Coeficiente de acoplamiento de resonadores

Las definiciones anteriores bien conocidas del coeficiente de acoplamiento de resonadores se dan en la monografía de G. Matthaei et al . ^{[ 2 ]} Nótese que estas definiciones son aproximadas porque se formularon bajo el supuesto de que el acoplamiento entre resonadores es suficientemente pequeño. El coeficiente de acoplamiento${\displaystyle k}$para el caso de dos resonadores iguales se define por fórmula

${\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}$(1)

dónde${\displaystyle f_{e},}$${\displaystyle f_{o}}$son las frecuencias de oscilaciones acopladas pares e impares del par de resonadores sin carga y${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{e}f_{o}}}.}$Es obvio que el coeficiente de acoplamiento definido por la fórmula (2) es una constante positiva que caracteriza la interacción de los resonadores a la frecuencia de resonancia.${\displaystyle f_{0}.}$

En caso de que una red equivalente apropiada que tenga un inversor de impedancia o admitancia cargado en ambos puertos con redes resonantes de un puerto pueda coincidir con el par de resonadores acoplados con frecuencias de resonancia iguales, el coeficiente de acoplamiento${\displaystyle k}$se define mediante la fórmula

${\displaystyle k={\frac {K_{12}}{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}}$(2)

para resonadores de tipo serie y por la fórmula

${\displaystyle k={\frac {J_{12}}{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}}$(3)

para resonadores de tipo paralelo. Aquí${\displaystyle K_{12},}$${\displaystyle J_{12}}$son parámetros del inversor de impedancia y del inversor de admitancia,${\displaystyle x_{1},}$${\displaystyle x_{2}}$son parámetros de pendiente de reactancia de la primera y la segunda red resonante de tipo serie a frecuencia de resonancia${\displaystyle f_{0},}$y${\displaystyle b_{1},}$${\displaystyle b_{2}}$son los parámetros de pendiente de susceptancia de la primera y la segunda red resonante de tipo paralelo.

Cuando los resonadores son circuitos LC resonantes, el coeficiente de acoplamiento de acuerdo con (2) y (3) toma el valor

${\displaystyle k_{L}={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}}$(4)

para los circuitos con acoplamiento inductivo y el valor

${\displaystyle k_{C}={\frac {C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$(5)

para los circuitos con acoplamiento capacitivo . Aquí${\displaystyle L_{1},}$${\displaystyle C_{1}}$son la inductancia y la capacitancia del primer circuito,${\displaystyle L_{2},}$${\displaystyle C_{2}}$son la inductancia y la capacitancia del segundo circuito, y${\displaystyle L_{m},}$${\displaystyle C_{m}}$son la inductancia mutua y la capacitancia mutua . Las fórmulas (4) y (5) se conocen desde hace mucho tiempo en la teoría de redes eléctricas . Representan los valores de los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo de los circuitos LC resonantes acoplados.

El refinamiento de la fórmula aproximada (1) se llevó a cabo en ^{[ 3 ]} . La fórmula exacta tiene una forma

${\displaystyle k={\frac {f_{o}^{2}-f_{e}^{2}}{f_{o}^{2}+f_{e}^{2}}}.}$(6)

Las fórmulas (4) y (5) se utilizaron para derivar esta expresión. Ahora la fórmula (6) es universalmente reconocida. Se presenta en la monografía altamente citada de JS. Hong. ^{[ 4 ]} Se observa que el coeficiente de acoplamiento${\displaystyle k}$tiene un valor negativo si${\displaystyle f_{o}<f_{e}.}$

De acuerdo con la nueva definición (6), el valor del coeficiente de acoplamiento inductivo de los circuitos LC resonantes${\displaystyle k_{L}}$se expresa mediante la fórmula (4) como antes. Tiene un valor positivo cuando${\displaystyle L_{m}>0}$y un valor negativo cuando${\displaystyle L_{m}<0.}$

Mientras que el valor del coeficiente de acoplamiento capacitivo de los circuitos LC resonantes${\displaystyle k_{C}}$siempre es negativo. De acuerdo con (6), la fórmula (5) para el coeficiente de acoplamiento capacitivo de circuitos resonantes toma una forma diferente.

${\displaystyle k_{C}={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}.}$(7)

El acoplamiento entre resonadores electromagnéticos puede realizarse mediante un campo magnético o eléctrico . El acoplamiento mediante campo magnético se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento inductivo.${\displaystyle k_{L}}$y el acoplamiento por campo eléctrico se caracteriza por el coeficiente de acoplamiento capacitivo${\displaystyle k_{C}.}$Generalmente valores absolutos de${\displaystyle k_{L}}$y${\displaystyle k_{C}}$decaen monótonamente cuando aumenta la distancia entre los resonadores. Sus tasas de decaimiento pueden ser diferentes. Sin embargo, el valor absoluto de su suma puede decaer en todo el rango de distancias y aumentar en cierto rango de distancias. ^{[ 5 ]}

La suma de los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo se realiza mediante la fórmula ^{[ 3 ].}

${\displaystyle k={\frac {k_{L}+k_{C}}{1+k_{L}k_{C}}}.}$(8)

Esta fórmula se deriva de la definición (6) y las fórmulas (4) y (7).

Nótese que el signo del coeficiente de acoplamiento${\displaystyle k}$El signo en sí mismo no tiene importancia. La respuesta en frecuencia del filtro no cambiará si se alternan simultáneamente los signos de todos los coeficientes de acoplamiento. Sin embargo, el signo es importante al combinar dos coeficientes de acoplamiento y, especialmente, al sumar los coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo.

Dos resonadores acoplados pueden interactuar no solo en las frecuencias de resonancia. Esto se ve respaldado por la capacidad de transferir energía de oscilaciones forzadas de un resonador al otro. Por lo tanto, sería más preciso caracterizar la interacción de los resonadores mediante una función continua de la frecuencia de oscilación forzada.${\displaystyle k(f)}$en lugar de un conjunto de constantes${\displaystyle k_{p}}$dónde${\displaystyle p}$es el número de orden de la resonancia.

Es obvio que la función${\displaystyle k(f)}$debe cumplir la condición

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{p}}=k_{p}.}$(9)

Además, la función${\displaystyle k(f)}$debe convertirse en cero en esas frecuencias${\displaystyle f_{z}}$donde no hay transmisión de potencia de alta frecuencia de un resonador a otro, es decir, debe cumplir la segunda condición.

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}$(10)

El cero de transmisión surge particularmente en circuitos resonantes con acoplamiento inductivo-capacitivo mixto cuando${\displaystyle L_{m}>0.}$Su frecuencia${\displaystyle k(f)}$se expresa mediante la fórmula ^{[ 6 ]}

${\displaystyle f_{z}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {L_{m}}{(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}}}}}$. (11)

La definición de la función${\displaystyle k(f)}$que generaliza la fórmula (6) y cumple las condiciones (9) y (10) se estableció en el enfoque basado en energía en. ^{[ 6 ]} Esta función se expresa mediante la fórmula (8) a través de coeficientes de acoplamiento inductivo y capacitivo dependientes de la frecuencia${\displaystyle k_{L}(f)}$y${\displaystyle k_{C}(f)}$definido por fórmulas

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$(12)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}$(13)

Aquí${\displaystyle W}$denota la energía del campo electromagnético de alta frecuencia almacenada por ambos resonadores. Barra superior${\displaystyle W}$El símbolo indica el componente estático de la energía de alta frecuencia, y el punto indica la amplitud del componente oscilante de la energía de alta frecuencia. Subíndice${\displaystyle L}$denota la parte magnética de la energía de alta frecuencia, y el subíndice${\displaystyle C}$denota la parte eléctrica de la energía de alta frecuencia. Los subíndices 11, 12 y 22 denotan partes de la energía almacenada que son proporcionales a${\displaystyle |U_{1}|^{2},}$${\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}$y${\displaystyle |U_{2}|^{2}}$dónde${\displaystyle U_{1}}$es amplitud compleja de voltaje de alta frecuencia en el primer puerto del resonador y${\displaystyle U_{2}}$es la amplitud compleja del voltaje en el segundo puerto del resonador.

Las funciones explícitas de los acoplamientos inductivos y capacitivos dependientes de la frecuencia para un par de circuitos resonantes acoplados obtenidos de (12) y (13) tienen formas ^{[ 6 ].}${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}$(14)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}}$(15)

dónde${\displaystyle f_{1},}$${\displaystyle f_{2}}$son frecuencias de resonancia del primer y segundo circuito perturbados por acoplamientos. Se observa que los valores de estas funciones en${\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}$coinciden con constantes${\displaystyle k_{L}}$y${\displaystyle k_{C}}$definido por las fórmulas (14) y (15). Además, la función${\displaystyle k(f)}$calculado mediante las fórmulas (8), (14) y (15) se vuelve cero en${\displaystyle f_{z}}$definido por la fórmula (11).

La teoría de los filtros pasabanda de banda estrecha de microondas con respuesta en frecuencia de Chebyshev se expone en la monografía ^{[ 2 ]} . En estos filtros, las frecuencias de resonancia de todos los resonadores están sintonizadas a la frecuencia central de la banda de paso.${\displaystyle f_{0}.}$Cada resonador se acopla con un máximo de dos resonadores vecinos. Cada uno de los dos resonadores de borde se acopla con un resonador vecino y con uno de los dos puertos del filtro. Esta topología de acoplamiento de resonadores se denomina en línea. En los filtros con topología de acoplamiento en línea, solo existe una trayectoria de transmisión de potencia de microondas desde el puerto de entrada al puerto de salida.

Derivación de fórmulas aproximadas para los valores de los coeficientes de acoplamiento de resonadores vecinos en filtros con topología de acoplamiento en línea.${\displaystyle k_{i,i+1}}$Los que cumplen con la respuesta de frecuencia del filtro especificada se dan en ^{[ 2 ]} Aquí${\displaystyle i}$y${\displaystyle i+1}$son los números de orden de los resonadores acoplados en el filtro. Las fórmulas se derivaron utilizando filtros prototipo de paso bajo , así como las fórmulas (2) y (3). La respuesta en frecuencia de los filtros prototipo de paso bajo se caracteriza por la función de Chebyshev de primer tipo. Las fórmulas se publicaron por primera vez en ^{[ 7 ]} . Tienen una forma

${\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{1}f_{2}g_{i}g_{i+1}}}},}$(16)

dónde${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle (i=0,1,2...n)}$son valores de elementos prototipo normalizados,${\displaystyle n}$es el orden de la función de Chebyshev que es igual al número de resonadores,${\displaystyle f_{1},}$${\displaystyle f_{2}}$son las frecuencias de borde de banda.

Valores de los elementos prototipo${\displaystyle g_{i}}$para un ancho de banda especificado del filtro se calculan mediante fórmulas

${\displaystyle g_{0}=1,}$${\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {4a_{i-1}a_{i}}{b_{i-1}g_{i-1}}},(i=2,3,...n),}$(17)

${\displaystyle g_{n+1}=1,}$si${\displaystyle n}$es par,

${\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {coth} ^{2}(\beta /4),}$si${\displaystyle n}$es extraño.

Aquí se utilizaron las siguientes notaciones.

${\displaystyle \beta =2\mathrm {artanh} {\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}$${\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} ({\frac {\beta }{2n}}),}$(18)

${\displaystyle a_{i}=\mathrm {sin} {\frac {(2i-1)\pi }{2n}},}$${\displaystyle b_{i}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}({\frac {i\pi }{n}}),(i=1,2,...n),}$

dónde${\displaystyle \Delta L}$es la ondulación de banda de paso requerida en dB.

Las fórmulas (16) son aproximadas no solo porque se utilizaron las definiciones aproximadas (2) y (3) para los coeficientes de acoplamiento. Las expresiones exactas para los coeficientes de acoplamiento en el filtro prototipo se obtuvieron en ^{[ 8 ]} . Sin embargo, tanto las fórmulas anteriores como las refinadas siguen siendo aproximadas en el diseño de filtros prácticos. La precisión depende tanto de la estructura del filtro como de la del resonador. La precisión mejora cuando el ancho de banda fraccional se reduce.

La inexactitud de las fórmulas (16) y su versión refinada se debe a la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamiento que puede variar en gran medida para diferentes estructuras de resonadores y filtros. ^{[ 9 ]} En otras palabras, los valores óptimos de los coeficientes de acoplamiento${\displaystyle k_{i,i+1}}$a frecuencia${\displaystyle f_{0}}$dependen tanto de las especificaciones de la banda de paso requerida como de los valores de las derivadas.${\displaystyle dk_{i,i+1}/df|_{f=f_{0}}.}$Eso significa los valores exactos de los coeficientes${\displaystyle k_{i,i+1}}$No es posible conocer de antemano la banda de paso requerida. Esta solo se puede determinar tras la optimización del filtro. Por lo tanto, las fórmulas (16) pueden utilizarse para determinar los valores iniciales de los coeficientes de acoplamiento antes de la optimización del filtro.

Las fórmulas aproximadas (16) permiten también determinar una serie de regularidades universales relativas a los filtros con topología de acoplamiento en línea. Por ejemplo, el ensanchamiento de la banda de paso del filtro actual requiere un incremento aproximadamente proporcional de todos los coeficientes de acoplamiento.${\displaystyle k_{i,i+1}.}$Los coeficientes${\displaystyle k_{i,i+1}}$son simétricos con respecto al resonador central o al par central de resonadores incluso en filtros que tienen impedancias características desiguales de las líneas de transmisión en los puertos de entrada y salida. Valor del coeficiente${\displaystyle k_{i,i+1}}$disminuye monótonamente al pasar de los pares de resonadores externos al par central.

Los filtros de microondas reales con topología de acoplamiento en línea, a diferencia de sus prototipos, pueden tener ceros de transmisión en las bandas de rechazo. ^{[ 10 ]} Los ceros de transmisión mejoran considerablemente la selectividad del filtro. Una de las razones por las que aparecen los ceros es la dispersión de frecuencia de los coeficientes de acoplamiento.${\displaystyle k_{i,i+1}}$para uno o más pares de resonadores que se expresan en su anulación en frecuencias de ceros de transmisión. ^{[ 11 ]}

Para generar ceros de transmisión en las bandas de rechazo y así mejorar la selectividad del filtro, se suelen añadir acoplamientos suplementarios, además de los acoplamientos más cercanos. Estos acoplamientos se denominan acoplamientos cruzados. Dichos acoplamientos dan lugar a la propagación de varias trayectorias de onda desde el puerto de entrada al puerto de salida. Las amplitudes de las ondas transmitidas por estas trayectorias se compensan entre sí en determinadas frecuencias al sumarse en el puerto de salida. Esta compensación genera ceros de transmisión.

En filtros con acoplamientos cruzados, es conveniente caracterizar todos los acoplamientos del filtro en su conjunto utilizando una matriz de acoplamiento.${\displaystyle \mathbf {M} }$de dimensión${\displaystyle n\times n}$,. ^{[ 4 ] [ 12 ]} Es simétrico. Cada uno de sus elementos fuera de la diagonal${\displaystyle M_{ij}}$es el coeficiente de acoplamiento de los resonadores i y j.${\displaystyle k_{ij}.}$Cada elemento diagonal${\displaystyle M_{ii}}$es la susceptancia normalizada del i -ésimo resonador. Todos los elementos diagonales${\displaystyle M_{ii}}$En un filtro sintonizado, son iguales a cero porque la susceptancia se anula en la frecuencia de resonancia.

Mérito importante de la matriz${\displaystyle \mathbf {M} }$es el hecho de que permite calcular directamente la respuesta en frecuencia de la red equivalente que tiene los circuitos resonantes acoplados inductivamente. ^{[ 4 ] [ 12 ]} Por lo tanto, es conveniente usar esta matriz al diseñar los filtros de acoplamiento cruzado. Las matrices de acoplamiento${\displaystyle \mathbf {M} }$, en particular, se utilizan como modelos gruesos de filtros. ^{[ 13 ]} La utilización de un modelo grueso permite acelerar la optimización del filtro muchas veces porque el cálculo de la respuesta en frecuencia para el modelo grueso no consume tiempo de CPU con respecto al cálculo para el filtro real.