Regla de la mano derecha

En matemáticas y física , la regla de la mano derecha es una convención y una regla mnemotécnica que se utiliza para definir la orientación de los ejes en el espacio tridimensional y para determinar la dirección del producto vectorial de dos vectores , así como para establecer la dirección de la fuerza sobre un conductor que transporta corriente en un campo magnético .

Las distintas reglas de la mano derecha e izquierda surgen del hecho de que los tres ejes del espacio tridimensional tienen dos orientaciones posibles. Esto se puede observar juntando las manos con las palmas hacia arriba y los dedos curvados. Si la curvatura de los dedos representa un movimiento del primer eje (x) al segundo eje (y), entonces el tercer eje (z) puede apuntar a lo largo del pulgar derecho o del izquierdo.

La regla de la mano derecha se remonta al siglo XIX, cuando se implementó como una forma de identificar la dirección positiva de los ejes de coordenadas en tres dimensiones. A William Rowan Hamilton , reconocido por su desarrollo de los cuaterniones , un sistema matemático para representar rotaciones tridimensionales, se le suele atribuir la introducción de esta convención. En el contexto de los cuaterniones, el producto hamiltoniano de dos cuaterniones vectoriales produce un cuaternión que comprende componentes escalares y vectoriales . ^{[ 1 ]} Josiah Willard Gibbs reconoció que tratar estos componentes por separado, como producto escalar y producto vectorial , simplifica el formalismo vectorial. Tras un debate sustancial, ^{[ 2 ]} la corriente principal pasó del sistema cuaterniónico de Hamilton al sistema de tres vectores de Gibbs. Esta transición condujo a la adopción generalizada de la regla de la mano derecha en los contextos contemporáneos. Específicamente, Gibbs describe su intención de establecer un sistema de coordenadas diestro en su folleto sobre análisis vectorial. ^{[ 3 ]} En el artículo 11 del folleto, Gibbs afirma: "Las letras${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$, y${\displaystyle k}$son apropiados para la designación de un sistema normal de vectores unitarios , es decir, tres vectores unitarios, cada uno de los cuales es perpendicular a los otros dos... Siempre supondremos que${\displaystyle k}$está del lado de la${\displaystyle ij}$plano en el que una rotación desde${\displaystyle i}$a${\displaystyle j}$(a través de un ángulo recto) parece en sentido contrario a las agujas del reloj." Si bien Gibbs no utilizó el término diestro en su análisis, sus instrucciones para definir la orientación normal de las coordenadas son una clara declaración de su intención para las coordenadas que siguen la regla de la mano derecha.

El producto vectorial de vectores${\displaystyle {\vec {a}}}$y${\displaystyle {\vec {b}}}$ es un vector perpendicular al plano generado por${\displaystyle {\vec {a}}}$y${\displaystyle {\vec {b}}}$ con la dirección dada por la regla de la mano derecha : Si colocas el dedo índice extendido de tu mano derecha en${\displaystyle {\vec {a}}}$y el dedo medio  doblado en${\displaystyle {\vec {b}}}$, entonces el pulgar apunta en la dirección de${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}}$. ^{[ 4 ]}

La regla de la mano derecha en física fue introducida a finales del siglo XIX por John Fleming en su libro Magnets and Electric Currents . ^{[ 5 ]} Fleming describió la orientación de la fuerza electromotriz inducida haciendo referencia al movimiento del conductor y la dirección del campo magnético en la siguiente representación: "Si un conductor, representado por el dedo medio , se mueve en un campo de flujo magnético , cuya dirección está representada por la dirección del dedo índice , y la dirección de este movimiento coincide con la del pulgar , entonces la fuerza electromotriz generada en él estará indicada por la dirección hacia la que apunta el dedo medio." ^{[ 5 ]}

En coordenadas para diestros , si el pulgar de la mano derecha apunta a lo largo del eje z en dirección positiva (tercer vector de coordenadas), entonces los dedos se curvan desde el eje x positivo (primer vector de coordenadas) hacia el eje y positivo (segundo vector de coordenadas). Visto desde una posición a lo largo del eje z positivo, el cuarto de vuelta desde el eje x positivo al eje y positivo es en sentido contrario a las agujas del reloj .

Para coordenadas para zurdos , la descripción anterior de los ejes es la misma, excepto que se usa la mano izquierda; y el cuarto de vuelta es en el sentido de las agujas del reloj .

Intercambiar las etiquetas de dos ejes cualesquiera invierte la orientación. Invertir la dirección de un eje (o de tres ejes) también invierte la orientación. Invertir dos ejes equivale a una rotación de 180° alrededor del eje restante, manteniendo también la orientación. Estas operaciones pueden combinarse para generar cambios repetidos de orientación. ^{[ 6 ]} (Si los ejes no tienen una dirección positiva o negativa, la orientación carece de sentido).

En cálculo vectorial , es necesario relacionar un vector normal de una superficie con la curva límite de la superficie. Dada una superficie S con una dirección normal específica n̂ (una elección de "dirección hacia arriba" con respecto a S ), la curva límite C alrededor de S se define como orientada positivamente siempre que el pulgar derecho apunte en la dirección de n̂ y los dedos se curven a lo largo de la orientación de la curva límite C.

• Cuando la electricidad fluye (en la dirección que indica la corriente convencional ) por un cable largo y recto, crea un campo magnético cilíndrico alrededor del cable, según la regla de la mano derecha. La dirección convencional de una línea magnética viene dada por la aguja de una brújula.
• Electroimán : El campo magnético alrededor de un cable es relativamente débil. Si el cable se enrolla en forma de hélice, todas las líneas de campo dentro de la hélice apuntan en la misma dirección y cada vuelta refuerza a las anteriores. El avance de la hélice, la parte no circular de la corriente y las líneas de campo apuntan en la dirección positiva del eje z . Dado que no existe un monopolo magnético , las líneas de campo salen por el extremo + z , dan una vuelta alrededor de la hélice y vuelven a entrar por el extremo -z . El extremo + z por donde salen las líneas se define como el polo norte. Si los dedos de la mano derecha se curvan en la dirección de la componente circular de la corriente, el pulgar derecho apunta al polo norte.
• Fuerza de Lorentz : Si una carga eléctrica se mueve a través de un campo magnético, experimenta una fuerza de acuerdo con la ley de Lorentz, cuya dirección viene dada por la regla de la mano derecha. Si el dedo índice representa la dirección del flujo de carga (es decir, la corriente) y el dedo medio representa la dirección del campo magnético en el espacio, la dirección de la fuerza sobre la carga está representada por el pulgar. Debido a que la carga se mueve, la fuerza provoca que la trayectoria de la partícula se curve. La fuerza de curvatura se calcula mediante el producto vectorial. Esto significa que la fuerza de curvatura aumenta con la velocidad de la partícula y la intensidad del campo magnético. La fuerza es máxima cuando la dirección de la partícula y el campo magnético son perpendiculares, es menor en cualquier otro ángulo y es cero cuando la partícula se mueve paralela al campo.

Regla de Ampère para agarrar con la mano derecha

La regla de la mano derecha de Ampère , ^{[ 7 ]} también llamada regla del tornillo de la mano derecha o regla del sacacorchos, se utiliza cuando se debe definir un vector (como el vector de Euler ) para representar la rotación de un cuerpo, un campo magnético o un fluido, o viceversa, cuando es necesario definir un vector de rotación para comprender cómo ocurre la rotación. Revela una conexión entre la corriente y las líneas del campo magnético en el campo magnético que la corriente creó. Ampère se inspiró en su colega físico Hans Christian Ørsted , quien observó que las agujas giraban en la proximidad de un cable conductor de corriente eléctrica y concluyó que la electricidad podía crear campos magnéticos .

El producto vectorial de dos vectores se utiliza frecuentemente en física e ingeniería. Por ejemplo, como se mencionó anteriormente, la fuerza ejercida sobre una partícula cargada en movimiento dentro de un campo magnético B viene dada por el término magnético de la fuerza de Lorentz:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$(producto vectorial)

La dirección del producto vectorial se puede determinar aplicando la regla de la mano derecha de la siguiente manera:

1. El dedo índice apunta en la dirección del vector velocidad v.
2. El dedo medio apunta en la dirección del vector del campo magnético B.
3. El pulgar apunta en la dirección del producto vectorial F.

Por ejemplo, para una partícula con carga positiva que se mueve hacia el norte, en una región donde el campo magnético apunta hacia el oeste, la fuerza resultante apunta hacia arriba. ^{[ 6 ]}

• La conferencia de Feynman sobre la regla de la mano derecha.
• Reglas de la mano derecha e izquierda - Tutorial interactivo de Java - Laboratorio Nacional de Altos Campos Magnéticos
• Weisstein, Eric W. "Regla de la mano derecha" . MathWorld .
• Christian Moser  : regla de la mano derecha  : wpftutorial.net