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Articulo de referencia

Ley de Coulomb

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La magnitud de la fuerza electrostática F entre dos cargas puntuales q₁ y q₂ es directamente proporcional al producto de las magnitudes de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Las cargas iguales se repelen y las cargas opuestas se atraen.

La ley del inverso del cuadrado de Coulomb , o simplemente ley de Coulomb , es una ley científica [ 1 ] de la física que describe la magnitud de la fuerza entre dos partículas cargadas eléctricamente en reposo. Esta fuerza eléctrica se denomina convencionalmente fuerza electrostática o fuerza de Coulomb . [ 2 ] Aunque la ley ya se conocía, fue publicada por primera vez en 1785 por el físico francés Charles-Augustin de Coulomb . La ley de Coulomb fue fundamental para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo e incluso podría ser su punto de partida, [ 1 ] ya que permitió discusiones significativas sobre la cantidad de carga eléctrica en una partícula. [ 3 ]

La ley establece que la magnitud, o valor absoluto, de la fuerza electrostática atractiva o repulsiva entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las magnitudes de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. [ 4 ] Coulomb descubrió que los cuerpos con cargas eléctricas iguales se repelen:

Por lo tanto, de estas tres pruebas se deduce que la fuerza repulsiva que ejercen entre sí las dos bolas —electrificadas con el mismo tipo de electricidad— es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. [ 5 ]

Coulomb también demostró que los cuerpos con cargas opuestas se atraen según una ley del inverso del cuadrado: |F|=kmi|q1||q2|r2{\displaystyle |F|=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}}}

Aquí, k e es la constante de Coulomb , q 1 y q 2 son las cantidades de cada carga, y el escalar r es la distancia entre las cargas.

La fuerza actúa a lo largo de la línea recta que une los dos cuerpos. Si las cargas tienen el mismo signo, la fuerza electrostática entre ellas las repele; si tienen signos diferentes, la fuerza entre ellas las atrae.

Al ser una ley del inverso del cuadrado , es similar a la ley de gravitación universal del inverso del cuadrado de Isaac Newton , pero las fuerzas gravitatorias siempre hacen que las cosas se atraigan, mientras que las fuerzas electrostáticas hacen que las cargas se atraigan o se repelan. Además, las fuerzas gravitatorias son mucho más débiles que las electrostáticas. [ 2 ] La ley de Coulomb se puede usar para derivar la ley de Gauss , y viceversa. En el caso de una sola carga puntual en reposo, las dos leyes son equivalentes, expresando la misma ley física de diferentes maneras. [ 6 ] La ley ha sido probada extensamente , y las observaciones la han confirmado en la escala de 10 −16 m a 10 8 m. [ 6 ]

La generalización dependiente del tiempo de la ley de Coulomb viene dada por las ecuaciones de Jefimenko , que describen el campo eléctrico y los campos magnéticos generados por distribuciones dependientes del tiempo de carga eléctrica y corriente.

Historia

Charles-Augustin de Coulomb

Las culturas antiguas alrededor del Mediterráneo sabían que ciertos objetos, como las varillas de ámbar , podían frotarse con pelo de gato para atraer objetos ligeros como plumas y trozos de papel. Tales de Mileto hizo la primera descripción documentada de la electricidad estática alrededor del año 600 a. C., [ 7 ] cuando notó que la fricción podía hacer que un trozo de ámbar atrajera objetos pequeños. [ 8 ] [ 9 ]

En 1600, el científico inglés William Gilbert realizó un estudio minucioso de la electricidad y el magnetismo, distinguiendo el efecto imán de la electricidad estática producida al frotar ámbar. [ 8 ] Acuñó la palabra neolatina electricus ("de ámbar" o "como el ámbar", de ἤλεκτρον [ elektron ], la palabra griega para "ámbar") para referirse a la propiedad de atraer objetos pequeños después de ser frotados. [ 10 ] Esta asociación dio origen a las palabras inglesas "electric" y "electricity", que aparecieron por primera vez impresas en la Pseudodoxia Epidemica de Thomas Browne de 1646. [ 11 ]

Entre los primeros investigadores del siglo XVIII que sospechaban que la fuerza eléctrica disminuía con la distancia como lo hacía la fuerza de gravedad (es decir, como el inverso del cuadrado de la distancia) se encontraban Daniel Bernoulli [ 12 ] y Alessandro Volta , quienes midieron la fuerza entre las placas de un condensador , y Franz Aepinus , quien supuso la ley del inverso del cuadrado en 1758. [ 13 ]

Basándose en experimentos con esferas cargadas eléctricamente , Joseph Priestley, de Inglaterra, fue uno de los primeros en proponer que la fuerza eléctrica seguía una ley del inverso del cuadrado , similar a la ley de gravitación universal de Newton . Sin embargo, no generalizó ni desarrolló esta idea. [ 14 ] En 1767, conjeturó que la fuerza entre cargas variaba como el inverso del cuadrado de la distancia. [ 15 ] [ 16 ]

Equilibrio de torsión de Coulomb

En 1769, el físico escocés John Robison anunció que, según sus mediciones, la fuerza de repulsión entre dos esferas con cargas del mismo signo variaba como x −2,06 . [ 17 ]

A principios de la década de 1770, Henry Cavendish de Inglaterra ya había descubierto, aunque no publicado, la dependencia de la fuerza entre cuerpos cargados con respecto a la distancia y la carga . [ 18 ] En sus notas, Cavendish escribió: «Podemos concluir, por lo tanto, que la atracción y repulsión eléctricas deben ser inversamente proporcionales a alguna potencia de la distancia entre la de 2 + 1/50 y la de 2 − 1/50 , y no hay razón para pensar que difiera en absoluto de la razón inversa duplicada».

Finalmente, en 1785, el físico francés Charles-Augustin de Coulomb publicó sus tres primeros informes sobre electricidad y magnetismo, donde enunció su ley. Esta publicación fue fundamental para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo . [ 4 ] Utilizó una balanza de torsión para estudiar las fuerzas de repulsión y atracción de partículas cargadas y determinó que la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

La balanza de torsión consiste en una barra suspendida por su centro mediante una fibra delgada. La fibra actúa como un resorte de torsión muy débil . En el experimento de Coulomb, la balanza de torsión era una varilla aislante con una bola recubierta de metal unida a un extremo, suspendida por un hilo de seda . La bola se cargó con una carga de electricidad estática conocida , y se acercó a ella una segunda bola cargada de la misma polaridad. Las dos bolas cargadas se repelieron entre sí, haciendo girar la fibra un cierto ángulo, que podía leerse en una escala del instrumento . Al conocer la fuerza necesaria para girar la fibra un ángulo determinado, Coulomb pudo calcular la fuerza entre las bolas y deducir su ley de proporcionalidad inversa al cuadrado.

Forma matemática

En la imagen, el vector F₁ representa la fuerza que actúa sobre q₁ , y el vector F₂ representa la fuerza que actúa sobre q₂ . Cuando q₁q₂ > 0, las fuerzas son repulsivas (como se muestra en la imagen), y cuando q₁q₂ < 0 , las fuerzas son atractivas (lo contrario a lo que se muestra en la imagen). La magnitud de las fuerzas siempre será igual.

La ley de Coulomb establece que la fuerza electrostáticaF1{\textstyle \mathbf {F} _{1}}experimentado por un cargo,q1{\displaystyle q_{1}}en posiciónr1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, en las proximidades de otra carga,q2{\displaystyle q_{2}}en posiciónr2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, en el vacío es igual a [ 19 ]F1=q1q24πε0r^12|r12|2{\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}}

dónder12=r1−r2{\textstyle \mathbf {r_{12}=r_{1}-r_{2}} }es el vector de desplazamiento entre las cargas,r^12{\textstyle {\sombrero {\mathbf {r} }}_{12}}un vector unitario que apunta desdeq2{\textstyle q_{2}}aq1{\textstyle q_{1}}, yε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}la constante eléctrica . Aquí,r^12{\textstyle \mathbf {\hat {r}} _ {12}}Se utiliza para la notación vectorial. La fuerza electrostáticaF2{\textstyle \mathbf {F} _{2}}experimentado porq2{\displaystyle q_{2}}Según la tercera ley de Newton , esF2=−F1{\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}.

Si ambos cargos tienen el mismo signo (cargos iguales), entonces el productoq1q2{\displaystyle q_{1}q_{2}}es positivo y la dirección de la fuerza enq1{\displaystyle q_{1}}es dado porr^12{\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}; las cargas se repelen entre sí. Si las cargas tienen signos opuestos, entonces el productoq1q2{\displaystyle q_{1}q_{2}}es negativo y la dirección de la fuerza enq1{\displaystyle q_{1}}es−r^12{\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}; las cargas se atraen entre sí. [ 20 ]

Sistema de cargas discretas

La ley de superposición permite extender la ley de Coulomb para incluir cualquier número de cargas puntuales. La fuerza que actúa sobre una carga puntual debido a un sistema de cargas puntuales es simplemente la suma vectorial de las fuerzas individuales que actúan sobre esa carga puntual por sí solas debido a cada una de las cargas. El vector de fuerza resultante es paralelo al vector del campo eléctrico en ese punto, sin considerar dicha carga puntual.

FuerzaF{\textstyle \mathbf {F} }por un pequeño cargoq{\displaystyle q}en posiciónr{\displaystyle \mathbf {r} }, debido a un sistema denorte{\textstyle n}Las cargas discretas en el vacío son [ 19 ]

F(r)=q4πε0∑i=1norteqir^i|ri|2,{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}},}

dóndeqi{\displaystyle q_{i}}es la magnitud de la i- ésima carga,ri{\textstyle \mathbf {r} _{i}}es el vector desde su posición hastar{\displaystyle \mathbf {r} }yr^i{\textstyle {\sombrero {\mathbf {r} }}_{i}}es el vector unitario en la dirección deri{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}.

Distribución continua de carga

En este caso, también se utiliza el principio de superposición lineal . Para una distribución de carga continua, una integral sobre la región que contiene la carga es equivalente a una suma infinita, tratando cada elemento infinitesimal del espacio como una carga puntual.dq{\displaystyle dq}La distribución de la carga suele ser lineal, superficial o volumétrica.

Para una distribución de carga lineal (una buena aproximación para la carga en un cable) dondeλ(r′){\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}da el cargo por unidad de longitud en la posiciónr′{\displaystyle \mathbf {r} '}, ydℓ′{\displaystyle d\ell '}es un elemento infinitesimal de longitud, [ 21 ]dq′=λ(r′)dℓ′.{\displaystyle dq'=\lambda (\mathbf {r'} )\,d\ell '.}

Para una distribución de carga superficial (una buena aproximación para la carga en una placa en un condensador de placas paralelas ) dondeσ(r′){\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}da el cargo por unidad de área en la posiciónr′{\displaystyle \mathbf {r} '}, ydA′{\displaystyle dA'}es un elemento infinitesimal de área, dq′=σ(r′)dA′.{\displaystyle dq'=\sigma (\mathbf {r'} )\,dA'.}

Para una distribución de carga volumétrica (como la carga dentro de un metal a granel) dondeρ(r′){\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}da el cargo por unidad de volumen en la posiciónr′{\displaystyle \mathbf {r} '}, ydV′{\displaystyle dV'}es un elemento infinitesimal de volumen, [ 20 ]dq′=ρ(r′)dV′.{\displaystyle dq'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}

La fuerza sobre una pequeña carga de pruebaq{\displaystyle q}en posiciónr{\displaystyle {\boldsymbol {r}}}en el vacío viene dada por la integral sobre la distribución de carga F(r)=q4πε0∫dq′r−r′|r−r′|3.{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int dq'{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r'} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}.}

La versión de "carga continua" de la ley de Coulomb nunca debe aplicarse a lugares para los cuales|r−r′|=0{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}porque esa ubicación se superpondría directamente con la ubicación de una partícula cargada (por ejemplo, un electrón o un protón), que no es una ubicación válida para analizar el campo eléctrico o el potencial clásicamente. La carga siempre es discreta en realidad, y la suposición de "carga continua" es solo una aproximación que no se supone que permita|r−r′|=0{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=0}para ser analizado.

constante de Coulomb

La constante de proporcionalidad,14πε0{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}, en la ley de Coulomb: F1=q1q24πε0r^12|r12|2{\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{12} \over {|\mathbf {r} _{12}|}^{2}}} es consecuencia de decisiones históricas sobre las unidades. [ 19 ] : 4–2

La constanteε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}es la permitividad eléctrica del vacío . [ 22 ] Usando el valor recomendado por CODATA 2022 paraε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}, [ 23 ] la constante de Coulomb [ 24 ] es kmi=14πε0≈8.987 551 785 972(14)×109 norte⋅metro2⋅do−2.{\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\approx 8.987\ 551\ 785\ 972(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N{\cdot }m^{2}{\cdot }C^{-2}} .} Su valor está determinado por la constante de estructura fina α determinada experimentalmente : kmi=αhdo2πmi2 ,{\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {\alpha hc}{2\pi e^{2}}}\ ,} with e being the elementary charge, h being the Planck constant, and c being the speed of light in vacuum, each with exactly defined values after 2019 revision of the SI.

Limitations

There are three conditions to be fulfilled for the validity of Coulomb's inverse square law:[25]

  1. The charges must have a spherically symmetric distribution (e.g. be point charges, or a charged metal sphere).
  2. The charges must not overlap (e.g. they must be distinct point charges).
  3. The charges must be stationary with respect to a non-accelerating frame of reference.

The last of these is known as the electrostatic approximation. When movement takes place, an extra factor is introduced, which alters the force produced on the two objects. This extra part of the force is called the magnetic force. For slow movement, the magnetic force is minimal and Coulomb's law can still be considered approximately correct. A more accurate approximation in this case is, however, the Weber force. When the charges are moving more quickly in relation to each other or accelerations occur, Maxwell's equations and Einstein's theory of relativity must be taken into consideration.

Electric field

If two charges have the same sign, the electrostatic force between them is repulsive; if they have different sign, the force between them is attractive.

An electric field is a vector field that associates to each point in space the Coulomb force experienced by a unit test charge.[19] The strength and direction of the Coulomb force F{\textstyle \mathbf {F} } on a charge qt{\textstyle q_{t}} depends on the electric field E{\textstyle \mathbf {E} } established by other charges that it finds itself in, such that F=qtE{\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }. In the simplest case, the field is considered to be generated solely by a single source point charge. More generally, the field can be generated by a distribution of charges who contribute to the overall by the principle of superposition.

If the field is generated by a positive source point charge q{\textstyle q}, the direction of the electric field points along lines directed radially outwards from it, i.e. in the direction that a positive point test charge qt{\textstyle q_{t}} would move if placed in the field. For a negative point source charge, the direction is radially inwards.

La magnitud del campo eléctrico E se puede derivar de la ley de Coulomb. Al elegir una de las cargas puntuales como fuente y la otra como carga de prueba, se deduce de la ley de Coulomb que la magnitud del campo eléctrico E creado por una única carga puntual fuente Q a cierta distancia r de ella en el vacío viene dada por |mi|=kmi|Q|r2{\displaystyle |\mathbf {E} |=k_{\text{e}}{\frac {|Q|}{r^{2}}}}

Un sistema de n cargas discretasqi{\displaystyle q_{i}}destinado enri=r−ri{\textstyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}produce un campo eléctrico cuya magnitud y dirección es, por superposición mi(r)=14πε0∑i=1norteqir^i|ri|2{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}}

Fuerzas atómicas

La ley de Coulomb se cumple incluso dentro de los átomos , describiendo correctamente la fuerza entre el núcleo atómico con carga positiva y cada uno de los electrones con carga negativa . Esta sencilla ley también explica correctamente las fuerzas que unen los átomos para formar moléculas y las que unen átomos y moléculas para formar sólidos y líquidos. En general, a medida que aumenta la distancia entre los iones , la fuerza de atracción y la energía de enlace se aproximan a cero, y el enlace iónico se vuelve menos favorable. A medida que aumenta la magnitud de las cargas opuestas, aumenta la energía y el enlace iónico se vuelve más favorable.

Relación con la ley de Gauss

Derivación de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb.

Estrictamente hablando, la ley de Gauss no puede derivarse únicamente de la ley de Coulomb, ya que esta última solo describe el campo eléctrico generado por una carga puntual electrostática individual. Sin embargo, la ley de Gauss puede demostrarse a partir de la ley de Coulomb si se asume, además, que el campo eléctrico obedece el principio de superposición . Este principio establece que el campo resultante es la suma vectorial de los campos generados por cada partícula (o la integral, si las cargas se distribuyen uniformemente en el espacio).

Esquema de la prueba

La ley de Coulomb establece que el campo eléctrico debido a una carga puntual estacionaria es: mi(r)=q4πε0mirr2{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}} dónde

Utilizando la expresión de la ley de Coulomb, obtenemos el campo total en r mediante una integral que suma el campo en r debido a la carga infinitesimal en cada otro punto s del espacio, para dar mi(r)=14πε0∫ρ(s)(r−s)|r−s|3d3s{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} } donde ρ es la densidad de carga. Si tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación con respecto a r, y usamos el teorema conocido [ 26 ]

∇⋅(r|r|3)=4πδ(r){\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )} donde δ (r) es la función delta de Dirac , el resultado es ∇⋅mi(r)=1ε0∫ρ(s)δ(r−s)d3s{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s} }

Utilizando la " propiedad de tamizado " de la función delta de Dirac, llegamos a ∇⋅mi(r)=ρ(r)ε0,{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},} que es la forma diferencial de la ley de Gauss, como se deseaba.

Dado que la ley de Coulomb solo se aplica a cargas estacionarias, no hay razón para esperar que la ley de Gauss se cumpla para cargas en movimiento basándose únicamente en esta deducción. De hecho, la ley de Gauss sí se cumple para cargas en movimiento y, en este sentido, es más general que la ley de Coulomb.

Demostración (sin delta de Dirac)

DejarΩ⊆R3{\displaystyle \Omega \subseteq R^{3}}sea ​​un conjunto abierto acotado, y mi0(r)=14πε0∫Ωρ(r′)r−r′|r−r′|3d3r′≡14πε0∫Ωmi(r,r′)d3r′{\displaystyle \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}d^{3}r'\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )d^{3}r'}sea ​​el campo eléctrico, conρ(r′){\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}una función continua (densidad de carga).

Es cierto para todos.r≠r′{\displaystyle \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }eso∇r⋅mi(r,r′)=0{\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0}.

Consideremos ahora un conjunto compactoV⊆R3{\displaystyle V\subseteq R^{3}}tener un límite suave por partes∂V{\displaystyle \partial V}de tal manera queΩ∩V=∅{\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset }De ello se deduce quemi(r,r′)∈do1(V×Ω){\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )}y así, para el teorema de la divergencia:

∮∂Vmi0⋅dS=∫V∇⋅mi0dV{\displaystyle \oint _{\partial V}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV}

Pero porquemi(r,r′)∈do1(V×Ω){\displaystyle e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )},

∇⋅mi0(r)=14πε0∫Ω∇r⋅mi(r,r′)dr′=0{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla _{\mathbf {r} }\cdot e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}=0} para el argumento anterior (Ω∩V=∅⟹∀r∈V  ∀r′∈Ω   r≠r′{\displaystyle \Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'} }y luego∇r⋅mi(r,r′)=0{\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0})

Por lo tanto, el flujo a través de una superficie cerrada generado por alguna densidad de carga fuera (de la superficie) es nulo.

Ahora considerer0∈Ω{\displaystyle \mathbf {r} _{0}\in \Omega }, yBR(r0)⊆Ω{\displaystyle B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega } como la esfera centrada enr0{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}teniendoR{\displaystyle R}como radio (existe porqueΩ{\displaystyle \Omega }es un conjunto abierto).

DejarmiBR{\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}}ymido{\displaystyle \mathbf {E} _{C}}sea ​​el campo eléctrico creado dentro y fuera de la esfera respectivamente. Entonces,

miBR=14πε0∫BR(r0)mi(r,r′)dr′{\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}, mido=14πε0∫Ω∖BR(r0)mi(r,r′)dr′{\displaystyle \mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}}ymiBR+mido=mi0{\displaystyle \mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}}

Φ(R)=∮∂BR(r0)mi0⋅dS=∮∂BR(r0)miBR⋅dS+∮∂BR(r0)mido⋅dS=∮∂BR(r0)miBR⋅dS{\displaystyle \Phi (R)=\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{0}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} +\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{C}\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\mathbf {E} _{B_{R}}\cdot d\mathbf {S} }

La última igualdad se deduce al observar que(Ω∖BR(r0))∩BR(r0)=∅{\displaystyle (\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset }y el argumento anterior.

El lado derecho es el flujo eléctrico generado por una esfera cargada, y por lo tanto:

Φ(R)=Q(R)ε0=1ε0∫BR(r0)ρ(r′)dr′=1ε0ρ(rdo′)|BR(r0)|{\displaystyle \Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c})|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}conrdo′∈ BR(r0){\displaystyle r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})}

Donde la última igualdad se deduce del teorema del valor medio para integrales. Usando el teorema de compresión y la continuidad deρ{\displaystyle \rho }, se llega a:

∇⋅mi0(r0)=límiteR→01|BR(r0)|Φ(R)=1ε0ρ(r0){\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{|B_{R}(\mathbf {r} _{0})|}}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})}

Derivación de la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss.

En rigor, la ley de Coulomb no puede derivarse únicamente de la ley de Gauss, ya que esta última no proporciona información sobre el rotacional de E (véase la descomposición de Helmholtz y la ley de Faraday ). Sin embargo, la ley de Coulomb puede demostrarse a partir de la ley de Gauss si se supone, además, que el campo eléctrico de una carga puntual es esféricamente simétrico (esta suposición, al igual que la propia ley de Coulomb, es exactamente cierta si la carga está en reposo y aproximadamente cierta si está en movimiento).

Esquema de la prueba

Tomando S en la forma integral de la ley de Gauss como una superficie esférica de radio r , centrada en la carga puntual Q , tenemos ∮Smi⋅dA=Qε0{\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}

Bajo la suposición de simetría esférica, el integrando es una constante que puede sacarse de la integral. El resultado es 4πr2r^⋅mi(r)=Qε0{\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}} donde r̂ es un vector unitario que apunta radialmente alejándose de la carga. Nuevamente, por simetría esférica, E apunta en la dirección radial, y así obtenemos mi(r)=Q4πε0r^r2{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}} lo cual es esencialmente equivalente a la ley de Coulomb. Por lo tanto, la dependencia del campo eléctrico con el inverso del cuadrado en la ley de Coulomb se deriva de la ley de Gauss.

En relatividad

La ley de Coulomb puede utilizarse para comprender la forma del campo magnético generado por cargas en movimiento, ya que, según la relatividad especial, en ciertos casos el campo magnético puede demostrarse como una transformación de las fuerzas causadas por el campo eléctrico . Cuando no hay aceleración en la historia de una partícula, la ley de Coulomb puede aplicarse a cualquier partícula de prueba en su propio sistema de referencia inercial, lo cual se apoya en argumentos de simetría al resolver la ecuación de Maxwell , mostrada anteriormente. La ley de Coulomb puede extenderse a partículas de prueba en movimiento para que tengan la misma forma. Esta suposición está respaldada por la ley de la fuerza de Lorentz, que, a diferencia de la ley de Coulomb, no se limita a cargas de prueba estacionarias. Considerando que la carga es invariante respecto del observador, los campos eléctrico y magnético de una carga puntual en movimiento uniforme pueden derivarse mediante la transformación de Lorentz de la fuerza cuadripolar sobre la carga de prueba en su sistema de referencia, dada por la ley de Coulomb, y atribuyendo los campos magnético y eléctrico según sus definiciones dadas por la forma de la fuerza de Lorentz . [ 27 ] Los campos hallados para cargas puntuales que se mueven uniformemente vienen dados por: [ 28 ]mi=q4πε0r31−β2(1−β2pecado2⁡θ)3/2r{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} }B=q4πε0r31−β2(1−β2pecado2⁡θ)3/2v×rdo2=v×mido2{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {r} }{c^{2}}}={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}}dóndeq{\displaystyle q}es la carga de la fuente puntual,r{\displaystyle \mathbf {r} }es el vector de posición desde el punto de origen hasta el punto en el espacio,v{\displaystyle \mathbf {v} }es el vector de velocidad de la partícula cargada,β{\displaystyle \beta }es la relación entre la velocidad de la partícula cargada dividida por la velocidad de la luz yθ{\displaystyle \theta }es el ángulo entrer{\displaystyle \mathbf {r} }yv{\displaystyle \mathbf {v} }.

Esta forma de soluciones no necesita obedecer la tercera ley de Newton como es el caso en el marco de la relatividad especial (pero sin violar la conservación del momento de energía relativista). [ 29 ] Nótese que la expresión para el campo eléctrico se reduce a la ley de Coulomb para velocidades no relativistas de la carga puntual y que el campo magnético en el límite no relativista (aproximandoβ≪1{\displaystyle \beta \ll 1}) se puede aplicar a corrientes eléctricas para obtener la ley de Biot-Savart . Estas soluciones, cuando se expresan en tiempo retardado, también corresponden a la solución general de las ecuaciones de Maxwell dada por las soluciones del potencial de Liénard-Wiechert , debido a la validez de la ley de Coulomb dentro de su rango de aplicación específico. También cabe señalar que la simetría esférica para la ley de Gauss en cargas estacionarias no es válida para cargas en movimiento debido a la ruptura de simetría por la especificación de la dirección de la velocidad en el problema. La concordancia con las ecuaciones de Maxwell también se puede verificar manualmente para las dos ecuaciones anteriores. [ 30 ]

potencial de Coulomb

Teoría cuántica de campos

El diagrama de Feynman más básico para la interacción QED entre dos fermiones.

El potencial de Coulomb admite estados continuos (con E > 0), que describen la dispersión electrón-protón , así como estados ligados discretos, que representan el átomo de hidrógeno. [ 31 ] También puede derivarse dentro del límite no relativista entre dos partículas cargadas, como sigue:

Bajo la aproximación de Born , en mecánica cuántica no relativista, la amplitud de dispersiónA(|pag⟩→|pag′⟩){\textstyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )}es: A(|pag⟩→|pag′⟩)−1=2πδ(mipag−mipag′)(−i)∫d3rV(r)mi−i(pag−pag′)r{\displaystyle {\mathcal {A}}(|\mathbf {p} \rangle \to |\mathbf {p} '\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-i)\int d^{3}\mathbf {r} \,V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }} Esto debe compararse con: ∫d3k(2π)3miikr0⟨pag′,k|S|pag,k⟩{\displaystyle \int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}e^{ikr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle } donde observamos la entrada (conectada) de la matriz S para dos electrones que se dispersan entre sí, tratando a uno con momento "fijo" como la fuente del potencial, y al otro dispersándose a partir de ese potencial.

Utilizando las reglas de Feynman para calcular el elemento de la matriz S, obtenemos en el límite no relativista conmetro0≫|pag|{\displaystyle m_{0}\gg |\mathbf {p} |}⟨pag′,k|S|pag,k⟩|doonortenorte=−imi2|pag−pag′|2−iε(2metro)2δ(mipag,k−mipag′,k)(2π)4δ(pag−pag′){\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-i{\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}

En comparación con la dispersión QM, tenemos que descartar la(2metro)2{\displaystyle (2m)^{2}}ya que surgen debido a las diferentes normalizaciones del autoestado del momento en la QFT en comparación con la QM y se obtiene: ∫V(r)mi−i(pag−pag′)rd3r=mi2|pag−pag′|2−iε{\displaystyle \int V(\mathbf {r} )e^{-i(\mathbf {p} -\mathbf {p} ')\mathbf {r} }d^{3}\mathbf {r} ={\frac {e^{2}}{|\mathbf {p} -\mathbf {p} '|^{2}-i\varepsilon }}} donde transformamos de Fourier ambos lados, resolvemos la integral y tomamosε→0{\displaystyle \varepsilon \to 0}al final dará como resultado V(r)=mi24πr{\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}} como el potencial de Coulomb. [ 32 ]

Sin embargo, se cree que los resultados equivalentes de las derivaciones clásicas de Born para el problema de Coulomb son estrictamente accidentales. [ 33 ] [ 34 ]

El potencial de Coulomb, y su derivación, puede verse como un caso especial del potencial de Yukawa , que es el caso en el que el bosón intercambiado –el fotón– no tiene masa en reposo. [ 31 ]

Verificación

Experimento para verificar la ley de Coulomb.

Es posible verificar la ley de Coulomb con un experimento sencillo. Consideremos dos pequeñas esferas de masametro{\displaystyle m}y cargo del mismo signoq{\displaystyle q}, colgando de dos cuerdas de masa insignificante de longitudl{\displaystyle l}Las fuerzas que actúan sobre cada esfera son tres: el pesometrogramo{\displaystyle mg}la tensión de la cuerdaT{\displaystyle \mathbf {T} }y la fuerza eléctricaF{\displaystyle \mathbf {F} }. En el estado de equilibrio:

y

Dividing (1) by (2):

Let L1{\displaystyle \mathbf {L} _{1}} be the distance between the charged spheres; the repulsion force between them F1{\displaystyle \mathbf {F} _{1}}, assuming Coulomb's law is correct, is equal to

so:

If we now discharge one of the spheres, and we put it in contact with the charged sphere, each one of them acquires a charge q2{\textstyle {\frac {q}{2}}}. In the equilibrium state, the distance between the charges will be L2<L1{\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}} and the repulsion force between them will be:

We know that F2=mgtan⁡θ2{\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}} and: q244πε0L22=mgtan⁡θ2{\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}} Dividing (4) by (5), we get:

Measuring the angles θ1{\displaystyle \theta _{1}} and θ2{\displaystyle \theta _{2}} and the distance between the charges L1{\displaystyle \mathbf {L} _{1}} and L2{\displaystyle \mathbf {L} _{2}} is sufficient to verify that the equality is true taking into account the experimental error. In practice, angles can be difficult to measure, so if the length of the ropes is sufficiently great, the angles will be small enough to make the following approximation:

Using this approximation, the relationship (6) becomes the much simpler expression:

In this way, the verification is limited to measuring the distance between the charges and checking that the division approximates the theoretical value.

See also

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