -núcleo es la intersección de los centralizadores de los factores principales abelianos cuyo orden es divisible por p (todos los cuales son representaciones irreducibles sobre un cuerpo de tamaño p que se encuentra en el bloque principal). Para un grupo finito y p -restringido, un módulo irreducible sobre un cuerpo de característica p se encuentra en el bloque principal si y solo si el núcleo p ′ del grupo está contenido en el núcleo de la representación.

Un subgrupo relacionado en concepto y notación es el radical resoluble. El radical resoluble se define como el subgrupo normal resoluble más grande y se denota${\ Displaystyle O _ {\ infty} (G)}$. Existe cierta variabilidad en la literatura al definir el núcleo p ′ de G . Algunos autores en solo unos pocos artículos (por ejemplo, los artículos de John G. Thompson sobre el grupo N, pero no su trabajo posterior) definen el núcleo p ′ de un grupo insoluble G como el núcleo p ′ de su radical soluble para imitar mejor las propiedades del núcleo 2 ′.