Algebroide de Courant

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , un álgebroide de Courant es un fibrado vectorial junto con un producto interno y un corchete compatible más general que el de un álgebroide de Lie .

Recibe su nombre de Theodore Courant , quien implícitamente ideó en 1990 ^{[ 1 ]} el prototipo estándar del algebroide de Courant a través de su descubrimiento de un corchete antisimétrico en${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$, llamado hoy corchete de Courant , que no satisface la identidad de Jacobi . La noción general de algebroide de Courant fue introducida por Zhang-Ju Liu, Alan Weinstein y Ping Xu en su investigación de los dobles de bialgebroides de Lie en 1997. ^{[ 2 ]}

Un algebroide de Courant consta de los datos de un fibrado vectorial.${\displaystyle E\to M}$con un soporte${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:\Gamma E\times \Gamma E\to \Gamma E}$, un producto interno no degenerado por fibras${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\times E\to M\times \mathbb {R} }$y un mapa de paquetes${\displaystyle \rho :E\to TM}$(denominado ancla) sujeto a los siguientes axiomas:

1. Identidad de Jacobi:${\displaystyle [\phi ,[\chi ,\psi ]]=[[\phi ,\chi ],\psi ]+[\chi ,[\phi ,\psi ]]}$
2. Regla de Leibniz:${\displaystyle [\phi ,f\psi ]=\rho (\phi )f\psi +f[\phi ,\psi ]}$
3. Obstrucción a la antisimetría:${\displaystyle [\phi ,\psi ]+[\psi ,\phi ]={\tfrac {1}{2}}D\langle \phi ,\psi \rangle }$
4. Invariancia del producto interno bajo el corchete:${\displaystyle \rho (\phi )\langle \psi ,\chi \rangle =\langle [\phi ,\psi ],\chi \rangle +\langle \psi ,[\phi ,\chi ]\rangle }$

dónde${\displaystyle \phi ,\chi ,\psi }$son secciones de${\displaystyle E}$y${\displaystyle f}$es una función suave en el colector base${\displaystyle M}$El mapa${\displaystyle D:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma E}$es la composición${\displaystyle \kappa ^{-1}\rho ^{T}d:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Gamma E}$, con${\displaystyle d:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)}$el diferencial de De Rham,${\displaystyle \rho ^{T}}$el mapa dual de${\displaystyle \rho }$, y${\displaystyle \kappa }$el isomorfismo${\displaystyle E\to E^{*}}$inducido por el producto interno.

El soporte${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$No es antisimétrico, como se puede ver en el tercer axioma. En cambio, cumple una cierta identidad de Jacobi (primer axioma) y una regla de Leibniz (segundo axioma). A partir de estos dos axiomas se puede deducir que el mapa de anclaje${\displaystyle \rho }$es un morfismo de corchetes:

${\displaystyle \rho [\phi ,\psi ]=[\rho (\phi ),\rho (\psi )].}$

La cuarta regla es una invariancia del producto interno bajo el corchete. La polarización conduce a

${\displaystyle \rho (\phi )\langle \chi ,\psi \rangle =\langle [\phi ,\chi ],\psi \rangle +\langle \chi ,[\phi ,\psi ]\rangle .}$

Un ejemplo del algebroide de Courant viene dado por el corchete de Dorfman ^{[ 3 ]} en la suma directa.${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$con un giro introducido por Ševera en 1988, ^{[ 4 ]} definido como:

${\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]:=[X,Y]+({\mathcal {L}}_{X}\,\eta -\iota _{Y}d\xi +\iota _{X}\iota _{Y}H)}$

dónde${\displaystyle X,Y}$son campos vectoriales,${\displaystyle \xi ,\eta }$son 1-formas y${\displaystyle H}$es una 3-forma cerrada que retuerce el corchete. Este corchete se utiliza para describir la integrabilidad de estructuras complejas generalizadas .

Un ejemplo más general surge de un álgebroide de Lie.${\displaystyle A}$cuyo diferencial inducido en${\displaystyle A^{*}}$se escribirá como${\displaystyle d}$Nuevamente. Luego, use la misma fórmula que para el corchete de Dorfman con${\displaystyle H}$un formulario A -3 cerrado bajo${\displaystyle d}$.

Otro ejemplo de un algebroide de Courant es un álgebra de Lie cuadrática, es decir, un álgebra de Lie con un producto escalar invariante. Aquí la variedad base es solo un punto y, por lo tanto, el mapa de anclaje (y${\displaystyle D}$) son triviales.

El ejemplo descrito en el artículo de Weinstein et al. proviene de un bialgebroide de Lie: si${\displaystyle A}$es un algebroide de Lie (con ancla)${\displaystyle \rho _{A}}$y corchete${\displaystyle [.,.]_{A}}$), también su dual${\displaystyle A^{*}}$es un algebroide de Lie (que induce el diferencial)${\displaystyle d_{A^{*}}}$en${\displaystyle \wedge ^{*}A}$) y${\displaystyle d_{A^{*}}[X,Y]_{A}=[d_{A^{*}}X,Y]_{A}+[X,d_{A^{*}}Y]_{A}}$(donde en el lado derecho se extiende el${\displaystyle A}$-corchete a${\displaystyle \wedge ^{*}A}$utilizando la regla graduada de Leibniz). Esta noción es simétrica en${\displaystyle A}$y${\displaystyle A^{*}}$(véase Roytenberg). Aquí${\displaystyle E=A\oplus A^{*}}$con ancla${\displaystyle \rho (X+\alpha )=\rho _{A}(X)+\rho _{A^{*}}(\alpha )}$y el corchete es la antisimetrización de lo anterior en${\displaystyle X}$y${\displaystyle \alpha }$(equivalentemente en${\displaystyle Y}$y${\displaystyle \beta }$):

${\displaystyle [X+\alpha ,Y+\beta ]=([X,Y]_{A}+{\mathcal {L}}_{\alpha }^{A^{*}}Y-\iota _{\beta }d_{A^{*}}X)+([\alpha ,\beta ]_{A^{*}}+{\mathcal {L}}_{X}^{A}\beta -\iota _{Y}d_{A}\alpha )}$.

Dado un algebroide de Courant con el producto interno${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$de firma dividida (por ejemplo, la estándar)${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$), una estructura de Dirac es un subfibrado vectorial integrable máximamente isotrópico${\displaystyle L\to M}$, es decir

${\displaystyle \langle L,L\rangle \equiv 0}$,

${\displaystyle \mathrm {rk} \,L={\tfrac {1}{2}}\mathrm {rk} \,E}$,

${\displaystyle [\Gamma L,\Gamma L]\subset \Gamma L}$.

Dado un algebroide de Courant con producto interno de signatura dividida, una estructura compleja generalizada${\displaystyle L\to M}$es una estructura de Dirac en el algebroide de Courant complejizado con la propiedad adicional

${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=0}$

dónde${\displaystyle {\bar {\ }}}$significa conjugación compleja con respecto a la estructura compleja estándar en la complejización.

Como lo estudió en detalle Gualtieri, ^{[ 5 ]} las estructuras complejas generalizadas permiten el estudio de la geometría análoga a la geometría compleja .

• Roytenberg, Dmitry (1999). "Algebroides de Courant, corchetes derivados e incluso supervariedades simplécticas". arXiv : math.DG/9910078 .