Notación de Coxeter

En geometría , la notación de Coxeter (también conocida como símbolo de Coxeter ) es un sistema para clasificar grupos de simetría que describe los ángulos entre las reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter mediante una notación entre corchetes que expresa la estructura de un diagrama de Coxeter-Dynkin , con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación recibe su nombre de HSM Coxeter y ha sido definida de forma más exhaustiva por Norman Johnson .

Para los grupos de Coxeter , definidos por reflexiones puras, existe una correspondencia directa entre la notación entre corchetes y el diagrama de Coxeter-Dynkin . Los números entre corchetes representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Se utiliza la misma simplificación, omitiendo los 2 entre espejos ortogonales.

La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila para un diagrama lineal. Así, el grupo A _{n se representa mediante [3} ^{n −1} ], para implicar n nodos conectados por n−1 ramas de orden 3. Ejemplo A ₂ = [3,3] = [3 ² ] o [3 ^1,1 ] representa diagramas o .

Coxeter representó inicialmente diagramas bifurcados con posicionamiento vertical de números, pero luego los abrevió con una notación exponencial, como [...,3 ^p,q ] o [3 ^p,q,r ], comenzando con [3 ^1,1,1 ] o [3,3 ^1,1 ] = o como D ₄ . Coxeter permitió ceros como casos especiales para ajustarse a la familia A _n , como A ₃ = [3,3,3,3] = [3 ^4,0,0 ] = [3 ^4,0 ] = [3 ^3,1 ] = [3 ^2,2 ], como = = .

Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] = para el grupo triangular (pqr). Si los órdenes de rama son iguales, se pueden agrupar como un exponente igual a la longitud del ciclo entre corchetes, como [(3,3,3,3)] = [3 ^[4] ], que representa el diagrama de Coxeter o . se puede representar como [3,(3,3,3)] o [3,3 ^[3] ].

Los diagramas de bucles más complejos también pueden expresarse con cuidado. El grupo de Coxeter paracompacto puede representarse mediante la notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles [(3,3,3)] adyacentes, y también se representa de forma más compacta como [3 ^{[ ]×[ ]} ], que representa la simetría rómbica del diagrama de Coxeter. El diagrama de grafo completo paracompacto o , se representa como [3 ^[3,3] ] con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de Coxeter tetraédrico regular .  

Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo agregando un nodo al diagrama de un grupo finito.

El diagrama de Coxeter generalmente deja sin dibujar las ramas de orden 2, pero la notación entre corchetes incluye un 2 explícito para conectar los subgrafos. Así, el diagrama de Coxeter = A ₂ × A ₂ = 2 A ₂ se puede representar como [3]×[3] = [3] ² = [3,2,3]. A veces, las ramas 2 explícitas se pueden incluir ya sea con una etiqueta 2, o con una línea con un espacio: o , como una presentación idéntica a [3,2,3].

El rango del grupo de puntos de Coxeter es igual al número de nodos, que también es igual a la dimensión. Existe un único espejo en 1 dimensión, [  ], , mientras que en 2 dimensiones [1], o [ ]×[ ] ⁺ . El 1 es un marcador de posición, no un orden de ramificación real, sino un marcador para un espejo inactivo ortogonal. La notación [ n ,1], representa un grupo de rango 3, como [ n ]×[ ] ⁺ o . De manera similar, [1,1] como [ ]×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ o orden 2 y [1,1] ⁺ como [ ] ⁺ ×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ o , ¡orden 1!         

La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional añadiendo un operador ⁺ en superíndice fuera de los corchetes, [X] ^+, que divide el orden del grupo [X] a la mitad, resultando en un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando las reflexiones por rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, se denomina subgrupo directo , ya que lo que queda son únicamente isometrías directas sin simetría reflectiva.

Los operadores ⁺ también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como [X,Y ⁺ ] o [X,(Y,Z) ⁺ ], y crean subgrupos "semidirectos" que pueden incluir generadores tanto reflectivos como no reflectivos. Los subgrupos semidirectos solo se pueden aplicar a subgrupos de grupos de Coxeter que tengan ramas de orden par adyacentes. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice ⁺ , que tiene el efecto de dividir las ramas ordenadas adyacentes en la mitad del orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, [4,3 ⁺ ] y [4,(3,3) ⁺ ] ( ).

Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo de índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como [5,1 ⁺ ] = [5/2], que puede definir polígonos doblemente envueltos como un pentagrama , {5/2}, y [5,3 ⁺ ] se relaciona con el triángulo de Schwarz [5/2,3], densidad 2.

Los grupos sin elementos ⁺ vecinos se pueden ver en los nodos anillados del diagrama de Coxeter-Dynkin para politopos uniformes y panal de abeja están relacionados con nodos huecos alrededor de los elementos ⁺ , círculos vacíos con los nodos alternados eliminados. Así, el cubo truncado , tiene simetría [4,3] ⁺ ( ), y el tetraedro truncado , tiene simetría [4,3 ⁺ ] ( ), y un demicubo , h{4,3} = {3,3} ( o = ) tiene simetría [1 ⁺ ,4,3] = [3,3] ( o = = ).

Nota: La simetría piritoédrica se puede escribir como , separando el gráfico con huecos para mayor claridad, con los generadores {0,1,2} del grupo de Coxeter , produciendo generadores piritoédricos {0,12}, una reflexión y una rotación triple. Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como o , [1 ⁺ ,4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ , con generadores {12,0120}.

Radical subgroups

Johnson also added an asterisk or star * operator for "radical" subgroups,^[3] that acts similar to the ⁺ operator, but removes rotational symmetry. The index of the radical subgroup is the order of the removed element. For example, [4,3*] ≅ [2,2]. The removed [3] subgroup is order 6 so [2,2] is an index 6 subgroup of [4,3].

Los subgrupos radicales representan la operación inversa de una operación de simetría extendida . Por ejemplo, [4,3*] ≅ ​​[2,2], y a la inversa [2,2] se puede extender como [3[2,2]] ≅ [4,3]. Los subgrupos se pueden expresar como un diagrama de Coxeter: o ≅ . El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.

Si [4,3] tiene generadores {0,1,2}, [4,3 ⁺ ], índice 2, tiene generadores {0,12}; [1 ⁺ ,4,3] ≅ [3,3], índice 2 tiene generadores {010,1,2}; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ≅ ​​[2,2], índice 6, tiene generadores {01210, 2, (012) ³ }; y finalmente [1 ⁺ ,4,3*], índice 12 tiene generadores {0(12) ² 0, (012) ² 01}.

subgrupos triónicos

Un subgrupo triónico es un subgrupo de índice 3. Johnson define un subgrupo triónico con el operador ⅄, índice 3. Para grupos de Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3 ^⅄ ] es [ ], un único espejo. Y para [3 p ], el subgrupo triónico es [3 p ] ^⅄ ≅ [ p ]. Dado , con generadores {0,1}, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar colocando el símbolo ⅄ junto al generador espejo que se va a eliminar, o en una rama para ambos: [3 p ,1 ^⅄ ] = = , = , y [3 p ^⅄ ] = = con generadores {0,10101}, {01010,1}, o {101,010}.

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica : [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4], que relacionan la simetría del tetraedro regular y el disfenoides tetragonal .

Para grupos de Coxeter de rango 3, [ p ,3], hay un subgrupo triónico [ p ,3 ^⅄ ] ≅ [ p /2, p ], o = . Por ejemplo, el grupo finito [4,3 ^⅄ ] ≅ [2,4], y el grupo euclidiano [6,3 ^⅄ ] ≅ [3,6], y el grupo hiperbólico [8,3 ^⅄ ] ≅ [4,8].

An odd-order adjacent branch, p, will not lower the group order, but create overlapping fundamental domains. The group order stays the same, while the density increases. For example, the icosahedral symmetry, [5,3], of the regular polyhedra icosahedron becomes [5/2,5], the symmetry of 2 regular star polyhedra. It also relates the hyperbolic tilings {p,3}, and star hyperbolic tilings {p/2,p}

For rank 4, [q,2p,3^⅄] = [2p,((p,q,q))], = .

For example, [3,4,3^⅄] = [4,3,3], or = , generators {0,1,2,3} in [3,4,3] with the trionic subgroup [4,3,3] generators {0,1,2,32123}. For hyperbolic groups, [3,6,3^⅄] = [6,3^[3]], and [4,4,3^⅄] = [4,4,4].

Trionic subgroups of tetrahedral symmetry

Johnson identified two specific trionic subgroups^[4] of [3,3], first an index 3 subgroup [3,3]^⅄ ≅ [2⁺,4], with [3,3] ( = = ) generators {0,1,2}. It can also be written as [(3,3,2^⅄)] () as a reminder of its generators {02,1}. This symmetry reduction is the relationship between the regular tetrahedron and the tetragonal disphenoid, represent a stretching of a tetrahedron perpendicular to two opposite edges.

Secondly he identifies a related index 6 subgroup [3,3]^Δ or [(3,3,2^⅄)]⁺ (), index 3 from [3,3]⁺ ≅ [2,2]⁺, with generators {02,1021}, from [3,3] and its generators {0,1,2}.

These subgroups also apply within larger Coxeter groups with [3,3] subgroup with neighboring branches all even order.

For example, [(3,3)⁺,4], [(3,3)^⅄,4], and [(3,3)^Δ,4] are subgroups of [3,3,4], index 2, 3 and 6 respectively. The generators of [(3,3)^⅄,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2⁺,8], order 128, are {02,1,3} from [3,3,4] generators {0,1,2,3}. And [(3,3)^Δ,4] ≅ [[4,2⁺,4]] , orden 64, tiene generadores {02,1021,3}. Además, [3 ^⅄ ,4,3 ^⅄ ] ≅ [(3,3) ^⅄ ,4].

También relacionado [3 ^1,1,1 ] = [3,3,4,1 ⁺ ] tiene subgrupos triónicos: [3 ^1,1,1 ] ^⅄ = [(3,3) ^⅄ ,4,1 ⁺ ], orden 64, y 1=[3 ^1,1,1 ] ^Δ = [(3,3) ^Δ ,4,1 ⁺ ] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]] ⁺ , orden 32.

Inversión central

Una inversión central , de orden 2, es operacionalmente diferente según la dimensión. El grupo [  ] ⁿ = [2 ^{n −1} ] representa n espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio n-plano de un espacio de mayor dimensión. Los espejos del grupo [2 ^{n −1} ] se numeran ⁠${\displaystyle 0\dots n-1}$⁠ . El orden de los espejos no importa en el caso de una inversión. La matriz de una inversión central es ⁠${\displaystyle -I}$⁠ , la matriz identidad con un -1 en la diagonal.

Partiendo de esta base, la inversión central tiene como generador el producto de todos los espejos ortogonales. En la notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa añadiendo una alternancia ⁺ a cada rama 2. La simetría de alternancia se marca en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.

Un diagrama de Coxeter-Dynkin se puede marcar con dos ramas explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos doblemente abiertos compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.

Por ejemplo, [2 ⁺ ,2] y [2,2 ⁺ ] son ​​subgrupos índice 2 de [2,2], y se representan como (o ) y (o ) con generadores {01,2} y {0,12} respectivamente. Su subgrupo común índice 4 es [2 ⁺ ,2 ⁺ ], y se representa por (o ), donde el doble abierto marca un nodo compartido en las dos alternancias, y un único generador de rotoreflexión {012}.

Commutator subgroups

Simple groups with only odd-order branch elements have only a single rotational/translational subgroup of order 2, which is also the commutator subgroup, examples [3,3]⁺, [3,5]⁺, [3,3,3]⁺, [3,3,5]⁺. For other Coxeter groups with even-order branches, the commutator subgroup has index 2^c, where c is the number of disconnected subgraphs when all the even-order branches are removed.^[6]

For example, [4,4] has three independent nodes in the Coxeter diagram when the 4s are removed, so its commutator subgroup is index 2³, and can have different representations, all with three ⁺ operators: [4⁺,4⁺]⁺, [1⁺,4,1⁺,4,1⁺], [1⁺,4,4,1⁺]⁺, or [(4⁺,4⁺,2⁺)]. A general notation can be used with +c as a group exponent, like [4,4]⁺³.

Coxeter's notation includes double square bracket notation, [[X]] to express automorphic symmetry within a Coxeter diagram. Johnson added alternative doubling by angled-bracket <[X]>. Johnson also added a prefix symmetry modifier [Y[X]], where Y can either represent symmetry of the Coxeter diagram of [X], or symmetry of the fundamental domain of [X].

For example, in 3D these equivalent rectangle and rhombic geometry diagrams of ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$: and , the first doubled with square brackets, [[3^[4]]] o dos veces duplicado como [2[3 ^[4] ]], con [2], orden 4 simetría superior. Para diferenciar el segundo, se usan corchetes angulares para duplicar, <[3 ^[4] ]> y dos veces duplicado como <2[3 ^[4] ]>, también con una [2], orden 4 simetría diferente. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes puede representarse por [4[3 ^[4] ]], con el orden 8, [4] simetría del cuadrado . Pero al considerar el dominio fundamental disfenoidal tetragonal , la [4] simetría extendida del grafo cuadrado puede marcarse más explícitamente como [(2 ⁺ ,4)[3 ^[4] ]] o [2 ⁺ ,4[3 ^[4] ]].

Existe una simetría adicional en el ciclo.${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$y ramificación${\displaystyle D_{3}}$,${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$, y${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$diagramas.${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$tiene simetría de orden 2 n de un n -gono regular , { n }, y está representado por [ n [3 ^{[ n ]} ]].${\displaystyle D_{3}}$y${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$están representados por [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] y [3[3 ^2,2,2 ]] respectivamente, mientras que${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$por [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular , {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto${\displaystyle {\bar {L}}_{5}}$= [3 ^1,1,1,1,1 ], , contiene la simetría de una 5-celda , {3,3,3}, y por lo tanto está representada por [(3,3,3)[3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3].

Un superíndice * es efectivamente una operación inversa, que crea subgrupos radicales eliminando espejos conectados de orden impar. ^{[ 7 ]}

Ejemplos:

Al observar los generadores, la doble simetría se ve como la adición de un nuevo operador que mapea posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, haciendo que algunos generadores originales sean redundantes. Para grupos espaciales 3D y grupos puntuales 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de [[incógnita]] , [[incógnita] ⁺ ] , que él define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto se parece a [[incógnita]] ⁺ , que es el subgrupo quiral de [[incógnita]] . Así que, por ejemplo, los grupos espaciales 3D [[4,3,4]] ⁺ (I432, 211) y [[4,3,4] ⁺ ] (Pm 3 n, 223) son subgrupos distintos de [[4,3,4]] (Im 3 m, 229).

In one dimension, the bilateral group [ ] represents a single mirror symmetry, abstract Dih₁ or Z₂, symmetry order 2. It is represented as a Coxeter–Dynkin diagram with a single node, . The identity group is the direct subgroup [ ]⁺, Z₁, symmetry order 1. The + superscript simply implies that alternate mirror reflections are ignored, leaving the identity group in this simplest case. Coxeter used a single open node to represent an alternation, .

In two dimensions, the rectangular group [2], abstract D₂² or D₄, also can be represented as a direct product [ ]×[ ], being the product of two bilateral groups, represents two orthogonal mirrors, with Coxeter diagram, , with order 4. The 2 in [2] comes from linearization of the orthogonal subgraphs in the Coxeter diagram, as with explicit branch order 2. The rhombic group, [2]⁺ ( or ), half of the rectangular group, the point reflection symmetry, Z₂, order 2.

Coxeter notation to allow a 1 place-holder for lower rank groups, so [1] is the same as [ ], and [1⁺] or [1]⁺ is the same as [ ]⁺ and Coxeter diagram .

The full p-gonal group [p], abstract dihedral group D_2p, (nonabelian for p>2), of order 2p, is generated by two mirrors at angle π/p, represented by Coxeter diagram . The p-gonal subgroup [p]⁺, cyclic groupZ_p, of order p, generated by a rotation angle of π/p.

La notación de Coxeter utiliza corchetes dobles para representar una duplicación automorfa de simetría mediante la adición de un espejo bisecante al dominio fundamental . Por ejemplo, [[p]] añade un espejo bisecante a [p] y es isomorfo a [2p].

En el límite, al descender a una dimensión, el grupo apeirogonal completo se obtiene cuando el ángulo tiende a cero, por lo que [∞], abstractamente el grupo diedral infinito D _∞ , representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter . El grupo apeirogonal [∞] ⁺ , , abstractamente el grupo cíclico infinito Z _∞ , isomorfo al grupo aditivo de los enteros , se genera mediante una única traslación no nula.

En el plano hiperbólico, existe un grupo pseudogonal completo [ iπ/λ ] y un subgrupo pseudogonal [ iπ/λ ] ⁺ , . Estos grupos existen en polígonos regulares de infinitos lados, con longitud de arista λ. Los simetrías son todos ortogonales a una sola línea.

Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar en notación de corchetes relacionada con los grupos de Coxeter de rango 3:

En tres dimensiones, el grupo ortorrómbico completo u ortorrectangular [2,2], abstracto Z ₂ ³ , orden 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados ). También puede representarse como un producto directo [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:

Primero hay un subgrupo "semidirecto", el grupo ortorrómbico , [2,2 ⁺ ] ( o ), abstractamente Z ₂ × Z ₂ , de orden 4. Cuando el superíndice + se da dentro de los corchetes, significa que las reflexiones generadas solo por los espejos adyacentes (como se define por el diagrama de Coxeter, ) se alternan. En general, los órdenes de rama vecinos al nodo + deben ser pares. En este caso, [2,2 ⁺ ] y [2 ⁺ ,2] representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el grupo pararómbico [2,2] ⁺ ( o ), también de orden 4, y finalmente el grupo central [2 ⁺ ,2 ⁺ ] ( o ) de orden 2.

A continuación, está el grupo ortogonal p completo , [2,p] ( ), abstracto Z ₂ ×D _{2 p} , de orden 4p, que representa dos espejos en un ángulo diedro π/ p , y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También se representa mediante el diagrama de Coxeter como .

El subgrupo directo se llama grupo para -p -gonal, [2,p] ⁺ ( o ), abstractamente D _{2 p} , de orden 2p, y otro subgrupo es [2,p ⁺ ] ( ) abstractamente Z ₂ × Z _p , también de orden 2p.

El grupo giro-p-gonal completo , [2 ⁺ ,2 p ] ( o ), abstracto D _{4 p} , de orden 4 p . El grupo giro- p -gonal, [2 ⁺ ,2p ^​​+ ] ( o ), abstracto Z _{2 p} , de orden 2 p es un subgrupo tanto de [2 ⁺ ,2 p ] como de [2,2 p ⁺ ].

Los grupos poliédricos se basan en la simetría de los sólidos platónicos : el tetraedro , el octaedro , el cubo , el icosaedro y el dodecaedro , con los símbolos de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y {5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3] ( ), [3,4] ( ), [3,5] ( ) llamados simetría tetraédrica completa , simetría octaédrica y simetría icosaédrica , con órdenes de 24, 48 y 120.

En todas estas simetrías, se pueden eliminar reflexiones alternas produciendo los grupos tetraédricos rotacionales [3,3] ⁺ ( ), octaédricos [3,4] ⁺ ( ) e icosaédricos [3,5] ⁺ ( ) de orden 12, 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo único de índice 2 llamado grupo de simetría piritoédrica , [3 ⁺ ,4] ( o ), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y reflexiva. La simetría piritoédrica es también un subgrupo de índice 5 de la simetría icosaédrica: --> , con espejo virtual 1 a través de 0 , {010}, y rotación triple {12}.

El grupo tetraédrico, [3,3] ( ), tiene una duplicación [[3,3]] (que se puede representar mediante nodos coloreados ), mapeando los primeros y últimos espejos entre sí, y esto produce el grupo [3,4] ( o ). El subgrupo [3,4,1 ⁺ ] ( o ) es el mismo que [3,3], y [3 ⁺ ,4,1 ⁺ ] ( o ) es el mismo que [3,3] ⁺ .

La notación de Coxeter se ha extendido al espacio complejo C ⁿ , donde los nodos son reflexiones unitarias de periodo 2 o mayor. Los nodos se etiquetan con un índice, que se supone igual a 2 para la reflexión real ordinaria si se omite. Los grupos de reflexión complejos se denominan grupos de Shephard en lugar de grupos de Coxeter , y pueden utilizarse para construir politopos complejos .

En${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$, un grupo de Shephard de rango 1 , orden p , se representa como _p [ ], [ ] _p o ] _p [. Tiene un único generador, que representa una rotación de 2 π / p radianes en el plano complejo :${\displaystyle e^{2\pi i/p}}$.

Coxeter escribe el grupo complejo de rango 2, _p [ q ] _r representa el diagrama de Coxeter . p y r solo deben suprimirse si ambos son 2, que es el caso real [ q ]. El orden de un grupo de rango 2 _p [ q ] _r es${\displaystyle g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$. ^{[ 9 ]}

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son: _p [4] ₂ ( p es 2,3,4,...), ₃ [3] ₃ , ₃ [6] ₂ , ₃ [4] ₃ , ₄ [3] ₄ , ₃ [8] ₂ , ₄ [6] ₂ , ₄ [4] ₃ , ₃ [5] ₃ , ₅ [3] ₅ , ₃ [10] ₂ , ₅ [6] ₂ , y ₅ [4] ₃ con diagramas de Coxeter , , , , , , , , , , , , .

Los grupos infinitos son ₃ [12] ₂ , ₄ [8] ₂ , ₆ [6] ₂ , ₃ [6] ₃ , ₆ [4] ₃ , ₄ [4] ₄ , y ₆ [3] ₆ o , , , , , , .

Los subgrupos de índice 2 existen al eliminar una reflexión real: _p [2 q ] ₂ → _p [ q ] _p . También existen subgrupos de índice r para 4 ramas: _p [4] _r → _p [ r ] _p .

Para la familia infinita _p [4] ₂ , para cualquier p = 2, 3, 4,..., hay dos subgrupos: _p [4] ₂ → [ p ], índice p , mientras que y _p [4] ₂ → _p [ ]× _p [ ], índice 2.

Un grupo de Coxeter, representado por un diagrama de Coxeter , recibe la notación de Coxeter [p,q] para los órdenes de ramificación. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, llamado por convención ρ _i (y matriz R _i ). Los generadores de este grupo [p,q] son ​​reflexiones: ρ ₀ , ρ ₁ , y ρ ₂ . La subsimetría rotacional se da como productos de reflexiones: Por convención, σ _0,1 (y matriz S _0,1 ) = ρ ₀ ρ ₁ representa una rotación de ángulo π/p, y σ _1,2 = ρ ₁ ρ ₂ es una rotación de ángulo π/q, y σ _0,2 = ρ ₀ ρ ₂ representa una rotación de ángulo π/2.

[p,q] ⁺ , , es un subgrupo de índice 2 representado por dos generadores de rotación, cada uno un producto de dos reflexiones: σ _0,1 , σ _1,2 , y que representan rotaciones de ángulos π/ p , y π/ q respectivamente.

Con una rama par, [ p ⁺ ,2 q ], o , es otro subgrupo de índice 2, representado por el generador de rotación σ _0,1 , y la reflexión ρ ₂ .

Con ramas pares, [2 p ⁺ ,2 q ⁺ ], , es un subgrupo de índice 4 con dos generadores, construido como un producto de las tres matrices de reflexión: Por convención como: ψ _0,1,2 y ψ _1,2,0 , que son reflexiones rotatorias , que representan una reflexión y una rotación o reflexión.

En el caso de grupos de Coxeter afines como , o , un espejo, generalmente el último, se traslada fuera del origen. Un generador de traslación τ _0,1 (y matriz T _0,1 ) se construye como el producto de dos (o un número par de) reflexiones, incluyendo la reflexión afín. Una transreflexión (reflexión más una traslación) puede ser el producto de un número impar de reflexiones φ _0,1,2 (y matriz V _0,1,2 ), como el subgrupo de índice 4 : [4 ⁺ ,4 ⁺ ] = .

Otro generador compuesto, por convención como ζ (y matriz Z), representa la inversión , mapeando un punto a su inverso. Para [4,3] y [5,3], ζ = (ρ ₀ ρ ₁ ρ ₂ ) ^h/2 , donde h es 6 y 10 respectivamente, el número de Coxeter para cada familia. Para el grupo de Coxeter 3D [p,q] ( ), este subgrupo es una reflexión rotacional [2 ⁺ ,h ⁺ ].

Los grupos de Coxeter se clasifican según su rango, que es el número de nodos en su diagrama de Coxeter-Dynkin . La estructura de los grupos también se da con sus tipos de grupos abstractos: En este artículo, los grupos diedrales abstractos se representan como Dih _n , y los grupos cíclicos se representan como Z _n , con Dih ₁ = Z ₂ .

Rango 3

Los grupos de Coxeter de rango 3 finito son [1, p ], [2, p ], [3,3], [3,4] y [3,5].

Reflejar un punto a través de un plano${\displaystyle ax+by+cz=0}$(que pasa por el origen), uno puede usar${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}}$, dónde${\displaystyle \mathbf {I} }$es la matriz identidad de 3×3 y${\displaystyle \mathbf {N} }$es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si la norma L2 de${\displaystyle a,b,}$y${\displaystyle c}$Si la matriz de transformación es unitaria, se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]}$

[ p ,2]

El grupo reflectivo finito tridimensional reducible es simetría diedral , [ p ,2], orden 4 p , . Los generadores de reflexión son matrices R ₀ , R ₁ , R ₂ . R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =Identidad. [ p ,2] ⁺ ( ) es generado por 2 de 3 rotaciones: S _0,1 , S _1,2 , y S _0,2 . Una rotoreflexión de orden p es generada por V _0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones.

[3,3]

El grupo reflectante finito tridimensional irreducible más simple es la simetría tetraédrica , [3,3], orden 24, . Los generadores de reflexión, de una construcción D ₃ =A _{3 , son matrices R 0} , R ₁ , R ₂ . R ₀ ² =R ₁ ² =R ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =Identidad. [3,3] ⁺ ( ) es generado por 2 de 3 rotaciones: S _0,1 , S _1,2 , y S _0,2 . Un subgrupo triónico , isomorfo a [2 ⁺ ,4], orden 8, es generado por S _0,2 y R ₁ . Una rotoreflexión de orden 4 es generada por V _0,1,2 , el producto de todas las 3 reflexiones.

[4,3]

Another irreducible 3-dimensional finite reflective group is octahedral symmetry, [4,3], order 48, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identity. Chiral octahedral symmetry, [4,3]⁺, () is generated by 2 of 3 rotations: S_0,1, S_1,2, and S_0,2. Pyritohedral symmetry [4,3⁺], () is generated by reflection R₀ and rotation S_1,2. A 6-fold rotoreflection is generated by V_0,1,2, the product of all 3 reflections.

[5,3]

A final irreducible 3-dimensional finite reflective group is icosahedral symmetry, [5,3], order 120, . The reflection generators matrices are R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identity. [5,3]⁺ () is generated by 2 of 3 rotations: S_0,1, S_1,2, and S_0,2. A 10-fold rotoreflection is generated by V_0,1,2, the product of all 3 reflections.

Affine rank 4

[4,3,4]

The affine group is [4,3,4] (), can be given by four reflection matrices. Mirror R₀ can be put on z=0 plane. Mirror R₁ can be put on plane y=z. Mirror R₂ can be put on x=y plane. Mirror R₃ can be put on x=1 plane. [4,3,4]⁺ () is generated by S_0,1, S_1,2, and S_2,3.

[[4,3,4]]

The extended group [[4,3,4]] doubles the group order, adding with a 2-fold rotation matrix T, with a fixed axis through points (1,1/2,0) and (1/2,1/2,1/2). The generators are {R₀,R₁,T}. R₂ = T×R₁×T and R₃ = T×R₀×T.

[4,3^1,1]

The group [4,3^1,1] can be constructed from [4,3,4], by computing [4,3,4,1⁺], , as R'₃=R₃×R₂×R₃, with new R'₃ as an image of R₂ across R₃.

[3^[4]]

The group [3^[4]] can be constructed from [4,3,4], by removing first and last mirrors, [1⁺,4,3,4,1⁺], , by R'₁=R₀×R₁×R₀ and R'₃=R₃×R₂×R₃.

• H.S.M. Coxeter:
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) Coxeter, H.S.M. (1940), "Regular and Semi Regular Polytopes I", Math. Z., 46: 380–407, doi:10.1007/bf01181449, S2CID 186237114
    • (Paper 23) Coxeter, H.S.M. (1985), "Regular and Semi-Regular Polytopes II", Math. Z., 188 (4): 559–591, doi:10.1007/bf01161657, S2CID 120429557
    • (Paper 24) Coxeter, H.S.M. (1988), "Regular and Semi-Regular Polytopes III", Math. Z., 200: 3–45, doi:10.1007/bf01161745, S2CID 186237142
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Norman JohnsonUniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
  • Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter GroupsArchived 2023-03-26 at the Wayback MachinePDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
  • N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5PDF
• Conway, John Horton ; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "Sobre grupos espaciales tridimensionales" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475– 507, ISSN 0138-4821 , MR 1865535  
• John H. Conway y Derek A. Smith, Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5Cap. 22: 35 grupos espaciales primos , cap. 25 : 184 grupos espaciales compuestos , cap. 26: Más arriba aún , grupos puntuales 4D