Índice de Miller

Los índices de Miller forman un sistema de notación en cristalografía para los planos reticulares en las redes cristalinas (de Bravais) .

En particular, una familia de planos reticulares de una red de Bravais (directa) dada está determinada por tres enteros h , k y l , los índices de Miller . Se escriben ( hkl ) y denotan la familia de planos reticulares (paralelos) (de la red de Bravais dada) ortogonales a ${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3},}$donde b _i son los vectores de traslación base o primitivos de la red recíproca para la red de Bravais dada. (Nótese que el plano no siempre es ortogonal a la combinación lineal de los vectores de la red directa u original).${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}}$porque los vectores de la red directa no necesitan ser mutuamente ortogonales.) Esto se basa en el hecho de que un vector de red recíproca g (el vector que indica un punto de la red recíproca desde el origen de la red recíproca) es el vector de onda de una onda plana en la serie de Fourier de una función espacial (por ejemplo, la función de densidad electrónica) cuya periodicidad sigue la red de Bravais original, por lo que los frentes de onda de la onda plana coinciden con los planos de red paralelos de la red original. Dado que un vector de dispersión medido en cristalografía de rayos X ,${\displaystyle \Delta \mathbf {k} =\mathbf {k} _{\mathrm {fuera} }-\mathbf {k} _{\mathrm {entrada} }}$con k _out como el vector de onda de rayos X saliente (dispersado desde una red cristalina) y k _in como el vector de onda de rayos X entrante (hacia la red cristalina), es igual a un vector de red recíproco g como lo establecen las ecuaciones de Laue , el pico de rayos X dispersos medido en cada vector de dispersión medido Δ k está marcado por índices de Miller .

Por convención, los enteros negativos se escriben con una barra, como en 3 para  −3. Los enteros se suelen escribir en su mínima expresión, es decir, su máximo común divisor debe ser  1. Los índices de Miller también se utilizan para designar reflexiones en cristalografía de rayos X. En este caso, los enteros no necesariamente están en su mínima expresión y pueden considerarse como planos espaciados de tal manera que las reflexiones de planos adyacentes tendrían una diferencia de fase de exactamente una longitud de onda (2π ) , independientemente de si hay átomos en todos estos planos o no.

También existen varias notaciones relacionadas: ^{[ 1 ]}

• La notación { hkl } denota el conjunto de todos los planos que son equivalentes a ( hkl ) por la simetría de la red.

En el contexto de las direcciones cristalográficas (no de los planos), las notaciones correspondientes son:

• [ hkl ] , con corchetes cuadrados en lugar de redondos, denota una dirección en la base de los vectores de la red directa en lugar de la red recíproca; y
• De manera similar, la notación ⟨ hkl ⟩ denota el conjunto de todas las direcciones que son equivalentes a [ hkl ] por simetría.

Nota, para interferencias de Laue-Bragg

• hkl carece de corchetes al designar una reflexión.

Los índices de Miller fueron introducidos en 1839 por el mineralogista británico William Hallowes Miller , aunque un sistema casi idéntico ( parámetros de Weiss ) ya había sido utilizado por el mineralogista alemán Christian Samuel Weiss desde 1817. ^{[ 2 ]} El método también fue conocido históricamente como el sistema milleriano, y los índices como millerianos, ^{[ 3 ]} aunque esto ahora es raro.

Los índices de Miller se definen con respecto a cualquier elección de celda unitaria y no solo con respecto a vectores base primitivos, como a veces se afirma.

Hay dos formas equivalentes de definir el significado de los índices de Miller: ^{[ 1 ]} mediante un punto en la red recíproca , o como las intersecciones inversas a lo largo de los vectores de la red. Ambas definiciones se dan a continuación. En cualquier caso, es necesario elegir los tres vectores de la red a ₁ , a ₂ , y a ₃ que definen la celda unitaria (nótese que la celda unitaria convencional puede ser mayor que la celda primitiva de la red de Bravais , como ilustran los ejemplos a continuación ). Dados estos, también se determinan los tres vectores primitivos de la red recíproca (denotados b ₁ , b ₂ , y b ₃ ).

Entonces, dados los tres índices de Miller h , k , l , ( hkl ) denota planos ortogonales al vector de la red recíproca: $${\displaystyle \mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$$ Es decir, ( hkl ) simplemente indica una normal a los planos en la base de los vectores de la red recíproca primitiva. Dado que las coordenadas son números enteros, esta normal es siempre un vector de la red recíproca. El requisito de términos mínimos implica que es el vector de la red recíproca más corto en la dirección dada.

De forma equivalente, ( hkl ) denota un plano que interseca los tres puntos a₁ _/ h , a₂ _/ k y a₃ / l , o algún múltiplo de estos. Es decir, los índices de Miller son proporcionales a los inversos de las intersecciones del plano, en la base de los vectores _de la red. Si uno de los índices es cero, significa que los planos no intersecan ese eje (la intersección se encuentra en el infinito).

Considerando solo los planos ( hkl ) que intersecan uno o más puntos de la red (los planos de la red ), la distancia perpendicular d entre planos de red adyacentes está relacionada con el vector de red recíproco (más corto) ortogonal a los planos mediante la fórmula: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle d={\frac {2\pi }{|\mathbf {g} _{hk\ell }|}}.}$$

La notación relacionada [ hkl ] denota la dirección : $${\displaystyle h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.}$$ Es decir, utiliza la base de red directa en lugar de la red recíproca. Nótese que [ hkl ] no suele ser normal a los planos ( hkl ) , excepto en una red cúbica como se describe a continuación.

Para el caso especial de cristales cúbicos simples, los vectores de la red son ortogonales y de igual longitud (generalmente denotados a ), al igual que los de la red recíproca. Por lo tanto, en este caso común, los índices de Miller ( hkl ) y [ hkl ] simplemente denotan normales/direcciones en coordenadas cartesianas .

Para cristales cúbicos con constante de red a , el espaciado d entre planos reticulares adyacentes ( hkl ) es (de arriba) $${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}.}$$

Debido a la simetría de los cristales cúbicos, es posible cambiar la posición y el signo de los números enteros y tener direcciones y planos equivalentes:

• Los índices entre corchetes angulares, como ⟨100⟩, denotan una familia de direcciones que son equivalentes debido a operaciones de simetría, como [100] , [010] , [001] o el negativo de cualquiera de esas direcciones.
• Los índices entre llaves o corchetes , como {100}, denotan una familia de normales planas que son equivalentes debido a operaciones de simetría, de forma muy similar a como los corchetes angulares denotan una familia de direcciones.

Para las redes cúbicas centradas en las caras y en el cuerpo , los vectores de la red primitiva no son ortogonales. Sin embargo, en estos casos, los índices de Miller se definen convencionalmente en relación con los vectores de la red de la supercelda cúbica y, por lo tanto, son simplemente las direcciones cartesianas.

Para sistemas reticulares hexagonales y romboédricos , se suele utilizar el sistema de Bravais-Miller , que emplea cuatro índices ( h k i l ) que cumplen la restricción $${\displaystyle h+k+i=0.}$$ Aquí , h , k y l son idénticos a los índices de Miller correspondientes, e i es un índice redundante.

Este esquema de cuatro índices para etiquetar planos en una red hexagonal hace evidentes las simetrías de permutación. Por ejemplo, la similitud entre (110) ≡ (11 2 0) y (1 2 0) ≡ (1 2 10) es más obvia cuando se muestra el índice redundante.

En la figura de la derecha, el plano (001) tiene una simetría triple: permanece inalterado por una rotación de 1/3 (2π / 3 rad, 120°). Las direcciones [100] , [010] y [ 1 1 0] son ​​realmente similares. Si S es la intersección del plano con el eje [ 1 1 0] , entonces $${\displaystyle i={\frac {1}{S}}.}$$

También existen métodos ad hoc (por ejemplo, en la literatura sobre microscopía electrónica de transmisión ) para indexar vectores de redes hexagonales (en lugar de vectores o planos de redes recíprocas) con cuatro índices. Sin embargo, estos métodos no funcionan añadiendo un índice redundante al conjunto habitual de tres índices.

Por ejemplo, el vector de la red recíproca ( hkl ) como se sugirió anteriormente se puede escribir en términos de vectores de la red recíproca como${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.}$Para cristales hexagonales, esto puede expresarse en términos de vectores base de red directa a ₁ , a ₂ y a ₃ como

$${\displaystyle h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a} _{1}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a} _{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a} _{3}.}$$

Por lo tanto, los índices de zona de la dirección perpendicular al plano ( hkl ) son, en forma de triplete adecuadamente normalizada, simplemente $${\displaystyle \left[2h+k,\ h+2k,\ {\tfrac {3}{2}}\ell \left({\tfrac {a}{c}}\right)^{2}\right].}$$ Sin embargo, cuando se utilizan cuatro índices para la zona normal al plano ( hkl ) , la literatura a menudo utiliza $${\displaystyle \left[h,\ k,\ -h-k,\ {\tfrac {3}{2}}\ell \left({\tfrac {a}{c}}\right)^{2}\right]}$$ en cambio. ^{[ 4 ]} Así, como puede ver, los índices de zona de cuatro índices entre corchetes o corchetes angulares a veces mezclan un único índice de red directa a la derecha con índices de red recíproca (normalmente entre paréntesis o llaves) a la izquierda.

Y tenga en cuenta que para las distancias interplanares hexagonales, toman la forma $${\displaystyle d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}}$$ Sin embargo, en general: $${\displaystyle d_{hkl}={\frac {2\pi }{\sqrt {h^{2}{\textbf {b}}_{1}^{2}+k^{2}{\textbf {b}}_{2}^{2}+l^{2}{\textbf {b}}_{3}^{2}+2hk{\textbf {b}}_{1}{\textbf {b}}_{2}\cos \gamma ^{*}+2kl{\textbf {b}}_{2}{\textbf {b}}_{3}\cos \alpha ^{*}+2lh{\textbf {b}}_{1}{\textbf {b}}_{3}\cos \beta ^{*}}}}}$$

Las direcciones cristalográficas son líneas que unen nodos ( átomos , iones o moléculas ) de un cristal. De manera similar, los planos cristalográficos son planos que unen nodos. Algunas direcciones y planos tienen una mayor densidad de nodos; estos planos densos influyen en el comportamiento del cristal.

• Propiedades ópticas : en la materia condensada, la luz "salta" de un átomo a otro con la dispersión de Rayleigh ; la velocidad de la luz varía así según las direcciones, ya sean los átomos cercanos o lejanos; esto da lugar a la birrefringencia.
• Adsorción y reactividad : la adsorción y las reacciones químicas pueden ocurrir en átomos o moléculas en superficies cristalinas, por lo que estos fenómenos son sensibles a la densidad de nodos;
• Tensión superficial : la condensación de un material significa que los átomos, iones o moléculas son más estables si están rodeados por otras especies similares; por lo tanto, la tensión superficial de una interfaz varía según la densidad en la superficie.
  • Los poros y los cristalitos tienden a tener límites de grano rectos que siguen planos densos.
  • escisión
• dislocaciones ( deformación plástica )
  • el núcleo de la dislocación tiende a extenderse en planos densos (la perturbación elástica se "diluye"); esto reduce la fricción ( fuerza de Peierls-Nabarro ), el deslizamiento ocurre con mayor frecuencia en planos densos;
  • la perturbación transportada por la dislocación ( vector de Burgers ) está a lo largo de una dirección densa: el desplazamiento de un nodo en una dirección densa es una distorsión menor;
  • La línea de dislocación tiende a seguir una dirección densa, la línea de dislocación suele ser una línea recta, un bucle de dislocación suele ser un polígono .

Por todas estas razones, es importante determinar los planos y, por lo tanto, contar con un sistema de notación.

Por definición, los índices de Miller siempre son enteros, y esta restricción tiene un significado físico. Para comprenderlo, supongamos que consideramos un plano ( abc ) donde los "índices" de Miller a , b y c (definidos como se indicó anteriormente) no son necesariamente enteros.

• Estructura cristalina
• Hábito de cristal
• Cristalografía geométrica antes de los rayos X
• línea kikuchi
• Red recíproca
• Eje de zona
• MTEX

• Diccionario en línea de cristalografía de la IUCr
• Descripción del índice de Miller con diagramas
• Tutorial en línea sobre planos reticulares e índices de Miller .
• MTEX  – Caja de herramientas gratuita de MATLAB para el análisis de texturas
• https://sourceforge.net/projects/orilib  – Una colección de rutinas para la manipulación de rotación/orientación, que incluye herramientas especiales para orientaciones cristalinas.