Cálculo

Contar es el proceso de determinar la cantidad de elementos de un conjunto finito de objetos; es decir, determinar el tamaño de un conjunto. La forma tradicional de contar consiste en incrementar continuamente un contador (mental o verbal) en una unidad por cada elemento del conjunto, en un orden determinado, marcando (o desplazando) dichos elementos para evitar visitar el mismo elemento más de una vez, hasta que no queden elementos sin marcar. Si el contador se puso en uno después del primer objeto, el valor después de visitar el último objeto proporciona la cantidad deseada de elementos. El término relacionado, enumeración, se refiere a la identificación unívoca de los elementos de un conjunto finito (combinatorio) o infinito mediante la asignación de un número a cada elemento.

A veces, contar implica números distintos de uno; por ejemplo, al contar dinero, dar el cambio, "contar de dos en dos" (2, 4, 6, 8, 10, 12,  ...) o "contar de cinco en cinco" (5, 10, 15, 20, 25,  ...).

Hay evidencia arqueológica que sugiere que los humanos han estado contando por al menos 50 000  años. ^{[ 1 ]} El conteo fue utilizado principalmente por las culturas antiguas para llevar un registro de datos sociales y económicos como el número de miembros del grupo, animales de presa, propiedades o deudas (es decir, contabilidad ). También se encontraron huesos con muescas en las cuevas de Border en Sudáfrica, lo que puede sugerir que el concepto de contar era conocido por los humanos ya en el 44 000 a. C. ^{[ 2 ]} El desarrollo del conteo condujo al desarrollo de la notación matemática , los sistemas numéricos y la escritura .

El conteo verbal consiste en decir números secuenciales en voz alta o mentalmente para seguir el progreso. Generalmente, este conteo se realiza con números de base  10 : "1, 2, 3, 4", etc. El conteo verbal se usa a menudo para objetos presentes en el momento, en lugar de para contar cosas a lo largo del tiempo, ya que, tras una interrupción, el conteo debe reanudarse desde donde se interrumpió, un número que debe registrarse o recordarse.

Contar un pequeño conjunto de objetos, especialmente a lo largo del tiempo, se puede hacer de manera eficiente con marcas de conteo : se hace una marca por cada número y luego se cuentan todas las marcas una vez terminado el conteo. El conteo es un sistema de base  1 .

Contar con los dedos es práctico y común para números pequeños. Los niños cuentan con los dedos para facilitar el recuento y realizar operaciones matemáticas sencillas. Los métodos antiguos de conteo con los dedos utilizaban los cuatro dedos y los tres huesos de cada dedo ( falanges ) para contar hasta doce. ^{[ 3 ]} También se utilizan otros sistemas de gestos con las manos, por ejemplo, el sistema chino, mediante el cual se puede contar hasta 10 usando solo gestos de una mano. Con el sistema binario de dedos es posible mantener un conteo de dedos hasta 1023 = 2 ¹⁰ − 1 .

También se pueden utilizar diversos dispositivos para facilitar el conteo, como contadores de conteo y ábacos .

El conteo inclusivo y el exclusivo son dos métodos diferentes. En el conteo inclusivo, las unidades se cuentan desde el inicio del punto de partida hasta el final del último punto. En el conteo exclusivo, las unidades se cuentan al final de cada intervalo, excluyendo así el punto de partida. Esto da como resultado un conteo siempre mayor en una unidad al usar el conteo inclusivo, en comparación con el conteo exclusivo, para el mismo conjunto. Aparentemente, la introducción del cero en la recta numérica resolvió esta dificultad; sin embargo, el conteo inclusivo sigue siendo útil para algunas cosas.

Consulte también el error del poste de la cerca , que es un tipo de error de uno .

El conteo inclusivo se encuentra generalmente al tratar con el tiempo en los calendarios romanos y las lenguas romances . ^{[ 4 ]} En el antiguo calendario romano , el nones (que significa "nueve") es 8 días antes del idus ; más generalmente, las fechas se especifican como días contados inclusivamente hasta el siguiente día nombrado. ^{[ 4 ]}

En el calendario litúrgico cristiano , Quinquagesima (que significa 50) son 49  días antes del Domingo de Pascua. Al contar "de forma inclusiva", el domingo (el día de inicio) será el día 1 y, por lo tanto, el domingo siguiente será el octavo día . Por ejemplo, la frase en francés para " quincena " es quinzaine (15  [días]), y existen palabras similares en griego (δεκα πενθήμερο , deka penthí mero ) , español (quimquina ) y portugués (quinzena ) .

En cambio, la palabra inglesa "fortnight" deriva de "a fourteen-night" (una quincena), al igual que la arcaica " sennight " deriva de "a seven-night" (una noche de siete); las palabras inglesas no son ejemplos de conteo inclusivo. En lenguas con conteo exclusivo, como el inglés, al contar ocho días "desde el domingo", el lunes será el día 1 , el martes el día 2 y el lunes siguiente el octavo día . Durante muchos años, fue práctica habitual en el derecho inglés que la frase "from a date" significara "comenzando el día después de esa fecha": esta práctica ahora está desaconsejada debido al alto riesgo de malentendidos. ^{[ 5 ]}

Un sistema de conteo similar se utiliza en el cálculo de la edad en Asia Oriental , donde se considera que los recién nacidos tienen 1 año al nacer.

La terminología musical también utiliza un conteo inclusivo de intervalos entre las notas de la escala estándar: subir una nota es un segundo intervalo, subir dos notas es un tercer intervalo, etc., y subir siete notas es una octava .

Aprender a contar es un hito educativo y de desarrollo importante en la mayoría de las culturas del mundo. Aprender a contar es el primer paso de un niño hacia las matemáticas y constituye la idea más fundamental de esta disciplina. Sin embargo, algunas culturas de la Amazonia y del Outback australiano no cuentan, ^{[ 6 ] [ 7 ]} y sus idiomas no tienen palabras para los números.

Muchos niños de tan solo 2 años de edad tienen cierta habilidad para recitar la lista de conteo (es decir, decir "uno, dos, tres,  ..."). También pueden responder preguntas de ordinalidad para números pequeños, por ejemplo, "¿Qué viene después del tres ?". Incluso pueden ser hábiles para señalar cada objeto en un conjunto y recitar las palabras una tras otra. Esto lleva a muchos padres y educadores a la conclusión de que el niño sabe cómo usar el conteo para determinar el tamaño de un conjunto. ^{[ 8 ]} La investigación sugiere que se necesita aproximadamente un año después de aprender estas habilidades para que un niño entienda qué significan y por qué se realizan los procedimientos. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Mientras tanto, los niños aprenden a nombrar cardinalidades que pueden subitizar .

En matemáticas, la esencia de contar un conjunto y hallar un resultado n radica en establecer una correspondencia biyectiva (o biyección) entre el conjunto en cuestión y el subconjunto de enteros positivos {1, 2,  ..., n }. Un hecho fundamental, demostrable por inducción matemática , es que no puede existir ninguna biyección entre {1, 2,  ..., n } y {1, 2,  ..., m } a menos que n = m . Este hecho (junto con el hecho de que dos biyecciones pueden combinarse para formar otra biyección) garantiza que contar el mismo conjunto de diferentes maneras nunca dará como resultado números distintos (salvo error). Este es el teorema matemático fundamental que da sentido al conteo: independientemente de cómo se cuente un conjunto (finito), el resultado es el mismo. En un contexto más amplio, este teorema es un ejemplo de teorema en el campo matemático de la combinatoria (finita) ; por ello, a la combinatoria (finita) se la denomina a veces "las matemáticas del conteo".

Muchos conjuntos que surgen en matemáticas no permiten establecer una biyección con {1, 2,  ..., n } para ningún número natural n ; estos se denominan conjuntos infinitos , mientras que aquellos conjuntos para los que sí existe tal biyección (para algún n ) se denominan conjuntos finitos . Los conjuntos infinitos no pueden contarse en el sentido habitual; por un lado, los teoremas matemáticos que sustentan este sentido habitual para conjuntos finitos son falsos para conjuntos infinitos. Además, las diferentes definiciones de los conceptos en términos de los cuales se enuncian estos teoremas, si bien son equivalentes para conjuntos finitos, no lo son en el contexto de conjuntos infinitos.

La noción de conteo puede extenderse a estos conjuntos en el sentido de establecer (la existencia de) una biyección con algún conjunto bien definido. Por ejemplo, si un conjunto puede biyectarse con el conjunto de todos los números naturales, se le denomina " contablemente infinito ". Este tipo de conteo difiere fundamentalmente del conteo de conjuntos finitos, ya que añadir nuevos elementos a un conjunto no necesariamente aumenta su tamaño, puesto que no se excluye la posibilidad de una biyección con el conjunto original. Por ejemplo, el conjunto de todos los números enteros (incluidos los negativos) puede biyectarse con el conjunto de los números naturales, e incluso conjuntos aparentemente mucho mayores, como el de todas las sucesiones finitas de números racionales, siguen siendo (solo) contablemente infinitos. Sin embargo, existen conjuntos, como el de los números reales , que pueden demostrarse "demasiado grandes" para admitir una biyección con los números naturales, y estos conjuntos se denominan " incontables ". Se dice que los conjuntos que son biyectivos tienen la misma cardinalidad , y en el sentido más general, contar un conjunto equivale a determinar su cardinalidad. Más allá de las cardinalidades dadas por cada número natural, existe una jerarquía infinita de cardinalidades infinitas, aunque solo unas pocas de ellas aparecen en las matemáticas ordinarias (es decir, fuera de la teoría de conjuntos que estudia explícitamente las cardinalidades posibles).

El conteo, principalmente de conjuntos finitos, tiene diversas aplicaciones en matemáticas. Un principio importante es que si dos conjuntos X e Y tienen el mismo número finito de elementos, y se sabe que una función f : X → Y es inyectiva , entonces también es sobreyectiva , y viceversa. Un hecho relacionado se conoce como el principio del palomar , que establece que si dos conjuntos X e Y tienen números finitos de elementos n y m con n > m , entonces cualquier aplicación f : X → Y no es inyectiva (por lo que existen dos elementos distintos de X que f envía al mismo elemento de Y ); esto se deduce del principio anterior, ya que si f fuera inyectiva, también lo sería su restricción a un subconjunto estricto S de X con m elementos, restricción que sería sobreyectiva, contradiciendo el hecho de que para x en X fuera de S , f ( x ) no puede ser la imagen de la restricción. Argumentos de conteo similares pueden probar la existencia de ciertos objetos sin proporcionar explícitamente un ejemplo. En el caso de conjuntos infinitos, esto puede aplicarse incluso en situaciones en las que es imposible dar un ejemplo.

El dominio de la combinatoria enumerativa se ocupa de calcular el número de elementos de conjuntos finitos, sin contarlos realmente; esto último suele ser imposible porque se consideran a la vez familias infinitas de conjuntos finitos, como el conjunto de permutaciones de {1, 2,  ..., n } para cualquier número natural n .