Curso de análisis

Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica; Soy parte. Analyse algébrique (" Curso de análisis " en inglés) es un libro de texto fundamental en cálculo infinitesimal publicado por Augustin-Louis Cauchy en 1821. El artículo sigue la traducción de Bradley y Sandifer al describir su contenido.

En la página 1 de la Introducción, Cauchy escribe: «Al hablar de la continuidad de las funciones , no podía prescindir de un tratamiento de las propiedades principales de las cantidades infinitesimales , propiedades que sirven de fundamento al cálculo infinitesimal». Los traductores comentan en una nota a pie de página: «Resulta interesante que Cauchy no mencione también los límites aquí».

Cauchy prosigue: "En cuanto a los métodos, he procurado dotarlos de todo el rigor que se exige a la geometría , de modo que nunca sea necesario recurrir a argumentos extraídos de la generalidad del álgebra ".

En la página 6, Cauchy primero analiza las cantidades variables y luego introduce la noción de límite en los siguientes términos: "Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable particular se aproximan indefinidamente a un valor fijo de tal manera que terminan difiriendo de él tan poco como deseemos, este valor fijo se denomina límite de todos los demás valores".

En la página 7, Cauchy define un infinitesimal de la siguiente manera: «Cuando los valores numéricos sucesivos de dicha variable disminuyen indefinidamente, de tal forma que caen por debajo de cualquier número dado, esta variable se convierte en lo que llamamos infinitesimal , o una cantidad infinitamente pequeña ». Cauchy añade: «Una variable de este tipo tiene como límite el cero».

En la página 10, Bradley y Sandifer confunden el coseno versado con el seno cubierto . Cauchy definió originalmente el seno versus ( versino ) como siv( θ )  =  1 − cos( θ ) y el coseno versus (lo que ahora también se conoce como seno cubierto ) como cosiv( θ )  =  1 − sin( θ ). Sin embargo, en la traducción, el coseno versus (y cosiv) se asocian incorrectamente con el coseno versado (lo que ahora también se conoce como vercosino ) en lugar del seno cubierto .

La notación

límite

Se introduce en la página 12. Los traductores observan en una nota a pie de página: «La notación “Lim.” para límite fue utilizada por primera vez por Simon Antoine Jean L'Huilier (1750–1840) en [L'Huilier 1787, p.  31]. Cauchy la escribió como “lim.” en [Cauchy 1821, p.  13]. El punto había desaparecido en [Cauchy 1897, p.  26]».

Este capítulo lleva el extenso título "Sobre cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes, y sobre la continuidad de las funciones. Valores singulares de funciones en varios casos particulares". En la página 21, Cauchy escribe: "Decimos que una cantidad variable se vuelve infinitamente pequeña cuando su valor numérico disminuye indefinidamente de tal manera que converge hacia el límite cero". En la misma página, encontramos el único ejemplo explícito de tal variable que aparece en Cauchy, a saber:

${\displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots }$

En la página 22, Cauchy inicia la discusión sobre los órdenes de magnitud de los infinitesimales de la siguiente manera: "Sea${\displaystyle \alpha }$sea ​​una cantidad infinitamente pequeña, es decir, una variable cuyo valor numérico disminuye indefinidamente. Cuando las diversas potencias enteras de${\displaystyle \alpha }$, es decir

${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$

Entran en el mismo cálculo, estas diversas potencias se denominan, respectivamente, infinitesimalmente pequeñas de primer , segundo , tercer orden , etc. Cauchy señala que "la forma general de cantidades infinitesimalmente pequeñas de orden n (donde n representa un número entero) será

${\displaystyle k\alpha ^{n}\quad {}}$ o al menos ${\displaystyle {}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$.

En las páginas 23 a 25, Cauchy presenta ocho teoremas sobre propiedades de infinitesimales de diversos órdenes.

Esta sección se titula "Continuidad de las funciones". Cauchy escribe: "Si, partiendo de un valor de x contenido entre estos límites, añadimos a la variable x un incremento infinitesimalmente pequeño".${\displaystyle \alpha }$La función misma se incrementa por la diferencia.

${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$"

y afirma que

"La función f ( x ) es una función continua de x entre los límites asignados si, para cada valor de x entre estos límites, el valor numérico de la diferencia${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$disminuye indefinidamente con el valor numérico de${\displaystyle \alpha }$"

Cauchy continúa ofreciendo una definición en cursiva de continuidad en los siguientes términos:

" La función f ( x ) es continua con respecto a x entre los límites dados si, entre estos límites, un incremento infinitesimal de la variable siempre produce un incremento infinitesimal de la función misma. "

En la página 32, Cauchy enuncia el teorema del valor intermedio .

En el Teorema I de la sección 6.1 (página 90 en la traducción de Bradley y Sandifer), Cauchy presenta el teorema de la suma en los siguientes términos.

Cuando los distintos términos de la serie (1) son funciones de la misma variable x, continuas con respecto a esta variable en la vecindad de un valor particular para el cual la serie converge, la suma s de la serie también es una función continua de x en la vecindad de este valor particular.

Aquí aparece la serie (1) en la página 86: (1)${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$

• Cauchy, Augustin-Louis (1821). Curso de análisis de la Escuela Real Politécnica . París: L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi.
• Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (2009). Cauchy's Cours d'analyse: An Annotated Translation . Cauchy, Augustin-Louis . Nueva York: Springer. doi : 10.1007/978-1-4419-0549-9 . ISBN 978-1-4419-0548-2.
• Grabiner, Judith V. (1981). Los orígenes del cálculo riguroso de Cauchy . Cambridge: Prensa del MIT. ISBN 0-387-90527-8.