Función de bola de cristal

La función Crystal Ball , que recibe su nombre de la Crystal Ball Collaboration (de ahí las letras iniciales en mayúscula), es una función de densidad de probabilidad (PDF) que se utiliza comúnmente para modelar diversos procesos con pérdidas en física de altas energías, como la radiación de frenado de electrones. Consta de una porción central gaussiana y una cola de ley de potencias en el extremo inferior, por debajo de un cierto umbral. Tanto la función en sí como su primera derivada son continuas .

La función Bola de Cristal viene dada por:

${\displaystyle f(x;\alpha ,n,{\bar {x}},\sigma )=N\cdot {\begin{cases}\exp(-{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}),&{\mbox{para }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}>-\alpha \\A\cdot (B-{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }})^{-n},&{\mbox{para }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}\leqslant -\alpha \end{cases}},}$

dónde

${\displaystyle A=\left({\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\right)^{n}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$,

${\displaystyle B={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}-\left|\alpha \right|}$,

${\displaystyle N={\frac {1}{\sigma (C+D)}}}$,

${\displaystyle C={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {1}{n-1}}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$,

${\displaystyle D={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {\left|\alpha \right|}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$,

con la función de error erf.

Los parámetros de la función (que normalmente se determinan mediante un ajuste) son:

• ${\displaystyle N}$es un factor de normalización (Skwarnicki 1986)
• ${\displaystyle \alpha >0}$define el punto donde la función de densidad de probabilidad cambia de una ley de potencias a una distribución gaussiana.
• ${\displaystyle n>1}$es la potencia de la cola de la ley de potencias
• ${\displaystyle {\bar {x}}}$y${\displaystyle \sigma }$son la media y la desviación estándar de la distribución gaussiana.

• JE Gaiser, Apéndice F: Espectroscopia de charmonio a partir de las desintegraciones radiactivas del J/Psi y el Psi-Prime, Tesis doctoral , SLAC-R-255 (1982). (Este es un documento de 205 páginas en formato .pdf ; la función se define en la página  178).
• MJ Oreglia, Un estudio de las reacciones psi prima → gamma gamma psi, Tesis doctoral , SLAC-R-236 (1980), Apéndice D.
• T. Skwarnicki, Un estudio de las transiciones radiativas CASCADE entre las resonancias Upsilon-Prime y Upsilon, Tesis doctoral , DESY F31-86-02(1986), Apéndice E.