Intervalo de credibilidad

En estadística bayesiana , un intervalo creíble es un intervalo utilizado para caracterizar una distribución de probabilidad . Se define de tal manera que un valor de parámetro no observado tiene una probabilidad particular.${\displaystyle \gamma }$para que se encuentre dentro de él. Por ejemplo, en un experimento que determina la distribución de los posibles valores del parámetro${\displaystyle \mu }$, si la probabilidad de que${\displaystyle \mu }$se encuentra entre 35 y 45 es${\displaystyle \gamma =0.95}$, entonces${\displaystyle 35\leq \mu \leq 45}$es un intervalo de credibilidad del 95%.

Los intervalos de credibilidad se utilizan normalmente para caracterizar las distribuciones de probabilidad posteriores o las distribuciones de probabilidad predictivas . ^{[ 1 ]} Su generalización a conjuntos desconectados o multivariados se denomina conjunto creíble o región creíble.

Los intervalos creíbles son un análogo bayesiano de los intervalos de confianza en la estadística frecuentista . ^{[ 2 ]} Ambos conceptos surgen de filosofías diferentes: ^{[ 3 ]} Los intervalos bayesianos consideran sus límites como fijos y el parámetro estimado como una variable aleatoria, mientras que los intervalos de confianza frecuentistas consideran sus límites como variables aleatorias y el parámetro como un valor fijo. Además, los intervalos creíbles bayesianos utilizan (e incluso requieren) el conocimiento de la distribución previa específica de la situación , mientras que los intervalos de confianza frecuentistas no.

Los conjuntos creíbles no son únicos, ya que cualquier distribución de probabilidad dada tiene un número infinito de${\displaystyle \gamma }$-conjuntos creíbles, es decir, conjuntos de probabilidad${\displaystyle \gamma }$Por ejemplo, en el caso univariado, existen múltiples definiciones para un intervalo o conjunto adecuado:

• El intervalo de credibilidad más pequeño (SCI), a veces también llamado intervalo de mayor densidad . Este intervalo necesariamente contiene la mediana siempre que${\displaystyle \gamma \geq 0.5}$. Cuando la distribución es unimodal , este intervalo también contiene la moda .
• El conjunto creíble más pequeño (SCS), a veces también llamado región de mayor densidad . Para una distribución multimodal, este no es necesariamente un intervalo, ya que puede estar desconectado. Este conjunto siempre contiene la moda .
• Un intervalo de credibilidad basado en cuantiles , que se calcula tomando el intervalo entre cuantiles.${\displaystyle [q_{\delta },q_{\delta +\gamma }]}$para algún predefinido${\displaystyle \delta \in [0,1-\gamma ]}$Por ejemplo, el intervalo de credibilidad mediano (ICM) de probabilidad${\displaystyle \gamma }$es el intervalo donde la probabilidad de estar por debajo del intervalo es tan probable como estar por encima de él, es decir, el intervalo${\displaystyle [q_{(1-\gamma )/2},q_{(1+\gamma )/2}]}$A veces también se le llama intervalo de cola igual , y siempre contiene la mediana . Se pueden definir otros intervalos creíbles basados ​​en cuantiles, como el intervalo creíble más bajo (LCI), que es${\displaystyle [q_{0},q_{\gamma }]}$, o el intervalo de credibilidad más alto (HCI) que es${\displaystyle [q_{1-\gamma },q_{1}]}$Estos intervalos pueden ser más adecuados para variables acotadas.

También se puede definir un intervalo en el que la media sea el punto central, suponiendo que la media existe.

${\displaystyle \gamma }$-Conjuntos creíbles más pequeños (${\displaystyle \gamma }$-SCS) se pueden generalizar fácilmente al caso multivariado y están delimitados por líneas de contorno de densidad de probabilidad . ^{[ 4 ]} Siempre contienen la moda , pero no necesariamente la media , la mediana por coordenadas , ni la mediana geométrica .

Los intervalos de credibilidad también pueden estimarse mediante el uso de técnicas de simulación como la cadena de Markov Monte Carlo . ^{[ 5 ]}

Un intervalo de confianza frecuentista del 95 % significa que, con un gran número de muestras repetidas, el 95 % de dichos intervalos de confianza calculados incluirían el valor real del parámetro. En términos frecuentistas, el parámetro es fijo (no se puede considerar que tenga una distribución de valores posibles) y el intervalo de confianza es aleatorio (ya que depende de la muestra aleatoria).

Los intervalos de credibilidad bayesianos difieren de los intervalos de confianza frecuentistas en dos aspectos principales:

• Los intervalos creíbles son intervalos cuyos valores poseen una densidad de probabilidad (posterior), que representa la plausibilidad de que el parámetro tome dichos valores. En cambio, los intervalos de confianza consideran el parámetro poblacional como fijo y, por lo tanto, no sujeto a probabilidad. Dentro de los intervalos de confianza, la confianza se refiere a la aleatoriedad del propio intervalo bajo ensayos repetidos, mientras que los intervalos creíbles analizan la incertidumbre del parámetro objetivo dados los datos disponibles.

• Los intervalos de credibilidad y los intervalos de confianza tratan los parámetros de perturbación de maneras radicalmente diferentes.

Para el caso de un único parámetro y datos que se pueden resumir en una única estadística suficiente , se puede demostrar que el intervalo creíble y el intervalo de confianza coinciden si el parámetro desconocido es un parámetro de localización (es decir, la función de probabilidad hacia adelante tiene la forma${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )}$), con una distribución previa que es una distribución plana uniforme; ^{[ 6 ]} y también si el parámetro desconocido es un parámetro de escala (es decir, la función de probabilidad hacia adelante tiene la forma${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)}$), con un Jeffreys anterior${\displaystyle \mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s}$^{[ 6 ]} — lo cual se deduce de que al tomar el logaritmo de dicho parámetro de escala, este se convierte en un parámetro de localización con una distribución uniforme. Sin embargo, estos son casos particularmente especiales (aunque importantes); en general, no se puede establecer tal equivalencia.

• Bolstad, William M.; Curran, James M. (2016). «Comparación de inferencias bayesianas y frecuentistas para la media». Introducción a la estadística bayesiana (Tercera  ed.). John Wiley & Sons. pp. 237–253 . ISBN  978-1-118-09156-2.