Integral trigonométrica

En matemáticas , las integrales trigonométricas son una familia de integrales no elementales que involucran funciones trigonométricas .

Las diferentes definiciones de integral de seno son $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)&={\hphantom {-}}\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt\\\operatorname {si} (x)&=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.\end{aligned}}}$$

Nótese que el integrando${\textstyle {\frac {\sin t}{t}}}$es la función sinc , y también la función de Bessel esférica de orden cero . Dado que${\displaystyle \operatorname {sinc} }$es una función entera par ( holomorfa sobre todo el plano complejo ) ,${\displaystyle \operatorname {Si} }$⁠ es entero, impar, y la integral en su definición se puede tomar a lo largo de cualquier camino que conecte los puntos extremos.

Por definición ,${\displaystyle \operatorname {Si} (x)}$es el antiderivado de​${\displaystyle \textstyle {\frac {\sin x}{x}}}$cuyo valor es cero en${\displaystyle x=0}$y​​${\displaystyle \operatorname {si} (x)}$⁠ es la antiderivada cuyo valor es cero en ⁠${\displaystyle x=\infty }$Su diferencia viene dada por la integral de Dirichlet , $${\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ o }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}$$

En el procesamiento de señales , las oscilaciones de la integral sinusoidal provocan sobreimpulsos y artefactos de resonancia cuando se utiliza el filtro sinc , y resonancia en el dominio de la frecuencia si se utiliza un filtro sinc truncado como filtro de paso bajo .

Relacionado con esto está el fenómeno de Gibbs : si se considera la integral del seno como la convolución de la función sinc con la función escalón de Heaviside , esto corresponde a truncar la serie de Fourier , que es la causa del fenómeno de Gibbs.

Las diferentes definiciones de integral de coseno son:$${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)\equiv \int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt.}$$

⁠${\displaystyle \operatorname {Cin} }$⁠ es una función par y completa. Por esa razón, algunos textos la definen ⁠${\displaystyle \operatorname {Cin} }$como la función principal, y derivar${\displaystyle \operatorname {Ci} }$en términos de${\displaystyle \operatorname {Cin} }$⁠ . ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ci} (x)&\equiv ~-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt\\&=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\\[0.4em]&=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x),\end{aligned}}}$$ para​${\displaystyle |\operatorname {Arg} (x)|<\pi }$, donde​${\displaystyle \gamma \approx 0.57721566490\dots }$⁠ es la constante de Euler-Mascheroni . Algunos textos utilizan ⁠${\displaystyle \operatorname {ci} }$en lugar de${\displaystyle \operatorname {Ci} }$⁠ . La restricción en Arg(x) es para evitar una discontinuidad (mostrada como el área naranja frente al área azul en la mitad izquierda del gráfico anterior ) que surge debido a un corte de rama en la función logaritmo estándar ( ⁠${\displaystyle \ln }$⁠ ).

⁠${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)}$es el antiderivado de${\displaystyle \textstyle {\frac {\cos x}{x}}}$⁠ (que desaparece como ⁠${\displaystyle x\to \infty }$) . Las dos definiciones están relacionadas por $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x).}$$

La integral del seno hiperbólico se define como$${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt.}$$

Está relacionada con la integral del seno ordinaria por $${\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}$$

La integral del coseno hiperbólico es

$${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh(t)-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ para }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$$ dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni .

Tiene la expansión de la serie $${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}$$

Las integrales trigonométricas pueden entenderse en términos de las llamadas " funciones auxiliares ". $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t+x}}\,dt\quad =\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt\\[.3em]&={\hphantom {-}}\operatorname {Ci} (x)\sin x-\operatorname {si} (x)\cos x\\&={\hphantom {-}}\operatorname {Ci} (x)\sin x+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos x\,,\\[0.5em]g(x)&\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos t}{t+x}}\,dt\quad =\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt\\[.3em]&=-\operatorname {Ci} (x)\cos x-\operatorname {si} (x)\sin x\\&=-\operatorname {Ci} (x)\cos x+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin x\,.\end{aligned}}}$$ Utilizando estas funciones, las integrales trigonométricas pueden reescribirse como ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)&={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos x+g(x)\sin x\,,\\\operatorname {Ci} (x)&={\hphantom {{\frac {\pi }{2}}-\mathop {} }}f(x)\sin xg(x)\cos x\,.\end{aligned}}}$$

La espiral formada por el gráfico paramétrico de ⁠${\displaystyle \operatorname {si} }$,​​${\displaystyle \operatorname {ci} }$Se conoce como la espiral de Nielsen. $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=a\times \operatorname {ci} (t)\\y(t)&=a\times \operatorname {si} (t)\end{aligned}}}$$

La espiral está estrechamente relacionada con las integrales de Fresnel y la espiral de Euler . ^{[ 3 ]} La espiral de Nielsen tiene aplicaciones en el procesamiento de imágenes, la construcción de carreteras y vías férreas y otras áreas.

En función del rango del argumento, se pueden utilizar diversas expansiones para evaluar integrales trigonométricas.

La función $${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0}$$ se llama integral exponencial . Está estrechamente relacionada con Si y Ci , $${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {Ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}$$

Como cada función respectiva es analítica excepto por el corte en valores negativos del argumento, el área de validez de la relación debe extenderse a (Fuera de este rango, aparecen términos adicionales que son factores enteros de π en la expresión).

Los casos de argumento imaginario de la función integro-exponencial generalizada son: $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}$$ que es la parte real de $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}$$

Similarmente $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}$$

Las aproximaciones de Padé de la serie de Taylor convergente proporcionan una forma eficiente de evaluar las funciones para argumentos pequeños. Las siguientes fórmulas son precisas con una precisión superior a1 × 10 ⁻¹⁶ para ⁠${\displaystyle 0\leq x\leq 4}$: ^{[ 4 ]}​$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)\approx &\mathop {} x\cdot \left({\begin{smallmatrix}1&-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}&+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}&-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\&+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}&-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}&+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\&-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\\\hline 1&+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}&+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}&+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\&+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}&+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}&+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{smallmatrix}}\right)\\[1em]\operatorname {Ci} (x)\approx &\mathop {} \gamma +\ln(x)+\\&x^{2}\cdot \left({\begin{smallmatrix}-0.25&+7.51851524438898291\cdot 10⁻³ · x² -1,27528342240267686 · 10⁻⁴ · x⁴ +1,05297363846239184 · 10⁻⁶ · x⁶ · -4,68889508144848019 · 10⁻⁹ · x⁸ +1,06480802891189243 · 10⁻¹¹ · x¹⁰ · -9,93728488857585407 · 10⁻¹⁵ · x¹² 1&+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}&+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}&+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\&+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}&+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}&+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\&+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\end{smallmatrix}}\right)\end{aligned}}}$$

Las integrales pueden evaluarse indirectamente mediante funciones auxiliares .${\displaystyle f(x)}$y​​${\displaystyle g(x)}$definido como: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (x)&={\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos xg(x)\sin x\,,\\\operatorname {Ci} (x)&={\hphantom {{\frac {\pi }{2}}-\mathop {} }}f(x)\sin xg(x)\cos x\,;\end{aligned}}}$$ o equivalentemente: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos x+\operatorname {Ci} (x)\sin x\,,\\g(x)&\equiv \left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin x-\operatorname {Ci} (x)\cos x\,.\end{aligned}}}$$

Para${\displaystyle x\geq 4}$Las funciones racionales de Padé que se muestran a continuación se aproximan${\displaystyle f(x)}$y${\displaystyle g(x)}$con error menor que1 × 10 ⁻¹⁶ : ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)\approx &\mathop {} {\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\begin{smallmatrix}1&+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\&+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}&+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\&-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\\\hline 1&+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\&+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}&+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{smallmatrix}}\right)\\[1em]g(x)\approx &\mathop {} {\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\begin{smallmatrix}1&+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\&+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}&+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\&-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\\\hline 1&+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}&+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}&+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\&+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}&+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}&+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\&+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}&+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}&+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{smallmatrix}}\right)\end{aligned}}}$$

• Integral exponencial
• Integral logarítmica
• Función tanc
• Función Tanhc
• Función Sinhc
• Función Coshc

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• "Integral seno" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Coseno integral" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]