Criptomorfismo

En matemáticas , dos objetos, especialmente sistemas de axiomas o semántica para ellos, se denominan criptomórficos si son equivalentes pero no obviamente equivalentes. En particular, dos definiciones o axiomatizaciones del mismo objeto son "criptomórficas" si no es obvio que definan el mismo objeto. Abundan los ejemplos de definiciones criptomórficas en la teoría de matroides y otros se pueden encontrar en otros campos, por ejemplo, en la teoría de grupos, la definición de un grupo mediante una sola operación de división, que no es obviamente equivalente a las tres "operaciones" habituales de elemento neutro, inverso y multiplicación.

Este término es un juego de palabras que alude a los numerosos morfismos matemáticos, pero «criptomorfismo» solo guarda una relación muy lejana con « isomorfismo », « homomorfismo » o «morfismos». En un criptomorfismo, la equivalencia, si no es una identidad propiamente dicha, puede ser informal o formalizada mediante una biyección o equivalencia de categorías entre los objetos matemáticos definidos por los dos sistemas axiomáticos criptomórficos.

El término fue acuñado por Garrett Birkhoff antes de 1967 para su uso en la tercera edición de su libro Teoría de la red . Birkhoff no le dio una definición formal, aunque otros investigadores del campo han hecho algunos intentos desde entonces.

Su sentido informal fue popularizado (y su alcance ampliado enormemente) por Gian-Carlo Rota en el contexto de la teoría de los matroides : existen docenas de enfoques axiomáticos equivalentes para los matroides, pero dos sistemas de axiomas diferentes a menudo tienen un aspecto muy distinto.

En su libro de 1997 , Pensamientos indiscretos , Rota describe la situación de la siguiente manera:

Como muchas otras grandes ideas, la teoría de los matroides fue inventada por uno de los grandes pioneros estadounidenses, Hassler Whitney . Su artículo, que aún hoy constituye la mejor introducción al tema, revela flagrantemente la singularidad de este campo: la excepcional variedad de definiciones criptomórficas de un matroide, sorprendentemente inconexas entre sí y con orígenes matemáticos totalmente distintos. Es como si se intentara condensar todas las tendencias de las matemáticas actuales en una única estructura finita, una hazaña que a priori cualquiera consideraría imposible, de no ser por la existencia de los matroides.

Aunque existen muchos conceptos criptomórficos en matemáticas fuera de la teoría de matroides y el álgebra universal , el término no se ha popularizado entre los matemáticos en general. Sin embargo, su uso es bastante extendido entre los investigadores de la teoría de matroides.

• Clase combinatoria , una equivalencia entre problemas de enumeración combinatoria que sugiere la existencia de un criptomorfismo.

• Birkhoff, G.: Teoría de retículos , 3.ª edición. Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Americana, vol. XXV, 1967.
• Brylawski, T.: Apéndice de criptomorfismos de matroides, en White (1986), págs. 298-312.
• Crapo, H. y Rota, G.-C.: Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria: Geometrías combinatorias. MIT Press, Cambridge, Mass., 1970.
• Elkins, James: Capítulo Criptomorfos en ¿ Por qué nuestras imágenes son rompecabezas?: Sobre los orígenes modernos de la complejidad pictórica , 1999
• Rota, G.-C.: Pensamientos indiscretos , Birkhäuser Boston, Boston, Mass., 1997.
• White, N., editor: Teoría de los matroides , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 26. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.