Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Sistema de factores

En matemáticas , un sistema de factores (a veces llamado conjunto de factores ) es una herramienta fundamental de la teoría clásica de Otto Schreier para el problema de extensió...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , un sistema de factores (a veces llamado conjunto de factores ) es una herramienta fundamental de la teoría clásica de Otto Schreier para el problema de extensión de grupos . [ 1 ] [ 2 ] Consiste en un conjunto de automorfismos y una función binaria en un grupo que satisface cierta condición (la llamada condición de cociclo ). De hecho, un sistema de factores constituye una realización de los cociclos en el segundo grupo de cohomología en la cohomología de grupos . [ 3 ]

Introducción

Supongamos que G es un grupo y A es un grupo abeliano . Para una extensión de grupo

1→A→incógnita→GRAMO→1,{\displaystyle 1\to A\to X\to G\to 1,}

Existe un sistema de factores que consiste en una función f  : G × G → A y un homomorfismo σ : G → Aut( A ) tal que hace que el producto cartesiano G × A sea un grupo X como

(gramo,a)∗(h,b):=(gramoh,F(gramo,h)aσ(h)b).{\displaystyle (g,a)*(h,b):=(gh,f(g,h)a^{\sigma (h)}b).}

Por lo tanto, f debe ser un "cociclo de grupo 2" (y, por consiguiente, definir un elemento en H 2 ( G , A ), como se estudia en la cohomología de grupos ). De hecho, A no tiene por qué ser abeliano, pero la situación es más complicada para grupos no abelianos [ 4 ].

Si f es trivial, entonces X se descompone sobre A , de modo que X es el producto semidirecto de G con A.

Si se da un álgebra de grupo , entonces un sistema de factores f modifica esa álgebra a un álgebra de grupo sesgado modificando la operación de grupo xy a f ( x , y ) xy .

Aplicación: para extensiones de campo abelianas

Sea G un grupo y L un cuerpo sobre el cual G actúa como automorfismos. Un cociclo o sistema de factores (de Noether) [ 5 ] : 31 es una aplicación c : G × G → L * que satisface

do(h,k)gramodo(hk,gramo)=do(h,kgramo)do(k,gramo).{\displaystyle c(h,k)^{g}c(hk,g)=c(h,kg)c(k,g).}

Los cociclos son equivalentes si existe algún sistema de elementos a  : G → L * con

do′(gramo,h)=do(gramo,h)(agramohahagramoh−1).{\displaystyle c'(g,h)=c(g,h)(a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}).}

Cociclos de la forma

do(gramo,h)=agramohahagramoh−1{\displaystyle c(g,h)=a_{g}^{h}a_{h}a_{gh}^{-1}}

se denominan escindidos . Los cociclos bajo multiplicación módulo cociclos escindidos forman un grupo, el segundo grupo de cohomología H 2 ( G , L * ).

Álgebras de producto cruzado

Consideremos el caso en que G es el grupo de Galois de una extensión de cuerpo L / K . Un sistema de factores c en H 2 ( G , L * ) da lugar a un álgebra de producto cruzado [ 5 ] : 31 A , que es un K - álgebra que contiene L como subcuerpo, generada por los elementos λ en L y u g con multiplicación

λtúgramo=túgramoλgramo,{\displaystyle \lambda u_{g}=u_{g}\lambda ^{g},}
túgramotúh=túgramohdo(gramo,h).{\displaystyle u_{g}u_{h}=u_{gh}c(g,h).}

Los sistemas de factores equivalentes corresponden a un cambio de base en A sobre K. Podemos escribir

A=(L,GRAMO,do).{\displaystyle A=(L,G,c).}

El álgebra de producto cruzado A es un álgebra simple central (CSA) de grado igual a [ L  : K ]. [ 6 ] Lo contrario también es cierto: toda álgebra simple central sobre K que se descompone sobre L y tal que deg A = [ L  : K ] surge de esta manera. [ 6 ] El producto tensorial de álgebras corresponde a la multiplicación de los elementos correspondientes en H 2 . Así obtenemos una identificación del grupo de Brauer , donde los elementos son clases de CSA sobre K , con H 2 . [ 7 ] [ 8 ]

Álgebra cíclica

Restringámonos aún más al caso en que L / K es cíclico con grupo de Galois G de orden n generado por t . Sea A un producto cruzado ( L , G , c ) con conjunto de factores c . Sea u = u t el generador en A correspondiente a t . Podemos definir los otros generadores

túti=túi{\displaystyle u_{t^{i}}=u^{i}\,}

y luego tenemos u n = a en K. Este elemento a especifica un cociclo c por [ 5 ] : 33

do(ti,tj)={1si i+j<norte,asi i+j≥norte.{\displaystyle c(t^{i},t^{j})={\begin{cases}1&{\text{si }}i+j<n,\\a&{\text{si }}i+j\geq n.\end{cases}}}

Por lo tanto, tiene sentido denotar A simplemente por ( L , t , a ). Sin embargo, a no está especificado de forma única por A ya que podemos multiplicar u por cualquier elemento λ de L * y entonces a se multiplica por el producto de los conjugados de λ. Por lo tanto, A corresponde a un elemento del grupo de residuos de norma K * /N L / K L * . Obtenemos los isomorfismos

Br⁡(L/K)≡K∗/norteL/KL∗≡H2(GRAMO,L∗).{\displaystyle \operatorname {Br} (L/K)\equiv K^{*}/N_{L/K}L^{*}\equiv H^{2}(G,L^{*}).}

Referencias

  1. ↑ extensión del grupo en el Laboratorio n
  2. ↑ Saunders MacLane , Homología , pág. 103, en Google Libros
  3. ↑ cohomología de grupo en el n Lab
  4. ↑ cohomología de grupos no abelianos en el n Lab
  5. ^ Bokhut , Luisiana ; L'vov, IV; Kharchenko, VK (1991). "Anillos no conmutativos". En Kostrikin, AI; Shafarevich, IR (eds.). Álgebra II . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol.  18. Traducido por Behr, E. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-72899-0 . ISBN 9783642728990.
  6. 1 2 Jacobson (1996) pág. 57
  7. ↑ Saltman (1999) pág. 44
  8. ↑ Jacobson (1996) pág. 59
  • Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con estructura, álgebras y temas avanzados . Universitext. Traducido del alemán por Silvio Levy. Con la colaboración del traductor. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 . 
  • Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensión finita sobre cuerpos . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002 . 
  • Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Nueva serie. Vol.  28. Oxford University Press . ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 . 
  • Saltman, David J. (1999). Lecciones sobre álgebras de división . Serie de conferencias regionales en matemáticas. Vol.  94. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana . ISBN 0-8218-0979-2. Zbl 0934.16013 .