función de onda de Coulomb

En matemáticas , una función de onda de Coulomb es una solución de la ecuación de onda de Coulomb , que recibe su nombre de Charles-Augustin de Coulomb . Se utilizan para describir el comportamiento de partículas cargadas en un potencial de Coulomb y pueden expresarse en términos de funciones hipergeométricas confluentes o funciones de Whittaker de argumento imaginario.

ecuación de onda de Coulomb

La ecuación de onda de Coulomb para una sola partícula cargada de masa $m$ es la ecuación de Schrödinger con potencial de Coulomb ^{[ 1 ]}

\left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,

dónde $Z=Z_{1}Z_{2}$ es el producto de las cargas de la partícula y de la fuente del campo (en unidades de la carga elemental , $Z=-1$ para el átomo de hidrógeno), $\alpha$ es la constante de estructura fina y $\hbar ^{2}k^{2}/(2m)$ es la energía de la partícula. La solución, que es la función de onda de Coulomb, se puede encontrar resolviendo esta ecuación en coordenadas parabólicas.

\xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.

Dependiendo de las condiciones de contorno elegidas, la solución tiene diferentes formas. Dos de las soluciones son ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,

dónde $M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!F_{1}(a;b;z)$ es la función hipergeométrica confluente , $\eta =Zmc\alpha /(\hbar k)$ y $\Gamma (z)$ es la función gamma . Las dos condiciones de contorno utilizadas aquí son:

\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,

que corresponden a ${\vec {k}}$ Estados asintóticos de onda plana orientados antes o después de su aproximación a la fuente de campo en el origen, respectivamente. Las funciones $\psi _{\vec {k}}^{(\pm )}$ están relacionados entre sí por la fórmula

\psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.

Expansión de ondas parciales

La función de onda $\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})$ se pueden expandir en ondas parciales (es decir, con respecto a la base angular) para obtener funciones radiales independientes del ángulo. $w_{\ell}(\eta,\rho)$ . Aquí $\rho =kr$ .

\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.

Un único término de la expansión puede aislarse mediante el producto escalar con un armónico esférico específico.

\psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.

La ecuación para una sola onda parcial $w_{\ell}(\eta,\rho)$ se puede obtener reescribiendo el laplaciano en la ecuación de onda de Coulomb en coordenadas esféricas y proyectando la ecuación sobre un armónico esférico específico. $Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})$

{\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.

Las soluciones también se denominan funciones de onda de Coulomb (parciales) o funciones de Coulomb esféricas. $z=-2i\rho$ transforma la ecuación de onda de Coulomb en la ecuación de Whittaker , de modo que las funciones de onda de Coulomb se pueden expresar en términos de funciones de Whittaker con argumentos imaginarios. $M_{-i\eta,\ell +1/2}(-2i\rho)$ y $W_{-i\eta,\ell +1/2}(-2i\rho)$ Esto último puede expresarse en términos de las funciones hipergeométricas confluentes . $M$ y $U$ . Para $\ell \in \mathbb {Z}$ , se definen las soluciones especiales ^{[ 4 ]}

H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,

dónde

\sigma _{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )

Se denomina desplazamiento de fase de Coulomb. También se definen las funciones reales.

F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,

G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.

En particular uno tiene

F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.

El comportamiento asintótico de las funciones de Coulomb esféricas $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ , $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ , y $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ en libertad $\rho$ es

H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,

F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,

G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,

dónde

\theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.

Las soluciones $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ corresponden a ondas esféricas entrantes y salientes. Las soluciones $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ y $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ son reales y se denominan funciones de onda de Coulomb regulares e irregulares. En particular, se tiene la siguiente expansión de onda parcial para la función de onda. $\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})$ ^{[ 5 ]}

\psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,

En el límite $\eta \to 0$ funciones de onda de Coulomb regulares/irregulares $F_{\ell }(\eta ,\rho )$ , $G_{\ell }(\eta ,\rho )$ son proporcionales a las funciones de Bessel esféricas y a las funciones de Coulomb esféricas. $H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )$ son proporcionales a las funciones de Hankel esféricas

F_{\ell }(0,\rho )/\rho =j_{\ell }(\rho )

G_{\ell }(0,\rho )/\rho =-y_{\ell }(\rho )

H_{\ell }^{(+)}(0,\rho )/\rho =i\,h_{\ell }^{(1)}(\rho )

H_{\ell }^{(-)}(0,\rho )/\rho =-i\,h_{\ell }^{(2)}(\rho )

y se normalizan igual que las funciones de Bessel esféricas.

\int \limits _{0}^{\infty }j_{l}(k\,r)j_{l}(k'r)\,r^{2}dr=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {F_{\ell }\left(\pm {\frac {1}{a_{0}k}},k\,r\right)}{k\,r}}{\frac {F_{\ell }\left(\pm {\frac {1}{a_{0}k'}},k'r\right)}{k'r}}\,r^{2}dr={\frac {\pi }{2k^{2}}}\delta (k-k')

y similar para los otros 3.

Propiedades de la función de Coulomb

Las partes radiales para un momento angular dado son ortonormales. Cuando se normalizan en la escala del número de onda ( escala k ), las funciones de onda radiales del continuo satisfacen ^{[ 6 ]}^{[ 7 ].}

\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')

Otras normalizaciones comunes de las funciones de onda continuas se encuentran en la escala de número de onda reducido ( $k/2\pi$ -escala),

\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,

y en la escala energética

\int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.

Las funciones de onda radial definidas en la sección anterior están normalizadas a

\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')

como consecuencia de la normalización

\int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.

Las funciones de onda de Coulomb del continuo (o de dispersión) también son ortogonales a todos los estados ligados de Coulomb ^{[ 8 ].}

\int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0

debido a que son autoestados del mismo operador hermitiano (el hamiltoniano ) con diferentes autovalores.

Lecturas adicionales

Bateman, Harry (1953), Funciones trascendentales superiores (PDF) , vol. 1, McGraw-Hill, archivado del original (PDF) el 11 de agosto de 2011 , consultado el 30 de julio de 2011..
Jaeger, JC; Hulme, HR (1935), "La conversión interna de rayos γ con la producción de electrones y positrones", Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias Matemáticas y Físicas , 148 (865): 708–728 , Bibcode : 1935RSPSA.148..708J , doi : 10.1098/rspa.1935.0043 , ISSN 0080-4630 , JSTOR 96298
Slater, Lucy Joan (1960), Funciones hipergeométricas confluentes , Cambridge University Press , MR 0107026 .

Referencias

↑ Hill, Robert N. (2006), Drake, Gordon (ed.), Handbook of atomic, molecular and optical physics , Springer New York, pp. 153– 155, doi : 10.1007/978-0-387-26308-3 , ISBN 978-0-387-20802-2
↑ Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, Teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, pág. 569
↑ Messiah, Albert (1961), Mecánica cuántica , North Holland Publ. Co., pág. 485
↑ Gaspard, David (2018), "Fórmulas de conexión entre funciones de onda de Coulomb", J. Math. Phys. , 59 (11): 112104, arXiv : 1804.10976 , doi : 10.1063/1.5054368
↑ Messiah, Albert (1961), Mecánica cuántica , North Holland Publ. Co., pág. 426
^ Formánek, Jiří ( 2004), Introducción a la teoría cuántica I (en checo) (2ª ed.), Praga: Academia, págs. 128-130
↑ Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, Teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, pág. 121
↑ Landau, LD; Lifshitz, EM ( 1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, Teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, págs. 668–669

[1] Hill, Robert N. (2006), Drake, Gordon (ed.), Handbook of atomic, molecular and optical physics , Springer New York, pp. 153– 155, doi : 10.1007/978-0-387-26308-3 , ISBN 978-0-387-20802-2

[2] Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, Teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, pág. 569

[3] Messiah, Albert (1961), Mecánica cuántica , North Holland Publ. Co., pág. 485

[4] Gaspard, David (2018), "Fórmulas de conexión entre funciones de onda de Coulomb", J. Math. Phys. , 59 (11): 112104, arXiv : 1804.10976 , doi : 10.1063/1.5054368

[5] Messiah, Albert (1961), Mecánica cuántica , North Holland Publ. Co., pág. 426

[6] Formánek, Jiří ( 2004), Introducción a la teoría cuántica I (en checo) (2ª ed.), Praga: Academia, págs. 128-130

[7] Landau, LD; Lifshitz, EM (1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, Teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, pág. 121

[8] Landau, LD; Lifshitz, EM ( 1977), Curso de física teórica III: Mecánica cuántica, Teoría no relativista (3.ª ed.), Pergamon Press, págs. 668–669

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