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Condición de Courant-Friedrichs-Lewy

En matemáticas , la condición de convergencia de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) es una condición necesaria para la convergencia al resolver numéricamente ciertas ecuaciones difer...

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En matemáticas , la condición de convergencia de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) es una condición necesaria para la convergencia al resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales parciales (generalmente EDP hiperbólicas ). Surge en el análisis numérico de esquemas de integración temporal explícitos , cuando estos se utilizan para la solución numérica. En consecuencia, el paso de tiempo debe ser menor que un cierto límite superior, dado un incremento espacial fijo, en muchas simulaciones computacionales de avance temporal explícito ; de lo contrario, la simulación produce resultados incorrectos o inestables . La condición recibe su nombre de Richard Courant , Kurt Friedrichs y Hans Lewy, quienes la describieron en su artículo de 1928. [ 1 ]

Descripción heurística

El principio que subyace a esta condición es que, por ejemplo, si una onda se propaga a través de una cuadrícula espacial discreta y queremos calcular su amplitud en pasos de tiempo discretos de igual duración, [ 2 ] entonces esta duración debe ser menor que el tiempo que tarda la onda en viajar a puntos adyacentes de la cuadrícula. Como corolario, cuando se reduce la separación entre los puntos de la cuadrícula, el límite superior para el paso de tiempo también disminuye. En esencia, el dominio numérico de dependencia de cualquier punto en el espacio y el tiempo (determinado por las condiciones iniciales y los parámetros del esquema de aproximación) debe incluir el dominio analítico de dependencia (donde las condiciones iniciales afectan el valor exacto de la solución en ese punto) para asegurar que el esquema pueda acceder a la información necesaria para formar la solución.

Declaración

Para realizar una declaración razonablemente precisa de la condición, es necesario definir las siguientes cantidades:

  • Coordenada espacial : una de las coordenadas del espacio físico en el que se plantea el problema.
  • Dimensión espacial del problema : el númeronorte{\displaystyle n}de dimensiones espaciales , es decir, el número de coordenadas espaciales del espacio físico donde se plantea el problema. Los valores típicos sonnorte=1{\displaystyle n=1},norte=2{\displaystyle n=2}ynorte=3{\displaystyle n=3}.
  • Tiempo : la coordenada , que actúa como un parámetro , que describe la evolución del sistema, distinta de las coordenadas espaciales.

Las coordenadas espaciales y el tiempo son variables independientes discretas , ubicadas a distancias regulares denominadas longitud de intervalo [ 3 ] y paso de tiempo , respectivamente. Utilizando estos nombres, la condición CFL relaciona la longitud del paso de tiempo con una función de las longitudes de intervalo de cada coordenada espacial y de la velocidad máxima a la que la información puede viajar en el espacio físico.

Operacionalmente, la condición CFL se prescribe comúnmente para aquellos términos de la aproximación de diferencias finitas de ecuaciones diferenciales parciales generales que modelan el fenómeno de advección . [ 4 ]

El caso unidimensional

Para el caso unidimensional, la ecuación del modelo de tiempo continuo (que normalmente se resuelve paraw{\displaystyle w}) es:

∂w∂t+tú∂w∂incógnita=0.{\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}=0.}

La condición CFL tiene entonces la siguiente forma:

do=túΔtΔincógnita≤domáximo{\displaystyle C={\frac {u\,\Delta t}{\Delta x}}\leq C_{\max }}

dónde:

  • el número adimensionaldo{\displaystyle C}se llama el número Courant ,
  • tú{\displaystyle u}es la magnitud de la velocidad (cuya dimensión es longitud/tiempo)
  • Δt{\displaystyle \Delta t}es el paso de tiempo (cuya dimensión es el tiempo)
  • Δincógnita{\displaystyle \Delta x}es el intervalo de longitud (cuya dimensión es la longitud).

El valor dedomáximo{\displaystyle C_{\max }}cambia con el método utilizado para resolver la ecuación discretizada, especialmente dependiendo de si el método es explícito o implícito . Si se utiliza un solucionador explícito (de avance temporal), entonces normalmentedomáximo=1{\displaystyle C_{\max }=1}Los solucionadores implícitos (matriciales) suelen ser menos sensibles a la inestabilidad numérica y, por lo tanto, valores más grandes dedomáximo{\displaystyle C_{\max }}puede ser tolerado.

El caso bidimensional y general n -dimensional

En el caso bidimensional , la condición CFL se convierte en

do=túincógnitaΔtΔincógnita+túyΔtΔy≤domáximo{\displaystyle C={\frac {u_{x}\,\Delta t}{\Delta x}}+{\frac {u_{y}\,\Delta t}{\Delta y}}\leq C_{\max }}

con los significados obvios de los símbolos involucrados. Por analogía con el caso bidimensional, la condición CFL general para elnorte{\displaystyle n}El caso -dimensional es el siguiente:

do=Δt(∑i=1nortetúiΔincógnitai)≤domáximo.{\displaystyle C=\Delta t\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)\leq C_{\max }.}

No es necesario que la longitud del intervalo sea la misma para cada variable espacial.Δincógnitai,i=1,…,norte{\displaystyle \Delta x_{i},i=1,\ldots ,n}Este " grado de libertad " se puede utilizar para optimizar de alguna manera el valor del paso de tiempo para un problema particular, variando los valores de los diferentes intervalos para que no sean demasiado pequeños.

El caso en que w es un vector

En los casos anterioresw{\displaystyle w}era un escalar. La forma vectorial de la EDP hiperbólica de primer orden es

∂w∂t+A_∂w∂incógnita=0.{\displaystyle {\frac {\partial {\bf {w}}}{\partial t}}+{\bf {\underline {A}}}{\frac {\partial {\bf {w}}}{\partial x}}=0.}

dóndew∈Rnorte{\displaystyle {\bf {w}}\in \mathbb {R} ^{N}}es un vector de dimensión arbitrarianorte{\displaystyle N}yA_∈Rnorte×Rnorte{\displaystyle {\bf {\underline {A}}}\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} ^{N}}es, por consiguiente, una matriz de ordennorte{\displaystyle N}. En este caso, la condición CFL es [ 5 ]

ΔtΔincógnita≤1|λ|máximodomáximo{\displaystyle {\frac {\Delta t}{\Delta x}}\leq {\frac {1}{|\lambda |_{\max }}}C_{\max }}

dónde|λ|máximo{\displaystyle |\lambda |_{\max }}es la magnitud del mayor valor propio de la matrizA_{\displaystyle {\bf {\underline {A}}}}La extensión a múltiples dimensiones sigue la lógica descrita anteriormente.

Notas

  1. ↑ Véase la referencia Courant, Friedrichs & Lewy 1928. También existe una traducción al inglés del original alemán de 1928 : véanse las referencias Courant, Friedrichs & Lewy 1956 y Courant, Friedrichs & Lewy 1967 .
  2. ↑ Esta situación se produce comúnmente cuando un operador diferencial parcial hiperbólico se ha aproximado mediante una ecuación de diferencias finitas , que luego se resuelve mediante métodos numéricos de álgebra lineal .
  3. ↑ Esta cantidad no es necesariamente la misma para cada variable espacial, como se muestra en la sección " El caso bidimensional y general n -dimensional " de esta entrada: se puede seleccionar para relajar un poco la condición.
  4. ↑ Precisamente, esta es la parte hiperbólica de la EDP que se está analizando.
  5. ↑ RJ LeVeque, "Métodos numéricos para leyes de conservación, 2.ª ed.", Birkhauser Verlag, 1992.

Referencias

  • Carlos A. de Moura y Carlos S. Kubrusly (Eds.): "The Courant-Friedrichs-Lewy Condition (CFL) Condition: 80 Years After Its Discovery", Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).