Teoría de la inclinación

En matemáticas , específicamente en teoría de la representación , la teoría de inclinación describe una forma de relacionar las categorías de módulos de dos álgebras utilizando los llamados módulos de inclinación y los functores de inclinación asociados . En este caso, la segunda álgebra es el álgebra de endomorfismos de un módulo de inclinación sobre la primera álgebra.

La teoría de inclinación fue motivada por la introducción de los functores de reflexión por Joseph Bernšteĭn , Israel Gelfand y V. A. Ponomarev ( 1973 ) ; estos functores se utilizaron para relacionar representaciones de dos carcajes . Estos functores fueron reformulados por Maurice Auslander , María Inés Platzeck e Idun Reiten ( 1979 ) y generalizados por Sheila Brenner y Michael CR Butler ( 1980 ) , quienes introdujeron los functores de inclinación. Dieter Happel y Claus Michael Ringel ( 1982 ) definieron las álgebras inclinadas y los módulos de inclinación como generalizaciones adicionales de esto.    

Supongamos que A es un álgebra asociativa unitaria de dimensión finita sobre algún cuerpo . Un módulo T derecho generado finitamente sobre A se denomina módulo de inclinación si tiene las siguientes tres propiedades:

• T tiene dimensión proyectiva como máximo 1, en otras palabras es un cociente de un módulo proyectivo por un submódulo proyectivo .
• Ext ¹ _A ( T , T ) = 0.
• El A -módulo derecho A es el núcleo de un morfismo sobreyectivo entre sumas directas finitas de sumandos directos de T.

Dado un módulo de inclinación de este tipo, definimos el álgebra de endomorfismos B  =  End _A ( T ). Esta es otra álgebra de dimensión finita, y T es un B- módulo izquierdo finitamente generado . Los functores de inclinación Hom _A ( T , − ), Ext ¹ _A ( T , − ), − ⊗ _B T y Tor ^B ₁ ( − , T ) relacionan la categoría mod- A de A- módulos derechos finitamente generados con la categoría mod- B de B- módulos derechos finitamente generados .

En la práctica, a menudo se consideran álgebras hereditarias de dimensión finita A porque las categorías de módulos sobre dichas álgebras se comprenden bastante bien. El álgebra de endomorfismos de un módulo de inclinación sobre un álgebra hereditaria de dimensión finita se llama álgebra inclinada .

Supongamos que A es un álgebra de dimensión finita, T es un módulo de inclinación sobre A , y B  =  End _A ( T ). Escribimos F = Hom _A ( T , − ), F ′ = Ext ¹ _A ( T , − ), G = − ⊗ _B T , y G ′ = Tor ^B ₁ ( − , T ). F es adjunto derecho de G y F ′ es adjunto derecho de G ′ .

Brenner y Butler (1980) demostraron que los functores de inclinación dan equivalencias entre ciertas subcategorías de mod- A y mod- B. Específicamente, si definimos las dos subcategorías${\displaystyle {\mathcal {F}}=\ker(F)}$y${\displaystyle {\mathcal {T}}=\ker(F')}$de A -mod y las dos subcategorías${\displaystyle {\mathcal {X}}=\ker(G)}$y${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\ker(G')}$de B -mod, entonces${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$es un par de torsión en A -mod (es decir${\displaystyle {\mathcal {T}}}$y${\displaystyle {\mathcal {F}}}$son subcategorías máximas con la propiedad${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})=0}$; esto implica que cada M en A -mod admite una secuencia exacta corta natural${\displaystyle 0\to U\to M\to V\to 0}$con U en${\displaystyle {\mathcal {T}}}$y V en${\displaystyle {\mathcal {F}}}$) y${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$es un par de torsión en B -mod. Además, las restricciones de los functores F y G producen equivalencias inversas entre${\displaystyle {\mathcal {T}}}$y${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$, mientras que las restricciones de F ′ y G ′ producen equivalencias inversas entre${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y${\displaystyle {\mathcal {X}}}$(Tenga en cuenta que estas equivalencias invierten el orden de los pares de torsión).${\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}$y${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$.)

La teoría de inclinación puede verse como una generalización de la equivalencia de Morita que se recupera si T es un generador proyectivo ; en ese caso${\displaystyle {\mathcal {T}}=\operatorname {mod} -A}$y${\displaystyle {\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} -B}$.

Si A tiene dimensión global finita , entonces B también tiene dimensión global finita, y la diferencia de F y F' induce una isometría entre los grupos de Grothendieck K ₀ ( A ) y K ₀ ( B ).

En caso de que A sea hereditario (es decir, B es un álgebra inclinada), la dimensión global de B es como máximo 2, y el par de torsión${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$divisiones, es decir, cada objeto indescomponible de B -mod está en${\displaystyle {\mathcal {X}}}$o en${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$.

Happel (1988) y Cline, Parshall y Scott (1986) demostraron que, en general, A y B son equivalentes derivadas (es decir, las categorías derivadas D ^b ( A -mod) y D ^b ( B -mod) son equivalentes como categorías trianguladas ).

Un módulo de inclinación generalizado sobre el álgebra de dimensión finita A es un A -módulo derecho T con las siguientes tres propiedades:

• T tiene dimensión proyectiva finita.
• Ext ⁱ _A ( T , T ) = 0 para todo i > 0.
• Existe una secuencia exacta${\displaystyle 0\to A\to T_{1}\to \dots \to T_{n}\to 0}$donde los T _i son sumas directas finitas de sumandos directos de T .

Estos módulos de inclinación generalizados también producen equivalencias derivadas entre A y B , donde B = Fin _A ( T ).

Rickard (1989) extendió los resultados sobre equivalencia derivada al demostrar que dos álgebras de dimensión finita R y S son derivadamente equivalentes si y solo si S es el álgebra de endomorfismos de un "complejo basculante" sobre R. Los complejos basculantes son generalizaciones de módulos basculantes generalizados. Una versión de este teorema es válida para anillos arbitrarios R y S.

Happel, Reiten y Smalø (1996) definieron objetos de inclinación en categorías abelianas hereditarias en las que todos los espacios Hom y Ext son de dimensión finita sobre algún cuerpo k algebraicamente cerrado . Las álgebras de endomorfismos de estos objetos de inclinación son las álgebras cuasi-inclinadas , una generalización de las álgebras inclinadas. Las álgebras cuasi-inclinadas sobre k son precisamente las álgebras de dimensión finita sobre k de dimensión global ≤ 2 tales que todo módulo indescomponible tiene dimensión proyectiva ≤ 1 o dimensión inyectiva ≤ 1. Happel (2001) clasificó las categorías abelianas hereditarias que pueden aparecer en la construcción anterior.

Colpi y Fuller (2007) definieron objetos de inclinación T en una categoría abeliana arbitraria C ; su definición requiere que C contenga las sumas directas de un número arbitrario (posiblemente infinito) de copias de T , por lo que no se trata de una generalización directa de la situación de dimensión finita considerada anteriormente. Dado un objeto de inclinación de este tipo con anillo de endomorfismos R , establecen functores de inclinación que proporcionan equivalencias entre un par de torsión en C y un par de torsión en R -Mod, la categoría de todos los R -módulos.

De la teoría de las álgebras de clúster surgió la definición de categoría de clúster (de Buan et al. (2006) ) y álgebra inclinada de clúster ( Buan, Marsh y Reiten (2007) ) asociada a un álgebra hereditaria A. Un álgebra inclinada de clúster surge de un álgebra inclinada como un cierto producto semidirecto , y la categoría de clúster de A resume todas las categorías de módulos de álgebras inclinadas de clúster que surgen de A.