Sección transversal (física)

En física, la sección transversal es una medida relacionada con la probabilidad de que un proceso específico ocurra en la colisión de dos partículas. Por ejemplo, la sección transversal de Rutherford es una medida de la probabilidad de que una partícula alfa se desvíe un ángulo determinado durante una interacción con un núcleo atómico . La sección transversal se suele denotar con la letra $σ$ ( sigma ) y tiene dimensiones de área , con unidades de metro cuadrado o, más a menudo, de barns . En cierto modo, puede considerarse como el tamaño del objeto que la excitación debe impactar para que el proceso ocurra, pero, más precisamente, es un parámetro de un proceso estocástico .

En física clásica , cuando dos partículas discretas interactúan , su sección transversal mutua es el área transversal a su movimiento relativo dentro de la cual deben encontrarse para dispersarse entre sí. Si las partículas son esferas rígidas que interactúan solo al entrar en contacto, su sección transversal de dispersión está relacionada con su tamaño geométrico. Si las partículas interactúan mediante alguna fuerza de acción a distancia, como el electromagnetismo o la gravedad , su sección transversal de dispersión suele ser mayor que su tamaño geométrico.

Cuando una sección transversal se especifica como el límite diferencial de una función de alguna variable de estado final, como el ángulo de la partícula o la energía, se denomina sección transversal diferencial (véase la explicación detallada a continuación). Cuando una sección transversal se integra sobre todos los ángulos de dispersión (y posiblemente otras variables), se denomina sección transversal total o sección transversal total integrada . Por ejemplo, en la dispersión de Rayleigh , la intensidad dispersada en los ángulos hacia adelante y hacia atrás es mayor que la intensidad dispersada lateralmente, por lo que la sección transversal de dispersión diferencial hacia adelante es mayor que la sección transversal diferencial perpendicular, y sumando todas las secciones transversales infinitesimales en todo el rango de ángulos mediante cálculo integral, podemos hallar la sección transversal total.

En física nuclear , atómica y de partículas , se definen secciones transversales de dispersión para colisiones de haces acelerados de un tipo de partícula con blancos (estacionarios o en movimiento) de un segundo tipo de partícula. La probabilidad de que ocurra una reacción determinada es proporcional a su sección transversal. Por lo tanto, especificar la sección transversal de una reacción dada es una aproximación a la probabilidad de que ocurra un proceso de dispersión determinado.

La velocidad de reacción medida de un proceso determinado depende en gran medida de variables experimentales como la densidad del material objetivo, la intensidad del haz, la eficiencia de detección del aparato o el ángulo de detección. Sin embargo, estas cantidades pueden eliminarse factorizando, lo que permite medir la sección transversal de colisión de dos partículas subyacente.

Las secciones transversales de dispersión diferencial y total se encuentran entre las cantidades medibles más importantes en la física nuclear , atómica y de partículas .

En la dispersión de la luz por una partícula, la sección transversal especifica la cantidad de potencia óptica dispersada por la luz de una irradiancia determinada (potencia por unidad de área). Si bien la sección transversal tiene las mismas unidades que el área, no necesariamente corresponde al tamaño físico real del objeto, determinado mediante otras formas de medición. Es común que el área de la sección transversal real de un objeto dispersor sea mucho mayor o menor que la sección transversal en relación con algún proceso físico. Por ejemplo, las nanopartículas plasmónicas pueden tener secciones transversales de dispersión de luz para ciertas frecuencias que son mucho mayores que sus áreas de sección transversal reales.

Colisión entre partículas de gas

**Figura 1.** En un gas de partículas de diámetro individual $2 r$ , la sección transversal $σ$ , para colisiones está relacionada con la densidad numérica de partículas $n$ , y el camino libre medio entre colisiones $λ$ .

En un gas de partículas de tamaño finito, se producen colisiones entre partículas que dependen del tamaño de sus secciones transversales. La distancia media que recorre una partícula entre colisiones depende de la densidad de las partículas del gas. Estas cantidades están relacionadas por:

\sigma ={\frac {1}{n\lambda }},

dónde

σ

es la sección transversal de una colisión de dos partículas (unidad SI : ^m² ),

λ

es el camino libre medio entre colisiones (unidad SI: m),

n

es la densidad numérica de las partículas objetivo (unidad SI: m⁻³ ).

Si las partículas del gas pueden tratarse como esferas rígidas de radio $r$ que interactúan por contacto directo, como se ilustra en la Figura 1, entonces la sección transversal efectiva para la colisión de un par es

\sigma =\pi \left(2r\right)^{2}

Equivale al área de un círculo con un radio efectivo dos veces mayor que el de las partículas de gas.

Si las partículas del gas interactúan mediante una fuerza con un alcance mayor que su tamaño físico, entonces la sección transversal es un área efectiva mayor que puede depender de diversas variables, como la energía de las partículas.

Las secciones transversales se pueden calcular para colisiones atómicas, pero también se utilizan en el ámbito subatómico. Por ejemplo, en física nuclear, un "gas" de neutrones de baja energía colisiona con núcleos en un reactor u otro dispositivo nuclear, con una sección transversal que depende de la energía y, por lo tanto, también con un camino libre medio bien definido entre colisiones.

Atenuación de un haz de partículas

En la dispersión óptica , la sección transversal puede interpretarse como el área efectiva de una partícula que interactúa con un haz de intensidad dada. $I_{0}$ . La potencia dispersada por una partícula con sección transversal ${\textstyle \sigma }$ y la intensidad entrante ${\textstyle I_{\rm {inc}}}$ es dado por $P_{\rm {sca}}=P_{\rm {inc}}\times {\frac {\sigma }{A_{\rm {beam}}}}=I_{\rm {inc}}\sigma ,$ dónde ${\textstyle A_{\rm {haz}}}$ es el área de la superficie del haz y ${\textstyle P_{\rm {inc}}}$ es la potencia entrante. ^{[ 1 ]}

Si un haz de partículas entra en una capa delgada de material de espesor $d z$ , el flujo $Φ$ del haz disminuirá en $dΦ$ según

{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} z}}=-n\sigma \Phi ,

donde $σ$ es la sección transversal total de todos los eventos, incluyendo dispersión , absorción o transformación a otra especie. La densidad numérica volumétrica de centros de dispersión se designa por $n$ . La resolución de esta ecuación muestra la atenuación exponencial de la intensidad del haz:

\Phi =\Phi _ {0}e^{-n\sigma z},

donde $Φ 0$ es el flujo inicial y $z$ es el espesor total del material. Para la luz, esto se denomina ley de Beer-Lambert .

Sección transversal diferencial

Consideremos una medición clásica donde una sola partícula se dispersa al chocar con una sola partícula objetivo estacionaria. Convencionalmente, se utiliza un sistema de coordenadas esféricas , con el objetivo situado en el origen y el eje $z$ de este sistema de coordenadas alineado con el haz incidente. El ángulo $θ$ es el ángulo de dispersión , medido entre el haz incidente y el haz dispersado, y $φ$ es el ángulo azimutal .

El parámetro de impacto $b$ es el desplazamiento perpendicular de la trayectoria de la partícula incidente, y la partícula saliente emerge en un ángulo $θ$ . Para una interacción dada ( coulombiana , magnética , gravitacional , de contacto, etc.), el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión tienen una dependencia funcional definida uno a uno entre sí. Generalmente, el parámetro de impacto no se puede controlar ni medir de un evento a otro y se supone que toma todos los valores posibles cuando se promedia sobre muchos eventos de dispersión. El tamaño diferencial de la sección transversal es el elemento de área en el plano del parámetro de impacto, es decir, $d σ = b d φ d b$ . El rango angular diferencial de la partícula dispersada en el ángulo $θ$ es el elemento de ángulo sólido $dΩ = sin θ d θ d φ$ . La sección transversal diferencial es el cociente de estas cantidades, $⁠ d σ / dΩ ⁠$ .

Es una función del ángulo de dispersión (y, por lo tanto, también del parámetro de impacto), además de otras observables como el momento de la partícula incidente. La sección transversal diferencial siempre se considera positiva, aunque parámetros de impacto mayores generalmente producen una menor deflexión. En situaciones de simetría cilíndrica (alrededor del eje del haz), el ángulo azimutal $φ$ no cambia por el proceso de dispersión, y la sección transversal diferencial se puede escribir como

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi

.

En situaciones donde el proceso de dispersión no es simétrico azimutalmente, como cuando el haz o las partículas objetivo poseen momentos magnéticos orientados perpendicularmente al eje del haz, la sección transversal diferencial también debe expresarse como una función del ángulo azimutal.

Para la dispersión de partículas de flujo incidente $F inc$ sobre un blanco estacionario compuesto por muchas partículas, la sección transversal diferencial $⁠$ $d$ $σ$ $/$ $dΩ$ $⁠$ en un ángulo $($ $θ$ $,$ $φ$ $)$ está relacionada con el flujo de detección de partículas dispersas $F$ $out$ $($ $θ$ $,$ $φ$ $)$ en partículas por unidad de tiempo mediante

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{out}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc}}}}.

Aquí, $ΔΩ$ es el tamaño angular finito del detector (unidad SI: sr ), $n$ es la densidad numérica de las partículas objetivo (unidad SI: m⁻³ ⁾ y $t$ es el espesor del objetivo estacionario (unidad SI: m). Esta fórmula supone que el objetivo es lo suficientemente delgado como para que cada partícula del haz interactúe con, como máximo, una partícula objetivo.

La sección transversal total $σ$ se puede recuperar integrando la sección transversal diferencial $⁠$ $d$ $σ$ $/$ $dΩ$ $⁠$ sobre todo el ángulo sólido ( $4π$ estereorradianes):

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

Es común omitir el calificativo "diferencial" cuando el tipo de sección transversal se puede inferir del contexto. En este caso, $σ$ puede denominarse sección transversal integral o sección transversal total . Este último término puede resultar confuso en contextos donde intervienen múltiples eventos, ya que "total" también puede referirse a la suma de las secciones transversales de todos los eventos.

La sección transversal diferencial es una magnitud sumamente útil en muchos campos de la física, ya que su medición puede revelar gran cantidad de información sobre la estructura interna de las partículas objetivo. Por ejemplo, la sección transversal diferencial de la dispersión de Rutherford proporcionó una sólida evidencia de la existencia del núcleo atómico.

En lugar del ángulo sólido, la transferencia de momento puede utilizarse como variable independiente de las secciones transversales diferenciales.

Las secciones transversales diferenciales en la dispersión inelástica contienen picos de resonancia que indican la creación de estados metaestables y contienen información sobre su energía y tiempo de vida.

Dispersión cuántica

En el formalismo independiente del tiempo de la dispersión cuántica , la función de onda inicial (antes de la dispersión) se considera una onda plana con momento definido $k$ :

\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},

donde $z$ y $r$ son las coordenadas relativas entre el proyectil y el objetivo. La flecha indica que esto solo describe el comportamiento asintótico de la función de onda cuando el proyectil y el objetivo están demasiado separados como para que la interacción tenga algún efecto.

Tras producirse la dispersión, se espera que la función de onda adopte la siguiente forma asintótica:

\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ikr}}{r}},

donde $f$ es una función de las coordenadas angulares conocida como amplitud de dispersión . Esta forma general es válida para cualquier interacción de corto alcance que conserve la energía. No es válida para interacciones de largo alcance, por lo que surgen complicaciones adicionales al tratar con interacciones electromagnéticas.

La función de onda completa del sistema se comporta asintóticamente como la suma

\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+}(\mathbf {r} ).

La sección transversal diferencial está relacionada con la amplitud de dispersión:

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr |}^{2}.

Esto tiene la sencilla interpretación de ser la densidad de probabilidad de encontrar el proyectil disperso en un ángulo determinado.

Por lo tanto, una sección transversal es una medida del área superficial efectiva vista por las partículas incidentes y, como tal, se expresa en unidades de área. La sección transversal de dos partículas (es decir, la observada cuando las dos partículas colisionan entre sí) es una medida del evento de interacción entre las dos partículas. La sección transversal es proporcional a la probabilidad de que ocurra una interacción; por ejemplo, en un experimento de dispersión simple, el número de partículas dispersadas por unidad de tiempo (corriente de partículas dispersadas $I r$ ) depende solo del número de partículas incidentes por unidad de tiempo (corriente de partículas incidentes $I i$ ), las características del objetivo (por ejemplo, el número de partículas por unidad de superficie $N$ ) y el tipo de interacción. Para $Nσ ≪ 1$ tenemos

{\begin{aligned}I_{\text{r}}&=I_{\text{i}}N\sigma ,\\\sigma &={\frac {I_{\text{r}}}{I_{\text{i}}}}{\frac {1}{N}}\\&={\text{probabilidad de interacción}}\times {\frac {1}{N}}.\end{aligned}}

Relación con la matriz S

Si las masas y momentos reducidos del sistema en colisión son $m$ $i$ , $p$ $i$ y $m$ $f$ , $p$ $f$ antes y después de la colisión respectivamente, la sección transversal diferencial viene dada por

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{\text{i}}m_{\text{f}}{\frac {p_{\text{f}}}{p_{\text{i}}}}{\bigl |}T_{{\text{f}}{\text{i}}}{\bigr |}^{2},

$donde la matriz T$ en la capa de masas se define por

S_{{\text{f}}{\text{i}}}=\delta _{{\text{f}}{\text{i}}}-2\pi i\delta \left(E_{\text{f}}-E_{\text{i}}\right)\delta \left(\mathbf {p} _{\text{i}}-\mathbf {p} _{\text{f}}\right)T_{{\text{f}}{\text{i}}}

en términos de la matriz S. Aquí $δ$ es la función delta de Dirac . El cálculo de la matriz S es el objetivo principal de la teoría de la dispersión.

Dispersión en esfera sólida y en capa esférica

Consideremos esferas de radio $a$ Clásicamente, la sección transversal sería $\pi a^{2}$ . Mecánica cuántica y para partículas lentas (es decir, para aquellas cuya longitud de onda de De Broglie es mucho mayor que las dimensiones del dispersor) y $S$ ondas la sección transversal total es $4\pi a^{2}$ Para partículas rápidas, se deben tener en cuenta momentos angulares más altos y la sección transversal total es aproximadamente $2\pi a^{2}$ . En el caso de una capa esférica (función delta potencial), la sección transversal total permite que aparezcan resonancias. ^{[ 2 ]}

Unidades

Aunque la unidad del SI para ^la sección transversal total es m² , en la práctica se suele utilizar una unidad más pequeña.

En física nuclear y de partículas, la unidad convencional es el barn (símbolo b ), donde 1 b = ^10⁻²⁸ m² = 100 fm² ^.^[³^] También se utilizan ampliamente unidades más pequeñas con prefijo, ^como mb y μb . De manera similar, la sección transversal diferencial se puede medir en unidades como mb/sr.

Cuando la radiación dispersa es luz visible, se suele medir la longitud del recorrido en centímetros . Para evitar la necesidad de factores de conversión, la sección transversal de dispersión se expresa en cm² ^y la concentración numérica en cm⁻³ ^. La medición de la dispersión de la luz visible se conoce como nefelometría y es eficaz para partículas de 2 a 50 μm de diámetro; por ello, se utiliza ampliamente en meteorología y en la medición de la contaminación atmosférica .

La dispersión de rayos X también puede describirse en términos de secciones transversales de dispersión, en cuyo caso el angstrom cuadrado es una unidad conveniente: 1 Å ² = 10 ⁻²⁰ m ² =10 000 pm ² = 10 ⁸ b. La suma de las secciones transversales de dispersión, fotoeléctrica y de producción de pares (en barns) se representa gráficamente como el "coeficiente de atenuación atómica" (haz estrecho), en barns. ^{[ 4 ]}

Dispersión de la luz

En el caso de la luz, al igual que en otros contextos, la sección transversal de dispersión de las partículas suele ser diferente de la sección transversal geométrica de la partícula, y depende de la longitud de onda de la luz, así como de la permitividad , la forma y el tamaño de la partícula. La dispersión total en un medio poco denso es proporcional al producto de la sección transversal de dispersión y el número de partículas presentes.

En la interacción de la luz con las partículas, ocurren muchos procesos, cada uno con su propia sección transversal, incluyendo la absorción , la dispersión y la fotoluminiscencia . La suma de las secciones transversales de absorción y dispersión se conoce a veces como sección transversal de atenuación o extinción.

\sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.

La sección transversal de extinción total está relacionada con la atenuación de la intensidad de la luz a través de la ley de Beer-Lambert , que establece que la atenuación es proporcional a la concentración de partículas:

A_{\lambda }=Cl\sigma ,

donde $A λ$ es la atenuación a una longitud de onda $λ$ dada , $C$ es la concentración de partículas como densidad numérica y $l$ es la longitud del camino . La absorbancia de la radiación es el logaritmo ( decádico o, más comúnmente, natural ) del recíproco de la transmitancia T : ^{[ 5 ]}

A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.

La combinación de las secciones transversales de dispersión y absorción de esta manera suele ser necesaria debido a la imposibilidad de distinguirlas experimentalmente, y se ha dedicado mucho esfuerzo de investigación al desarrollo de modelos que permitan distinguirlas, siendo la teoría de Kubelka-Munk una de las más importantes en este campo.

Sección transversal y teoría de Mie

Las secciones transversales que se calculan habitualmente utilizando la teoría de Mie incluyen coeficientes de eficiencia para la extinción. ${\textstyle Q_{\text{ext}}}$ , dispersión ${\textstyle Q_{\text{sc}}}$ y absorción ${\textstyle Q_{\text{abs}}}$ secciones transversales. Estas se normalizan mediante las secciones transversales geométricas de la partícula. ${\textstyle \sigma _{\text{geom}}=\pi a^{2}}$ como $Q_{\alpha }={\frac {\sigma _{\alpha }}{\sigma _{\text{geom}}}},\qquad \alpha ={\text{ext}},{\text{sc}},{\text{abs}}.$ La sección transversal se define por

\sigma _{\alpha }={\frac {W_{\alpha }}{I_{\text{inc}}}}

dónde $\left[W_{\alpha }\right]=\left[{\text{W}}\right]$ es el flujo de energía a través de la superficie circundante, y $\left[I_{\text{inc}}\right]=\left[{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}}}\right]$ es la intensidad de la onda incidente. Para una onda plana, la intensidad va a ser $I_{\text{inc}}=|\mathbf {E} |^{2}/(2\eta )$ , dónde $\eta ={\sqrt {\mu \mu _{0}/(\varepsilon \varepsilon _{0})}}$ es la impedancia del medio anfitrión .

El enfoque principal se basa en lo siguiente. En primer lugar, construimos una esfera imaginaria de radio $r$ (superficie $A$ ) alrededor de la partícula (el dispersor). La tasa neta de energía electromagnética cruza la superficie $A$ es

W_{\text{a}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } \cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA

dónde ${\textstyle \mathbf {\Pi } ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} ^{*}\times \mathbf {H} \right]}$ es el vector de Poynting promediado en el tiempo . Si $W_{\text{a}}>0$ La energía se absorbe dentro de la esfera; de lo contrario, se crea energía dentro de ella. No consideraremos este caso aquí. Si el medio anfitrión no es absorbente, la energía debe ser absorbida por la partícula. Descomponemos el campo total en partes incidentes y dispersas. $\mathbf {E} =\mathbf {E} _{\text{i}}+\mathbf {E} _{\text{s}}$ y lo mismo para el campo magnético $\mathbf {H}$ . Por lo tanto, podemos descomponer $W_{a}$ en los tres términos $W_{\text{a}}=W_{\text{i}}-W_{\text{s}}+W_{\text{ext}}$ , dónde

W_{\text{i}}=-\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{i}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA\equiv 0,\qquad W_{\text{s}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{s}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA,\qquad W_{\text{ext}}=\oint _{A}\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}dA.

dónde $\mathbf {\Pi } _{\text{i}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{i}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{i}}\right]$ , $\mathbf {\Pi } _{\text{s}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{\text{s}}^{*}\times \mathbf {H} _{\text{s}}\right]$ , y $\mathbf {\Pi } _{\text{ext}}={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{s}^{*}\times \mathbf {H} _{i}+\mathbf {E} _{i}^{*}\times \mathbf {H} _{s}\right]$ .

Todo el campo se puede descomponer en la serie de armónicos esféricos vectoriales (VSH) . Después de eso, se pueden tomar todas las integrales. En el caso de una esfera uniforme de radio $a$ , permitividad $\varepsilon$ y permeabilidad $\mu$ , el problema tiene una solución precisa. ^{[ 6 ]} Los coeficientes de dispersión y extinción son $Q_{\text{sc}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})$ $Q_{\text{ext}}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})$ Dónde ${\textstyle k=n_{\text{host}}k_{0}}$ Estos están conectados como $\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{abs}}\qquad {\text{or}}\qquad Q_{\text{ext}}=Q_{\text{sc}}+Q_{\text{abs}}$

Aproximación dipolar para la sección transversal de dispersión

Supongamos que una partícula solo admite modos dipolares eléctricos y magnéticos con polarizabilidades ${\textstyle \mathbf {p} =\alpha ^{e}\mathbf {E} }$ y ${\textstyle \mathbf {m} =(\mu \mu _{0})^{-1}\alpha ^{m}\mathbf {H} }$ (aquí utilizamos la notación de polarizabilidad magnética según Bekshaev et al. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} en lugar de la notación de Nieto-Vesperinas et al. ^{[ 9 ]} ) expresada a través de los coeficientes de Mie como $\alpha ^{e}=4\pi \varepsilon _{0}\cdot i{\frac {3\varepsilon }{2k^{3}}}a_{1},\qquad \alpha ^{m}=4\pi \mu _{0}\cdot i{\frac {3\mu }{2k^{3}}}b_{1}.$ Entonces las secciones transversales vienen dadas por $\sigma _{\text{ext}}=\sigma _{\text{ext}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{ext}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\Im (\alpha ^{m})$ $\sigma _{\text{sc}}=\sigma _{\text{sc}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{sc}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{e}|^{2}+{\frac {1}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\cdot {\frac {8\pi }{3}}k^{4}|\alpha ^{m}|^{2}$ y, finalmente, las secciones transversales de absorción eléctrica y magnética ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}=\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}+\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}}$ son $\sigma _{\text{abs}}^{\text{(e)}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{e})-{\frac {k^{3}}{6\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}|\alpha ^{e}|^{2}\right]$ y $\sigma _{\text{abs}}^{\text{(m)}}={\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\cdot 4\pi k\left[\Im (\alpha ^{m})-{\frac {k^{3}}{6\pi \mu \mu _{0}}}|\alpha ^{m}|^{2}\right]$

En el caso de una partícula sin ganancia interna, es decir, la partícula no emite energía internamente ( ${\textstyle \sigma _{\text{abs}}>0}$ ), tenemos un caso particular del teorema óptico ${\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\Im (\alpha ^{e})+{\frac {1}{4\pi \mu \mu _{0}}}\Im (\alpha ^{m})\geq {\frac {2k^{3}}{3}}\left[{\frac {|\alpha ^{e}|^{2}}{(4\pi \varepsilon \varepsilon _{0})^{2}}}+{\frac {|\alpha ^{m}|^{2}}{(4\pi \mu \mu _{0})^{2}}}\right]$ La igualdad se produce para partículas no absorbentes, es decir, para ${\textstyle \Im (\varepsilon )=\Im (\mu )=0}$ .

Dispersión de la luz en cuerpos extensos

En el contexto de la dispersión de la luz en cuerpos extensos, la sección transversal de dispersión, $σsc$ $,$ describe la probabilidad de que la luz sea dispersada por una partícula macroscópica. En general, la sección transversal de dispersión difiere de la sección transversal geométrica de una partícula, ya que depende de la longitud de onda de la luz y la permitividad , además de la forma y el tamaño de la partícula. La cantidad total de dispersión en un medio disperso se determina por el producto de la sección transversal de dispersión y el número de partículas presentes. En términos de área, la sección transversal total ( $σ$ ) es la suma de las secciones transversales debidas a la absorción , la dispersión y la luminiscencia .

\sigma =\sigma _{\text{abs}}+\sigma _{\text{sc}}+\sigma _{\text{lum}}.

La sección transversal total está relacionada con la absorbancia de la intensidad de la luz a través de la ley de Beer-Lambert , que establece que la absorbancia es proporcional a la concentración: $A λ = Clσ$ , donde $A λ$ es la absorbancia a una longitud de onda $λ$ dada , $C$ es la concentración como densidad numérica y $l$ es la longitud del camino . La extinción o absorbancia de la radiación es el logaritmo ( decádico o, más comúnmente, natural ) del recíproco de la transmitancia T : ^{[ 5 ]}

A_{\lambda }=-\log {\mathcal {T}}.

Relación con el tamaño físico

No existe una relación simple entre la sección transversal de dispersión y el tamaño físico de las partículas, ya que esta depende de la longitud de onda de la radiación utilizada. Esto se puede observar al contemplar el halo que rodea la Luna en una noche con niebla: los fotones de luz roja atraviesan una mayor área de las gotas de agua que los fotones de mayor energía. Por lo tanto, el halo alrededor de la Luna presenta un perímetro de luz roja debido a que los fotones de menor energía se dispersan más lejos del centro lunar. Los fotones del resto del espectro visible permanecen en el centro del halo y se perciben como luz blanca.

Rango meteorológico

La sección transversal de dispersión está relacionada con el rango meteorológico $L V$ :

L_{\text{V}}={\frac {3.9}{C\sigma _{\text{scat}}}}.

La cantidad $Cσ scat$ a veces se denota como $b scat$ , el coeficiente de dispersión por unidad de longitud. ^{[ 10 ]}

Ejemplos

Colisión elástica de dos esferas duras

Las siguientes ecuaciones se aplican a dos esferas duras que experimentan una colisión perfectamente elástica . ^{[ 11 ]} Sean $R$ y $r$ los radios del centro de dispersión y de la esfera dispersada, respectivamente. La sección transversal diferencial es

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {R^{2}}{4}},

y la sección transversal total es

\sigma _{\text{tot}}=\pi \left(r+R\right)^{2}.

En otras palabras, la sección transversal de dispersión total es igual al área del círculo (con radio $r + R$ ) dentro del cual debe llegar el centro de masa de la esfera incidente para que se desvíe.

Dispersión de Rutherford

En la dispersión de Rutherford , una partícula incidente con carga $q$ y energía $E$ se dispersa al chocar con una partícula fija con carga $Q.$ La sección transversal diferencial es

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {q\,Q}{16\pi \varepsilon _{0}E\sin ^{2}(\theta /2)}}\right)^{2}

dónde $\varepsilon _{0}$ es la permitividad del vacío . ^{[ 12 ]} La sección transversal total es infinita a menos que haya un límite para ángulos de dispersión pequeños. $\theta$ se aplica. ^{[ 13 ]} Esto se debe al largo alcance de la $1/r$ Potencial de Coulomb.

Dispersión de un espejo circular bidimensional

El siguiente ejemplo trata sobre un haz de luz que se dispersa al incidir sobre un círculo de radio $r$ y un límite perfectamente reflectante. El haz consta de una densidad uniforme de rayos paralelos, y la interacción haz-círculo se modela dentro del marco de la óptica geométrica . Dado que el problema es genuinamente bidimensional, la sección transversal tiene unidades de longitud (por ejemplo, metros). Sea $α$ el ángulo entre el rayo de luz y el radio que une el punto de reflexión del rayo con el centro del espejo. Entonces, el incremento del elemento de longitud perpendicular al haz es

\mathrm {d} x=r\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha .

El ángulo de reflexión de este rayo con respecto al rayo incidente es $2 α$ , y el ángulo de dispersión es

\theta =\pi -2\alpha .

La relación diferencial entre la intensidad incidente y reflejada $I$ es

I\,\mathrm {d} \sigma =I\,\mathrm {d} x(x)=Ir\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha =I{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =I{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta .

Por lo tanto, la sección transversal diferencial es ( $dΩ = d θ$ )

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}={\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).

Su máximo en $θ = π$ corresponde a la dispersión hacia atrás, y su mínimo en $θ = 0$ corresponde a la dispersión desde el borde del círculo directamente hacia adelante. Esta expresión confirma las expectativas intuitivas de que el círculo del espejo actúa como una lente divergente . La sección transversal total es igual al diámetro del círculo:

\sigma =\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta =2r.

Dispersión de un espejo esférico 3D

El resultado del ejemplo anterior se puede utilizar para resolver el problema análogo en tres dimensiones, es decir, la dispersión de una esfera perfectamente reflectante de radio $a$ .

El plano perpendicular al haz de luz incidente se puede parametrizar mediante coordenadas cilíndricas $r$ y $φ$ . En cualquier plano del rayo incidente y del rayo reflejado podemos escribir (a partir del ejemplo anterior):

{\begin{aligned}r&=a\sin \alpha ,\\\mathrm {d} r&=a\cos \alpha \,\mathrm {d} \alpha ,\end{aligned}}

mientras que el elemento del área de impacto es

\mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} r(r)\times r\,\mathrm {d} \varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

En coordenadas esféricas,

\mathrm {d} \Omega =\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

Junto con la identidad trigonométrica

\sin \theta =2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),

obtenemos

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}={\frac {a^{2}}{4}}.

La sección transversal total es

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\pi a^{2}.

Véase también

Referencias

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Bibliografía

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Enlaces externos

Sección transversal nuclear
Sección transversal de dispersión
OIEA – Servicios de datos nucleares
BNL – Centro Nacional de Datos Nucleares
Grupo de Datos de Partículas – La Revista de Física de Partículas
Libro de Oro de la IUPAC – Definición: Sección transversal de reacción
Libro de Oro de la IUPAC – Definición: Sección transversal de colisión
Trazador de secciones transversales ShimPlotWell para datos nucleares

[1] Sorensen, Christopher M. Dispersión y absorción de luz por partículas: el enfoque del espacio Q. IOP Publishing, 2022. https://iopscience.iop.org/book/mono/978-0-7503-5157-7 . p.2-1

[2] HJW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª edición (2012) World Scientific; págs. 271-272, 311-314.

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[4] Manual de Ensayos No Destructivos Volumen 4 Ensayos Radiográficos, ASNT, 2002, capítulo 22.

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[FOOTNOTETaylor2005564,_574-11] Taylor 2005 , págs. 564, 574.

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