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Articulo de referencia

Correlación cruzada

Comparación visual de convolución , correlación cruzada y autocorrelación . Para las operaciones que involucran la función f , y suponiendo que la altura de f es 1.0, el valor d...

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Comparación visual de convolución , correlación cruzada y autocorrelación . Para las operaciones que involucran la función f , y suponiendo que la altura de f es 1.0, el valor del resultado en 5 puntos diferentes se indica mediante el área sombreada debajo de cada punto. Además, la simetría vertical de f es la razón.F∗gramo{\displaystyle f*g}yF⋆gramo{\displaystyle f\star g}son idénticos en este ejemplo.

En el procesamiento de señales , la correlación cruzada es una medida de similitud entre dos series en función del desplazamiento de una con respecto a la otra. También se conoce como producto escalar deslizante o producto interno deslizante . Se utiliza comúnmente para buscar una característica conocida más corta en una señal larga. Tiene aplicaciones en reconocimiento de patrones , análisis de partículas individuales , tomografía electrónica , promediado , criptoanálisis y neurofisiología . La correlación cruzada es similar a la convolución de dos funciones. En una autocorrelación , que es la correlación cruzada de una señal consigo misma, siempre habrá un pico con un retardo de cero, y su tamaño será la energía de la señal.

En probabilidad y estadística , el término correlaciones cruzadas se refiere a las correlaciones entre las entradas de dos vectores aleatorios.incógnita{\displaystyle \mathbf {X} }yY{\displaystyle \mathbf {Y} }, mientras que las correlaciones de un vector aleatorioincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }son las correlaciones entre las entradas deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }en sí mismo, aquellos que forman la matriz de correlación deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }. Si cada uno deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }yY{\displaystyle \mathbf {Y} }es una variable aleatoria escalar que se realiza repetidamente en una serie temporal , entonces las correlaciones de las diversas instancias temporales deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }se conocen como autocorrelaciones deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }y las correlaciones cruzadas deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }conY{\displaystyle \mathbf {Y} }Las correlaciones temporales a lo largo del tiempo son correlaciones cruzadas temporales. En probabilidad y estadística, la definición de correlación siempre incluye un factor de estandarización, de manera que las correlaciones tengan valores entre -1 y +1.

Siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son dos variables aleatorias independientes con funciones de densidad de probabilidadF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}, respectivamente, entonces la densidad de probabilidad de la diferenciaY−incógnita{\displaystyle YX}se da formalmente mediante la correlación cruzada (en el sentido del procesamiento de señales)F⋆gramo{\displaystyle f\star g}; sin embargo, esta terminología no se utiliza en probabilidad y estadística. En cambio, la convoluciónF∗gramo{\displaystyle f*g}(equivalente a la correlación cruzada deF(−t)¯{\displaystyle {\overline {f(-t)}}}ygramo(t){\displaystyle g(t)}) proporciona la función de densidad de probabilidad de la sumaincógnita+Y{\displaystyle X+Y}.

Correlación cruzada de señales deterministas

Para funciones continuasF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}, la correlación cruzada se define como: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ](F⋆gramo)(τ) ≜∫−∞∞F(t)¯gramo(t+τ)dt{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}lo cual es equivalente a(F⋆gramo)(τ) ≜∫−∞∞F(t−τ)¯gramo(t)dt{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}dóndeF(t)¯{\displaystyle {\overline {f(t)}}}denota el conjugado complejo deF(t){\displaystyle f(t)}, yτ{\displaystyle \tau }se denomina desplazamiento o retardo .

Para altamente correlacionadosF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}que tienen una correlación cruzada máxima en un punto particularτ{\displaystyle \tau }, una característica enF{\displaystyle f}ent{\displaystyle t}también ocurre más tarde engramo{\displaystyle g}ent+τ{\displaystyle t+\tau }, por esogramo{\displaystyle g}podría describirse como rezagadoF{\displaystyle f}porτ{\displaystyle \tau }.

SiF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}son ambas funciones periódicas continuas del períodoT{\displaystyle T}, la integración de−∞{\displaystyle -\infty }a∞{\displaystyle \infty }se reemplaza por la integración sobre cualquier intervalo[t0,t0+T]{\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}de longitudT{\displaystyle T}:(F⋆gramo)(τ) ≜∫t0t0+TF(t)¯gramo(t+τ)dt{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}lo cual es equivalente a(F⋆gramo)(τ) ≜∫t0t0+TF(t−τ)¯gramo(t)dt{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}De manera similar, para funciones discretas, la correlación cruzada se define como: [ 4 ] [ 5 ](F⋆gramo)[norte] ≜∑metro=−∞∞F[metro]¯gramo[metro+norte]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]}lo cual es equivalente a:(F⋆gramo)[norte] ≜∑metro=−∞∞F[metro−norte]¯gramo[metro]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}Para funciones discretas finitasF,gramo∈donorte{\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}}, la correlación cruzada (circular) se define como: [ 6 ](F⋆gramo)[norte] ≜∑metro=0norte−1F[metro]¯gramo[(metro+norte)mod norte]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}lo cual es equivalente a:(F⋆gramo)[norte] ≜∑metro=0norte−1F[(metro−norte)mod norte]¯gramo[metro]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}Para funciones discretas finitasF∈donorte{\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}},gramo∈doMETRO{\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}}, la correlación cruzada del núcleo se define como: [ 7 ](F⋆gramo)[norte] ≜∑metro=0norte−1F[metro]¯Kgramo[(metro+norte)mod norte]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}dóndeKgramo=[k(gramo,T0(gramo)),k(gramo,T1(gramo)),…,k(gramo,Tnorte−1(gramo))]{\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}es un vector de funciones kernelk(⋅,⋅):doMETRO×doMETRO→R{\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} }yTi(⋅):doMETRO→doMETRO{\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}}es una transformación afín .

Específicamente,Ti(⋅){\displaystyle T_{i}(\cdot )}Puede tratarse de una transformación de traslación circular, una transformación de rotación o una transformación de escala, entre otras. La correlación cruzada del núcleo extiende la correlación cruzada del espacio lineal al espacio del núcleo. La correlación cruzada es equivariante a la traslación; la correlación cruzada del núcleo es equivariante a cualquier transformación afín, incluyendo traslación, rotación y escala, entre otras.

Explicación

Como ejemplo, consideremos dos funciones de valor real.F{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}diferenciándose únicamente por un desplazamiento desconocido a lo largo del eje x. Se puede utilizar la correlación cruzada para determinar cuántogramo{\displaystyle g} debe desplazarse a lo largo del eje x para que sea idéntico aF{\displaystyle f}La fórmula esencialmente desliza elgramo{\displaystyle g}función a lo largo del eje x, calculando la integral de su producto en cada posición. Cuando las funciones coinciden, el valor de(F⋆gramo){\displaystyle (f\star g)}se maximiza. Esto se debe a que cuando los picos (áreas positivas) se alinean, contribuyen significativamente a la integral. De manera similar, cuando los valles (áreas negativas) se alinean, también contribuyen positivamente a la integral, ya que el producto de dos números negativos es positivo.

Animación que muestra cómo se calcula la correlación cruzada. El gráfico de la izquierda muestra una función G verde con un desfase temporal de 𝜏 con respecto a la función F. El gráfico central muestra la función F y la función G con desfase representadas conjuntamente como una curva de Lissajous . La integración de F multiplicada por la función G con desfase produce el gráfico de la derecha, que representa la correlación cruzada para todos los valores de 𝜏.

Con funciones de valor complejoF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}, tomando el conjugado deF{\displaystyle f}garantiza que los picos alineados (o los valles alineados) con componentes imaginarias contribuirán positivamente a la integral.

En econometría , la correlación cruzada retardada a veces se denomina autocorrelación cruzada. [ 8 ] : pág. 74

Propiedades

  • La correlación cruzada de funcionesF(t){\displaystyle f(t)}ygramo(t){\displaystyle g(t)}es equivalente a la convolución (denotada por∗{\displaystyle *}) deF(−t)¯{\displaystyle {\overline {f(-t)}}}ygramo(t){\displaystyle g(t)}. Eso es:
    [F(t)⋆gramo(t)](t)=[F(−t)¯∗gramo(t)](t).{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {f(-t)}}*g(t)](t).}
  • [F(t)⋆gramo(t)](t)=[gramo(t)¯⋆F(t)¯](−t).{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}\star {\overline {f(t)}}](-t).}
  • SiF{\displaystyle f}es una función hermitiana , entoncesF⋆gramo=F∗gramo.{\displaystyle f\star g=f*g.}
  • Si ambosF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}son hermíticos, entoncesF⋆gramo=gramo⋆F{\displaystyle f\star g=g\star f}.
  • (F⋆gramo)⋆(F⋆gramo)=(F⋆F)⋆(gramo⋆gramo){\displaystyle \left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)}.
  • De forma análoga al teorema de convolución , la correlación cruzada satisface
    F{F⋆gramo}=F{F}¯⋅F{gramo},{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f\star g\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f\right\}}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{g\right\},}
    dóndeF{\displaystyle {\mathcal {F}}}denota la transformada de Fourier y unaF¯{\displaystyle {\overline {f}}}Nuevamente indica el conjugado complejo deF{\displaystyle f}, desdeF{F(−t)¯}=F{F(t)}¯{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}}. Junto con los algoritmos de transformada rápida de Fourier , esta propiedad se explota a menudo para el cálculo numérico eficiente de correlaciones cruzadas [ 9 ] (véase correlación cruzada circular ).
  • La correlación cruzada está relacionada con la densidad espectral (véase el teorema de Wiener-Khinchin ).
  • La correlación cruzada de una convolución deF{\displaystyle f}yh{\displaystyle h}con una funcióngramo{\displaystyle g}es la convolución de la correlación cruzada degramo{\displaystyle g}yF{\displaystyle f}con el kernelh{\displaystyle h}:
    gramo⋆(F∗h)=(gramo⋆F)∗h{\displaystyle g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h}.

Correlación cruzada de vectores aleatorios

Definición

Para vectores aleatoriosincógnita=(incógnita1,…,incógnitametro){\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})}yY=(Y1,…,Ynorte){\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})}, cada una conteniendo elementos aleatorios cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada deincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }yY{\displaystyle \mathbf {Y} }se define en [ 10 ] : p.337RincógnitaY≜ mi⁡[incógnitaY]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]}y tiene dimensionesmetro×norte{\displaystyle m\times n}. Escrito por componentes:RincógnitaY=[mi⁡[incógnita1Y1]mi⁡[incógnita1Y2]⋯mi⁡[incógnita1Ynorte]mi⁡[incógnita2Y1]mi⁡[incógnita2Y2]⋯mi⁡[incógnita2Ynorte]⋮⋮⋱⋮mi⁡[incógnitametroY1]mi⁡[incógnitametroY2]⋯mi⁡[incógnitametroYnorte]]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}Los vectores aleatoriosincógnita{\displaystyle \mathbf {X} }yY{\displaystyle \mathbf {Y} }No es necesario que tengan la misma dimensión, y cualquiera de ellos podría ser un valor escalar. Dondemi{\displaystyle \operatorname {E} }es el valor esperado .

Ejemplo

Por ejemplo, siincógnita=(incógnita1,incógnita2,incógnita3){\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)}yY=(Y1,Y2){\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)}son vectores aleatorios, entoncesRincógnitaY{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}es un3×2{\displaystyle 3\times 2}matriz cuyo(i,j){\displaystyle (i,j)}-la entrada esmi⁡[incógnitaiYj]{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}.

Definición de vectores aleatorios complejos

SiZ=(Z1,…,Zmetro){\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})}yW=(W1,…,Wnorte){\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})}son vectores aleatorios complejos , cada uno de los cuales contiene variables aleatorias cuyo valor esperado y varianza existen, la matriz de correlación cruzada deZ{\displaystyle \mathbf {Z} }yW{\displaystyle \mathbf {W} }se define porRZW≜ mi⁡[ZWH]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}dóndeH{\displaystyle {}^{\rm {H}}}denota transposición hermitiana .

Correlación cruzada de procesos estocásticos

En el análisis de series temporales y la estadística , la correlación cruzada de un par de procesos aleatorios es la correlación entre los valores de los procesos en diferentes momentos, en función de los dos momentos. Sea(incógnitat,Yt){\displaystyle (X_{t},Y_{t})}sean un par de procesos aleatorios, yt{\displaystyle t}ser cualquier momento en el tiempo (t{\displaystyle t}puede ser un número entero para un proceso de tiempo discreto o un número real para un proceso de tiempo continuo ). Entoncesincógnitat{\displaystyle X_{t}}es el valor (o realización ) producido por una ejecución determinada del proceso en el tiempot{\displaystyle t}.

Función de correlación cruzada

Supongamos que el proceso tiene mediosμincógnita(t){\displaystyle \mu _{X}(t)}yμY(t){\displaystyle \mu _{Y}(t)}y variacionesσincógnita2(t){\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)}yσY2(t){\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)}en ese momentot{\displaystyle t}, para cadat{\displaystyle t}. Luego, la definición de la correlación cruzada entre tiempost1{\displaystyle t_{1}}yt2{\displaystyle t_{2}}es [ 10 ] : p.392RincógnitaY⁡(t1,t2)≜ mi⁡[incógnitat1¯Yt2]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {X_{t_{1}}}}Y_{t_{2}}\right]}dóndemi{\displaystyle \operatorname {E} }es el operador de valor esperado . Tenga en cuenta que esta expresión puede no estar definida.

Función de covarianza cruzada

Restar la media antes de la multiplicación produce la covarianza cruzada entre los tiempos.t1{\displaystyle t_{1}}yt2{\displaystyle t_{2}}: [ 10 ] : pág. 392KincógnitaY⁡(t1,t2)≜ mi⁡[(incógnitat1−μincógnita(t1))¯(Yt2−μY(t2))]{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1})\right)}}(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))\right]}Tenga en cuenta que esta expresión no está bien definida para todas las series temporales o procesos, ya que la media o la varianza pueden no existir.

Definición de proceso estocástico estacionario en sentido amplio

Dejar(incógnitat,Yt){\displaystyle (X_{t},Y_{t})}representan un par de procesos estocásticos que son conjuntamente estacionarios en sentido amplio . Entonces, la función de covarianza cruzada y la función de correlación cruzada dependen únicamente del retardo temporal.τ=t2−t1{\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}(no es tiempo absoluto), y se dan de la siguiente manera.

Función de correlación cruzada

RincógnitaY⁡(τ)≜ mi⁡[incógnitat¯Yt+τ]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {X_{t}}}Y_{t+\tau }\right]}o equivalentementeRincógnitaY⁡(τ)=mi⁡[incógnitat−τ¯Yt]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\overline {X_{t-\tau }}}Y_{t}\right]}

Esta definición es utilizada por Newland [ 11 ] . Cabe señalar que algunas referencias, incluyendo Gubner [ 10 ], utilizan una convención alternativa.RincógnitaY⁡(τ)=mi⁡[incógnitat+τY¯]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {Y}}\right]}Esto equivale a invertir el signo del retardo temporal y (para procesos de valor complejo) tomar el conjugado complejo. El espectro resultante será el conjugado complejo de uno obtenido según la otra convención.

Función de covarianza cruzada

KincógnitaY⁡(τ)≜ mi⁡[(incógnitat−μincógnita)¯(Yt+τ−μY)]{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t}-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)\right]}o equivalentementeKincógnitaY⁡(τ)=mi⁡[(incógnitat−τ−μincógnita)¯(Yt−μY)]{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)\right]}dóndeμincógnita{\displaystyle \mu _{X}}yσincógnita{\displaystyle \sigma _{X}}son la media y la desviación estándar del proceso(incógnitat){\displaystyle (X_{t})}, que son constantes en el tiempo debido a la estacionariedad; y de manera similar para(Yt){\displaystyle (Y_{t})}, respectivamente.mi⁡[ ]{\displaystyle \operatorname {E} [\ ]}indica el valor esperado . Que la covarianza cruzada y la correlación cruzada son independientes det{\displaystyle t}es precisamente la información adicional (más allá de ser individualmente estacionaria en sentido amplio) transmitida por el requisito de que(incógnitat,Yt){\displaystyle (X_{t},Y_{t})}son conjuntamente estacionarios en sentido amplio.

La correlación cruzada de un par de procesos estocásticos estacionarios en sentido amplio se puede estimar promediando el producto de las muestras medidas de un proceso y las medidas del otro (junto con sus desfases temporales). Las muestras incluidas en el promedio pueden ser un subconjunto arbitrario de todas las muestras de la señal (por ejemplo, muestras dentro de una ventana temporal finita o un submuestreo de una de las señales). Para un gran número de muestras, el promedio converge a la correlación cruzada real.

Normalización

En algunas disciplinas (por ejemplo, estadística y análisis de series temporales ) es práctica común normalizar la función de correlación cruzada para obtener un coeficiente de correlación de Pearson dependiente del tiempo . Sin embargo, en otras disciplinas (por ejemplo, ingeniería) la normalización suele omitirse y los términos "correlación cruzada" y "covarianza cruzada" se utilizan indistintamente.

La definición de la correlación cruzada normalizada de un proceso estocástico esρincógnitaincógnita(t1,t2)=Kincógnitaincógnita⁡(t1,t2)σincógnita(t1)σincógnita(t2)=mi⁡[(incógnitat1−μt1)¯(incógnitat2−μt2)]σincógnita(t1)σincógnita(t2){\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right)}}\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}Si la funciónρincógnitaincógnita{\displaystyle \rho _{XX}}está bien definido, su valor debe estar en el rango[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}, donde 1 indica una correlación perfecta y −1 indica una anticorrelación perfecta .

Para procesos estocásticos estacionarios en sentido amplio conjunto, la definición esρincógnitaY(τ)=KincógnitaY⁡(τ)σincógnitaσY=mi⁡[(incógnitat−μincógnita)¯(Yt+τ−μY)]σincógnitaσY{\displaystyle \rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t}-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}La normalización es importante tanto porque la interpretación de la autocorrelación como una correlación proporciona una medida independiente de la escala de la fuerza de la dependencia estadística , como porque la normalización tiene un efecto sobre las propiedades estadísticas de las autocorrelaciones estimadas.

Propiedades

Propiedad de simetría

Para procesos estocásticos estacionarios en sentido amplio, la función de correlación cruzada tiene la siguiente propiedad de simetría: [ 12 ] : p.173RincógnitaY⁡(t1,t2)=RYincógnita⁡(t2,t1)¯{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}Respectivamente para los procesos WSS conjuntos:RincógnitaY⁡(τ)=RYincógnita⁡(−τ)¯{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}}

Análisis de retardo de tiempo

Las correlaciones cruzadas son útiles para determinar el retardo de tiempo entre dos señales, por ejemplo, para determinar los retardos de tiempo para la propagación de señales acústicas a través de una matriz de micrófonos. [ 13 ] [ 14 ] Después de calcular la correlación cruzada entre las dos señales, el máximo (o mínimo si las señales están correlacionadas negativamente) de la función de correlación cruzada indica el punto en el tiempo donde las señales están mejor alineadas; es decir, el retardo de tiempo entre las dos señales está determinado por el argumento del máximo, o arg max de la correlación cruzada, como en

τdmilay=argramometroaincógnitat∈R((F⋆gramo)(t)){\displaystyle \tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))}

Terminología en el procesamiento de imágenes

Correlación cruzada normalizada a cero (ZNCC)

Para aplicaciones de procesamiento de imágenes en las que el brillo de la imagen y la plantilla puede variar debido a las condiciones de iluminación y exposición, las imágenes se pueden normalizar primero. Esto se suele hacer en cada paso restando la media y dividiendo por la desviación estándar . Es decir, la correlación cruzada de una plantilla. t(incógnita,y){\displaystyle t(x,y)}con una subimagenF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}es

1norteσFσt∑incógnita,y(F(incógnita,y)−μF)(t(incógnita,y)−μt){\displaystyle {\frac {1}{n\sigma _{f}\sigma _{t}}}\sum _{x,y}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)}

dóndenorte{\displaystyle n}es el número de píxeles ent(incógnita,y){\displaystyle t(x,y)}yF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}, μF{\displaystyle \mu _{f}}es el promedio deF{\displaystyle f}yσF{\displaystyle \sigma _{f}}es la desviación estándar deF{\displaystyle f}.

En términos de análisis funcional , esto puede pensarse como el producto escalar de dos vectores normalizados . Es decir, siF(incógnita,y)=F(incógnita,y)−μF{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}}yT(incógnita,y)=t(incógnita,y)−μt{\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}}entonces la suma anterior es igual a⟨F‖F‖,T‖T‖⟩{\displaystyle \left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle }dónde⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }es el producto interno y‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}es la norma L² . Cauchy-Schwarz implica entonces que ZNCC tiene un rango de[−1,1]{\displaystyle [-1,1]}.

Por lo tanto, siF{\displaystyle f}yt{\displaystyle t}son matrices reales, su correlación cruzada normalizada es igual al coseno del ángulo entre los vectores unitarios.F{\displaystyle F}yT{\displaystyle T}siendo así1{\displaystyle 1}si y solo siF{\displaystyle F}igualT{\displaystyle T}multiplicado por un escalar positivo.

La correlación normalizada es uno de los métodos utilizados para la coincidencia de plantillas , un proceso que se emplea para encontrar instancias de un patrón u objeto dentro de una imagen. También es la versión bidimensional del coeficiente de correlación producto-momento de Pearson .

Correlación cruzada normalizada (NCC)

NCC es similar a ZNCC con la única diferencia de que no resta el valor medio local de las intensidades:1norteσFσt∑incógnita,yF(incógnita,y)t(incógnita,y){\displaystyle {\frac {1}{n\sigma _{f}\sigma _{t}}}\sum _{x,y}f(x,y)t(x,y)}

Sistemas no lineales

Se debe tener precaución al usar la función de correlación cruzada, que asume una varianza gaussiana para sistemas no lineales. En ciertas circunstancias, que dependen de las propiedades de la entrada, la correlación cruzada entre la entrada y la salida de un sistema con dinámica no lineal puede ser completamente ciega a ciertos efectos no lineales. [ 15 ] Este problema surge porque algunos momentos cuadráticos pueden ser iguales a cero, lo que puede sugerir erróneamente que hay poca "correlación" (en el sentido de dependencia estadística) entre dos señales, cuando en realidad las dos señales están fuertemente relacionadas por la dinámica no lineal.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Bracewell, R. "Notación de pentagrama para correlación cruzada". La transformada de Fourier y sus aplicaciones. Nueva York: McGraw-Hill, págs. 46 y 243, 1965.
  2. ↑ Papoulis, A. La integral de Fourier y sus aplicaciones. Nueva York: McGraw-Hill, págs. 244-245 y 252-253, 1962.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Correlación cruzada". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
  4. ↑ Rabiner, LR; Schafer, RW (1978). Procesamiento digital de señales de voz . Serie de procesamiento de señales. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. págs. 147–148 . ISBN  0132136031.
  5. ↑ Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento digital de señales . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 401 págs . ISBN  0139141014.
  6. ↑ Wang, Chen (2019). Aprendizaje de kernel para la percepción visual, Capítulo 2.2.1 (Tesis doctoral). Universidad Tecnológica de Nanyang, Singapur. pp. 17–18 . doi : 10.32657/10220/47835 . hdl : 10356/105527 . 
  7. ↑ Wang, Chen; Zhang, Le; Yuan, Junsong; Xie, Lihua (2018). "Correlador cruzado del kernel" . Actas de la Conferencia AAAI sobre Inteligencia Artificial . La trigésimo segunda Conferencia AAAI sobre Inteligencia Artificial. 32. Asociación para el Avance de la Inteligencia Artificial: 4179–4186 . doi : 10.1609/aaai.v32i1.11710 . S2CID 3544911 . 
  8. ↑ Campbell; Lo; MacKinlay (1996). La econometría de los mercados financieros . NJ: Princeton University Press. ISBN 0691043019.
  9. ↑ Kapinchev, Konstantin; Bradu, Adrian; Barnes, Frederick; Podoleanu, Adrian (2015). "Implementación en GPU de la correlación cruzada para la generación de imágenes en tiempo real". 9.ª Conferencia Internacional sobre Procesamiento de Señales y Sistemas de Comunicación (ICSPCS) de 2015. págs. 1-6 . doi : 10.1109/ICSPCS.2015.7391783 . ISBN  978-1-4673-8118-5. S2CID 17108908 . 
  10. 1 2 3 4 Gubner, John A. (2006). Probabilidad y procesos aleatorios para ingenieros eléctricos e informáticos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.
  11. ↑ Newland, DE (1993). Introducción a las vibraciones aleatorias, el análisis espectral y el análisis de ondículas (3.ª ed.). Wiley. ISBN  978-0-582-21584-9.
  12. ↑ Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
  13. ↑ Rhudy, Matthew; Brian Bucci; Jeffrey Vipperman; Jeffrey Allanach; Bruce Abraham (noviembre de 2009). Métodos de análisis de matrices de micrófonos mediante correlaciones cruzadas . Actas del Congreso Internacional de Ingeniería Mecánica de la ASME de 2009, Lake Buena Vista, FL. págs. 281–288 . doi : 10.1115/IMECE2009-10798 . ISBN  978-0-7918-4388-8.
  14. ↑ Rhudy, Matthew (noviembre de 2009). Implementación en tiempo real de un clasificador de impulsos militares (tesis de maestría). Universidad de Pittsburgh.
  15. ↑ Billings, SA (2013). Identificación de sistemas no lineales: métodos NARMAX en los dominios temporal, frecuencial y espaciotemporal . Wiley. ISBN 978-1-118-53556-1.

Lecturas adicionales

  • Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeshir; Sahimi, Muhammad (2012). "Modelado geoestadístico multipunto basado en funciones de correlación cruzada". Geociencias Computacionales . 16 (3): 779– 797. Bibcode : 2012CmpGe..16..779T . doi : 10.1007/s10596-012-9287-1 . S2CID 62710397 . 
  • Correlación cruzada de Mathworld
  • http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
  • http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf
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