Teorema de Cousin

En análisis real , una rama de las matemáticas, el teorema de Cousin establece que:

Si para cada punto de una región cerrada (en términos modernos, " cerrada y acotada ") existe un círculo de radio finito (en términos modernos, un " vecindario "), entonces la región puede dividirse en un número finito de subregiones de tal manera que cada subregión sea interior a un círculo de un conjunto dado cuyo centro se encuentre en la subregión. ^{[ 1 ]}

Este resultado fue demostrado originalmente por Pierre Cousin, un estudiante de Henri Poincaré , en 1895, y extiende el teorema original de Heine-Borel sobre compacidad para recubrimientos arbitrarios de subconjuntos compactos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Sin embargo, Pierre Cousin no recibió ningún reconocimiento. El teorema de Cousin se atribuyó generalmente a Henri Lebesgue como el teorema de Borel-Lebesgue . Lebesgue conocía este resultado en 1898 y lo demostró en su tesis doctoral de 1903. ^{[ 1 ]}

En términos modernos, se expresa de la siguiente manera:

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$sea ​​una cobertura completa de [ a , b ], es decir, una colección de subintervalos cerrados de [ a , b ] con la propiedad de que para cada x ∈ [ a , b ], existe un δ >0 tal que${\displaystyle {\mathcal {C}}}$contiene todos los subintervalos de [ a , b ] que contienen x y tienen una longitud menor que δ . Entonces existe una partición${\displaystyle {I_{1},I_{2},\cdots ,I_{n}}}$de intervalos no superpuestos para [ a , b ], donde${\displaystyle I_{i}=[x_{i-1},x_{i}]\in {\mathcal {C}}}$y a = x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _n = b para todo 1≤ i ≤ n .

El lema de Cousin se estudia en matemáticas inversas, donde es uno de los primeros teoremas de tercer orden que resulta difícil de demostrar en términos de los axiomas de comprensión necesarios.

El teorema de Cousin es fundamental en el estudio de la integración de Henstock-Kurzweil y, en este contexto, se le conoce como el lema de Cousin o el teorema de finura .

Un indicador en${\displaystyle [a,b]}$es una función de valor real estrictamente positiva${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} , mientras que una partición etiquetada de${\displaystyle [a,b]}$es una secuencia finita ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle P=\langle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq x_{\ell -1}\leq t_{\ell }\leq x_{\ell }=b\rangle }$

Dado un calibre${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} y una partición etiquetada${\displaystyle P}$de${\displaystyle [a,b]}$, decimos${\displaystyle P}$es${\displaystyle \delta }$-bien si es para todos${\displaystyle 1\leq j\leq \ell }$, tenemos${\displaystyle [x_{j-1},x_{j}]\subseteq B{\big (}t_{j},\delta (t_{j}){\big )}}$, dónde${\displaystyle B(x,r)}$denota la bola abierta de radio${\displaystyle r}$centrado en${\displaystyle x}$El lema de Cousin ahora se enuncia de la siguiente manera:

Si${\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} }$, entonces cada calibre${\displaystyle \delta$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{+}} tiene un${\displaystyle \delta }$-partición fina . ^{[ 4 ]}

El teorema de Cousin tiene una demostración intuicionista que utiliza el principio de inducción abierta , la cual se lee de la siguiente manera:

Un subconjunto abierto${\displaystyle S}$de un intervalo real cerrado${\displaystyle [a,b]}$Se dice que es inductivo si satisface que${\displaystyle [a,r)\subset S}$implica${\displaystyle [a,r]\subset S}$El principio de inducción abierta establece que cualquier subconjunto abierto inductivo${\displaystyle S}$de${\displaystyle [a,b]}$Debe ser el conjunto completo.