Amplitud (teoría de categorías)

En teoría de categorías , un span , techo o correspondencia es una generalización de la noción de relación entre dos objetos de una categoría . Cuando la categoría tiene todas las retrotraducciones (y satisface un pequeño número de otras condiciones), los spans pueden considerarse como morfismos en una categoría de fracciones .

La noción de intervalo se debe a Nobuo Yoneda (1954) y Jean Bénabou (1967).

Un span es un diagrama de tipo${\displaystyle \Lambda =(-1\leftarrow 0\rightarrow +1),}$es decir, un diagrama de la forma${\displaystyle Y\leftarrow X\rightarrow Z}$.

Es decir, sea Λ la categoría (-1 ← 0 → +1). Entonces un espacio generado en una categoría C es un functor S  :  Λ  → C . Esto significa que un espacio generado consta de tres objetos X , Y y Z de C y morfismos f : X → Y y g : X → Z : son dos aplicaciones con dominio común .         

El colímite de un tramo es un empuje hacia afuera .

• Si R es una relación entre conjuntos X e Y (es decir, un subconjunto de X × Y ), entonces X ← R → Y es un espacio generado, donde las aplicaciones son las proyecciones.${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X}$y${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$.
• Cualquier objeto produce el espacio trivial A ← A → A, donde las aplicaciones son la identidad.
• En términos más generales, dejemos${\displaystyle \phi \colon A\to B}$Sea un morfismo en alguna categoría. Existe un espacio generado trivialmente A ← A → B , donde la aplicación de la izquierda es la identidad en A, y la aplicación de la derecha es la aplicación dada φ .
• Si M es una categoría modelo , con W el conjunto de equivalencias débiles , entonces los intervalos de la forma${\displaystyle X\leftarrow Y\rightarrow Z,}$donde el morfismo izquierdo pertenece a W, puede considerarse un morfismo generalizado (es decir, donde se "invierten las equivalencias débiles"). Cabe destacar que este no es el punto de vista habitual al tratar con categorías modelo.

Un cospan K en una categoría C es un functor K  :  Λ ^op  → C ; equivalentemente, un functor contravariante de Λ a C . Es decir, un diagrama de tipo ${\displaystyle \Lambda ^{\text{op}}=(-1\rightarrow 0\leftarrow +1),}$es decir, un diagrama de la forma${\displaystyle Y\rightarrow X\leftarrow Z}$.

Así, consta de tres objetos X , Y y Z de C y morfismos f  : Y → X y g : Z → X : son dos aplicaciones con codominio común.       

El límite de un cospan es un retroceso .

Un ejemplo de cospan es un cobordismo W entre dos variedades M y N , donde las dos aplicaciones son las inclusiones en W. Cabe señalar que, si bien los cobordismos son cospans, la categoría de cobordismos no es una "categoría de cospan": no es la categoría de todos los cospans en "la categoría de variedades con inclusiones en la frontera", sino más bien una subcategoría de la misma, ya que el requisito de que M y N formen una partición de la frontera de W es una restricción global.

La categoría nCob de cobordismos de dimensión finita es una categoría compacta de daga . De forma más general, la categoría Span ( C ) de extensiones sobre cualquier categoría C con límites finitos también es compacta de daga.

• Relación binaria
• Retroceso (teoría de categorías)
• Empuje hacia afuera (teoría de categorías)
• Cobordismo