Lema de cobertura

En los fundamentos de las matemáticas , un lema de recubrimiento se utiliza para demostrar que la no existencia de ciertos cardinales grandes conduce a la existencia de un modelo interno canónico , llamado modelo central , que es, en cierto sentido, maximal y se aproxima a la estructura del universo de von Neumann V. Un lema de recubrimiento afirma que, bajo alguna suposición particular de anti-cardinal grande, el modelo central existe y es maximal en un sentido que depende del cardinal grande elegido. El primer resultado de este tipo fue demostrado por Ronald Jensen para el universo construible suponiendo que 0 ^# no existe, lo que ahora se conoce como el teorema de recubrimiento de Jensen .

Por ejemplo, si no existe un modelo interno para un cardinal medible , entonces el modelo central de Dodd-Jensen, K ^DJ, es el modelo central y satisface la propiedad de recubrimiento , es decir, para cada conjunto no numerable x de ordinales, existe y tal que y  ⊃ x , y tiene la misma cardinalidad que x , y y ∈ K ^DJ . (Si 0 ^# no existe, entonces K ^DJ = L. )     

Si el modelo central K existe (y no tiene cardinales de Woodin), entonces

1. Si K no tiene cardinales ω ₁ -Erdős, entonces para una secuencia particular de funciones de ordinales a ordinales, numerable (en K) y definible en K, todo conjunto de ordinales cerrado bajo estas funciones es una unión de un número numerable de conjuntos en K. Si L=K, estas son simplemente las funciones recursivas primitivas.
2. Si K no tiene cardinales medibles, entonces para cada conjunto no numerable x de ordinales, existe y  ∈  K tal que x  ⊂  y y |x|  =  |y|.
3. Si K tiene un único cardinal medible κ, entonces para cada conjunto no numerable x de ordinales, existe y  ∈  K[C] tal que x  ⊂  y y |x|  =  |y|. Aquí C es vacío o genérico de Prikry sobre K (por lo que tiene tipo de orden ω y es cofinal en  κ) y único salvo por un segmento inicial finito.
4. Si K no tiene límite inaccesible de cardinales medibles ni clase propia de cardinales medibles, entonces existe un conjunto C maximal y único (excepto para un conjunto finito de ordinales) (llamado sistema de indiscernibles) para K tal que para cada secuencia S en K de medida uno, conjuntos que consisten en un conjunto para cada cardinal medible, C menos ∪S es finito. Nótese que todo κ  \  C es finito o genérico de Prikry para K en κ excepto para los miembros de C por debajo de un cardinal medible por debajo de κ. Para cada conjunto no numerable x de ordinales, existe y  ∈  K[C] tal que x  ⊂  y y |x|  =  |y|.
5. Para cada conjunto no numerable x de ordinales, existe un conjunto C de indiscernibles para extensores totales en K tales que existe y  ∈  K[C] y x  ⊂  y y |x|  =  |y|.
6. K calcula correctamente los sucesores de cardinales singulares y débilmente compactos ( Propiedad de recubrimiento débil ). Además, si |κ|  >  ω ₁ , entonces cofinalidad((κ ⁺ ) ^K )  ≥  |κ|.

Para modelos centrales sin extensores totales superpuestos, los sistemas de indiscernibles se comprenden bien. Aunque (si K tiene un límite inaccesible de cardinales medibles), el sistema puede depender del conjunto a cubrir, está bien determinado y es único en un sentido más débil. Una aplicación de la cobertura es contar el número de (secuencias de) indiscernibles, lo que da cotas inferiores óptimas para varios fallos de la hipótesis de cardinales singulares . Por ejemplo, si K no tiene extensores totales superpuestos, y κ es un límite fuerte singular, y 2 ^κ  =  κ ⁺⁺ , entonces κ tiene orden Mitchell al menos κ ⁺⁺ en  K. Recíprocamente, un fallo de la hipótesis de cardinales singulares se puede obtener (en una extensión genérica) de κ con o(κ)  ​​=  κ ⁺⁺ .

Para los modelos centrales con extensores totales superpuestos (es decir, con un fuerte cardinal hasta uno medible), los sistemas de indiscernibles se comprenden mal, y las aplicaciones (como el recubrimiento débil) tienden a evitar en lugar de analizar los indiscernibles.

Si K existe, entonces todo cardinal de Jónsson regular es de Ramsey en K. Todo cardinal singular que es regular en K es medible en  K.

Además, si el modelo central K(X) existe por encima de un conjunto X de ordinales, entonces tiene las propiedades de cobertura discutidas anteriormente por encima de  X.

• Mitchell, William (2010), "El lema de recubrimiento", Handbook of Set Theory , Springer, pp. 1497–1594 , doi : 10.1007/978-1-4020-5764-9_19 , ISBN  978-1-4020-4843-2