Modelo crítico de Potts de tres estados

El Potts CFT de tres estados , también conocido como el${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$La teoría de campos conformes parafermiónica (CFT ) es una teoría de campos conformes en dos dimensiones. Es un modelo mínimo con carga central.${\displaystyle c=4/5}$Se considera el modelo mínimo más simple con una función de partición no diagonal en caracteres de Virasoro , así como la CFT no trivial más simple con el álgebra W como simetría. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

El modelo crítico de Potts de tres estados tiene una carga central de${\displaystyle c=4/5}$y, por lo tanto, pertenece a la familia discreta de modelos mínimos unitarios con carga central menor que uno. Estas teorías de campos conformes están completamente clasificadas y, en su mayor parte, bien comprendidas.

La función de partición modular del modelo crítico de Potts de tres estados viene dada por

${\displaystyle Z=|\chi _{1,1}+\chi _{4,1}|^{2}+|\chi _{2,1}+\chi _{3,1}|^{2}+2|\chi _{4,3}|^{2}+2|\chi _{3,3}|^{2}}$

Aquí${\displaystyle \chi _{r,s}(q)\equiv {\textrm {Tr}}_{(r,s)}(q^{L_{0}-c/24})}$se refiere al carácter Virasoro, que se encuentra al tomar el rastro sobre el módulo Verma generado a partir del operador primario Virasoro etiquetado con números enteros.${\displaystyle r,s}$El etiquetado${\displaystyle (r,s)}$es una convención estándar para los operadores principales del${\displaystyle c<1}$modelos mínimos.

Además, el modelo crítico de Potts de tres estados es simétrico no solo bajo el álgebra de Virasoro, sino también bajo un álgebra ampliada llamada álgebra W que incluye el álgebra de Virasoro, así como algunas corrientes de espín 3. Los primarios W holomorfos locales están dados por ${\displaystyle 1,\epsilon ,\sigma _{1},\sigma _{2},\psi _{1},\psi _{2}}$. De manera similar, los primarios W antiholomórficos locales vienen dados por ${\displaystyle 1,{\bar {\epsilon }},{\bar {\sigma }}_{1},{\bar {\sigma }}_{2},{\bar {\psi }}_{1},{\bar {\psi }}_{2}}$con las mismas dimensiones de escala. Cada campo en la teoría es una combinación de un campo primario de álgebra W holomorfa y antiholomorfa, o un descendiente de dicho campo generado al actuar con generadores de álgebra W. Algunos campos primarios del álgebra de Virasoro, como el${\displaystyle (3,1)}$primarias, no son primarias del álgebra W.

La función de partición es diagonal cuando se expresa en términos de caracteres del álgebra W (donde las trazas se toman sobre representaciones irreducibles del álgebra W, en lugar de sobre representaciones irreducibles del álgebra de Virasoro). Dado que${\displaystyle \chi _{1}=\chi _{1,1}+\chi _{4,1}}$y${\displaystyle \chi _{\epsilon }=\chi _{2,1}+\chi _{3,1}}$, podemos escribir

${\displaystyle Z=|\chi _{1}|^{2}+|\chi _{\epsilon }|^{2}+|\chi _{\psi _{1}}|^{2}+|\chi _{\psi _{2}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{1}}|^{2}+|\chi _{\sigma _{2}}|^{2}}$

Los operadores${\displaystyle \sigma _ {1}, \sigma _ {2}, \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$están acusados ​​en virtud de la acción de un tribunal global${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$simetría. Es decir, bajo una global global${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$transformación, recogen fases${\displaystyle \sigma _{a}\to e^{2\pi ia/3}\sigma _{a}}$y${\displaystyle \psi _{a}\to e^{2\pi ia/3}\psi _{a}}$para${\displaystyle a=1,2}$Las reglas de fusión que rigen las expansiones de productos del operador que involucran estos campos respetan la acción de este${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$transformación. También existe una simetría de conjugación de carga que intercambia${\displaystyle \sigma _{1}\leftrightarrow \sigma _{2},\psi _{1}\leftrightarrow \psi _{2}}$. A veces la notación${\displaystyle \sigma ,\sigma ^{\dagger },\psi ,\psi ^{\dagger }}$se utiliza en la literatura en lugar de${\displaystyle \sigma _ {1}, \sigma _ {2}, \ psi _ {1}, \ psi _ {2}}$.

El modelo crítico de Potts de tres estados es una de las dos teorías de campo conformes modularmente invariantes que existen con carga central.${\displaystyle c=4/5}$. La otra teoría de este tipo es el modelo de Ising tetracrítico, que tiene una función de partición diagonal en términos de caracteres de Virasoro. Es posible obtener el modelo crítico de Potts de tres estados a partir del modelo de Ising tetracrítico aplicando una${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$transformación de orbifold a este último.

La teoría de campo conforme de Potts de tres estados críticos puede realizarse como la teoría efectiva de baja energía en la transición de fase del modelo cuántico de Potts de tres estados unidimensional.

El hamiltoniano del modelo cuántico de Potts de tres estados viene dado por

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))}$

Aquí${\displaystyle J}$y${\displaystyle g}$son parámetros positivos. El primer término acopla los grados de libertad en los sitios vecinos más cercanos en la red.${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$son${\displaystyle 3\times 3}$matrices de reloj que satisfacen${\displaystyle X^{3}=Z^{3}=1}$y relación de conmutación del mismo sitio${\displaystyle ZX=\omega XZ}$dónde${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

Este hamiltoniano es simétrico bajo cualquier permutación de los tres${\displaystyle Z}$autoestados en cada sitio, siempre que se realice la misma permutación en cada sitio. Por lo tanto, se dice que tiene un global${\displaystyle S_{3}}$simetría. A${\displaystyle \mathbb {Z} _ {3}}$El subgrupo de esta simetría es generado por el operador unitario.${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$.

En una dimensión, el modelo tiene dos fases con brecha, la fase ordenada y la fase desordenada. La fase ordenada ocurre en${\displaystyle 0<g<1}$ y se caracteriza por un valor esperado del estado fundamental distinto de cero del parámetro de orden.${\displaystyle Z_{j}}$en cualquier sitio${\displaystyle j}$El estado fundamental en esta fase rompe explícitamente la global${\displaystyle S_{3}}$simetría y, por lo tanto, es triplemente degenerada. La fase desordenada se produce en${\displaystyle g>1}$y se caracteriza por un único estado fundamental. Entre estas dos fases hay una transición de fase en${\displaystyle g=1}$. A este valor particular de${\displaystyle g}$, el hamiltoniano no tiene brecha con una energía de estado fundamental de${\displaystyle E_{0}=-({\frac {4}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }})JL}$, dónde${\displaystyle L}$es la longitud de la cadena. En otras palabras, en el límite de una cadena infinitamente larga, los autovalores de energía más bajos del hamiltoniano están infinitesimalmente cerca unos de otros. Como ocurre con la mayoría de las teorías unidimensionales sin brecha, es posible describir la física de baja energía del modelo de Potts de tres estados utilizando una teoría de campos conformes de 1+1 dimensiones; en este modelo de red en particular, esa teoría de campos conformes no es otra que el modelo crítico de Potts de tres estados.