Ley del cuadrado-cubo

Cuando un objeto físico mantiene la misma densidad y se amplía, su volumen y masa aumentan con el cubo del factor multiplicador, mientras que su superficie aumenta únicamente con el cuadrado de dicho factor. Esto significa que, al acelerar la versión ampliada del objeto a la misma velocidad que el original, se ejercerá mayor presión sobre su superficie.

Consideremos un ejemplo sencillo de un cuerpo de masa${\displaystyle m}$, experimentando una aceleración${\displaystyle a}$, con una superficie${\displaystyle A}$, sobre la cual actúa la fuerza aceleradora. La fuerza debida a la aceleración es${\displaystyle F=ma}$y la presión es${\displaystyle P={\frac {F}{A}}={\frac {ma}{A}}}$.

Ahora, consideremos que el objeto se ve exagerado por un factor multiplicador.${\displaystyle x}$para que tenga una nueva masa${\displaystyle m'=x^{3}m}$y una nueva superficie${\displaystyle A'=x^{2}A}$.

La nueva fuerza debida a la aceleración es${\displaystyle F'=x^{3}ma}$y la presión resultante es: $${\displaystyle {\begin{aligned}P'&={\frac {F'}{A'}}\\&={\frac {x^{3}ma}{x^{2}A}}\\&=x\ {\frac {ma}{A}}\\&=x\ P\\\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, simplemente aumentar el tamaño de un objeto, manteniendo el mismo material de construcción (densidad) y la misma aceleración, incrementaría la presión en la misma proporción. Esto indicaría que el objeto tendría menor capacidad para resistir la tensión y sería más propenso a colapsar durante la aceleración.

Por eso los vehículos grandes obtienen malos resultados en las pruebas de choque y por eso existen límites teóricos en cuanto a la altura que pueden alcanzar los edificios. Del mismo modo, cuanto más grande es un objeto, menor es la resistencia que ofrecen los demás objetos a su movimiento, lo que provoca su desaceleración.

Ejemplos de ingeniería

• Máquina de vapor : James Watt , fabricante de instrumentos para la Universidad de Glasgow , recibió un modelo a escala de una máquina de vapor Newcomen para ponerla en funcionamiento. Watt reconoció que el problema estaba relacionado con la ley del cuadrado-cubo, ya que la relación superficie-volumen del cilindro del modelo era mayor que la de las máquinas comerciales, mucho más grandes, lo que provocaba una pérdida de calor excesiva. ^{[ 4 ]} Los experimentos con este modelo llevaron a las famosas mejoras que Watt introdujo en la máquina de vapor.

• Airbus A380 : las superficies de sustentación y control (alas, timones y elevadores) son relativamente grandes en comparación con el fuselaje del avión. Por ejemplo, si se toma un Boeing 737 y simplemente se amplían sus dimensiones al tamaño de un A380, las alas resultarían demasiado pequeñas para el peso de la aeronave, debido a la regla del cuadrado-cubo.
• Los motores cohete de ciclo expansor sufren la ley del cuadrado-cubo. Su tamaño, y por lo tanto su empuje, está limitado por la eficiencia de la transferencia de calor debido a que la superficie de la tobera aumenta más lentamente que el volumen de combustible que fluye a través de ella.
• Un clipper necesita relativamente más superficie vélica que un balandro para alcanzar la misma velocidad, lo que significa que existe una mayor relación superficie vélica-superficie vélica entre estas embarcaciones que la relación peso-peso.
• Los aerostatos generalmente se benefician de la ley del cuadrado-cubo. A medida que el radio (${\displaystyle r^{1}}$) de un globo aumenta, el costo en área de superficie aumenta cuadráticamente (${\displaystyle r^{2}}$) , pero la sustentación generada por el volumen aumenta cúbicamente (${\displaystyle r^{3}}$) .
• Ingeniería estructural : Los materiales que funcionan bien a pequeña escala pueden no funcionar bien a mayor escala. Por ejemplo, la tensión de compresión en la base de una columna pequeña e independiente aumenta proporcionalmente al tamaño de la columna. Por lo tanto, existe un tamaño, para un material y una densidad determinados, a partir del cual una columna colapsará sobre sí misma.

Si un animal se escalara isométricamente de forma considerable, su fuerza muscular relativa se vería gravemente reducida, ya que la sección transversal de sus músculos aumentaría al cuadrado del factor de escala, mientras que su masa aumentaría al cubo de dicho factor. Como consecuencia, las funciones cardiovasculares y respiratorias se verían seriamente afectadas.

En el caso de los animales voladores, la carga alar aumentaría si se les aplicara una escala isométrica, por lo que tendrían que volar más rápido para obtener la misma sustentación . La resistencia del aire por unidad de masa también es mayor en animales más pequeños (lo que reduce la velocidad terminal ), razón por la cual un animal pequeño como una hormiga no puede sufrir lesiones graves al impactar contra el suelo tras ser soltado desde cualquier altura.

Como afirma JBS Haldane , los animales grandes no se parecen a los pequeños: un elefante no puede confundirse con un ratón a mayor escala. Esto se debe a la escala alométrica : los huesos de un elefante son necesariamente proporcionalmente mucho más grandes que los de un ratón porque deben soportar un peso proporcionalmente mayor. Haldane ilustra esto en su ensayo fundamental de 1928, " Sobre tener el tamaño adecuado " , al referirse a los gigantes alegóricos : "...consideremos a un hombre de 18 metros de altura... el Papa Gigante y el Pagano Gigante en la obra ilustrada El progreso del peregrino: ...Estos monstruos...pesaban 1000 veces más que [un ser humano normal]. Cada pulgada cuadrada de un hueso gigante tenía que soportar 10 veces el peso que soporta una pulgada cuadrada de hueso humano. Como el fémur humano promedio se rompe bajo aproximadamente 10 veces el peso humano, el Papa y el Pagano se habrían roto los muslos cada vez que daban un paso". ^{[ 5 ]} En consecuencia, la mayoría de los animales muestran escala alométrica con el aumento de tamaño, tanto entre especies como dentro de una misma especie. Las criaturas gigantes que aparecen en las películas de monstruos (por ejemplo, Godzilla , King Kong y ¡Ellos!, y otros kaiju ) también son poco realistas, dado que su enorme tamaño las obligaría a colapsar. Robert Wadlow , el hombre más alto jamás documentado (2,72 m), necesitaba aparatos ortopédicos para caminar y sufría de entumecimiento en los pies. ^{[ 6 ]}

Sin embargo, la flotabilidad del agua contrarresta en cierta medida los efectos de la gravedad. Por lo tanto, los animales acuáticos pueden alcanzar tamaños muy grandes sin las mismas estructuras musculoesqueléticas que requerirían los animales terrestres de tamaño similar, y esta es la razón principal por la que los animales más grandes que jamás hayan existido en la Tierra son animales acuáticos .

La tasa metabólica de los animales se escala con un principio matemático llamado escalamiento de cuarto de potencia ^{[ 7 ]} según la teoría metabólica de la ecología .

La transferencia de masa, como la difusión a objetos pequeños como las células vivas, es más rápida que la difusión a objetos más grandes como animales enteros. Por lo tanto, en los procesos químicos que tienen lugar en una superficie —en lugar de en el interior del material—, el material dividido en partículas más finas es más activo. Por ejemplo, la actividad de un catalizador heterogéneo es mayor cuando está dividido en partículas más finas.

La producción de calor en un proceso químico es proporcional al cubo de la dimensión lineal (altura, anchura) del recipiente, pero la superficie del recipiente solo es proporcional al cuadrado de dicha dimensión. Por consiguiente, los recipientes de mayor tamaño son mucho más difíciles de enfriar. Asimismo, simular a pequeña escala tuberías de gran diámetro para la transferencia de fluidos calientes resulta complejo, dado que el calor se transfiere más rápidamente a través de tuberías más pequeñas. No tener esto en cuenta en el diseño del proceso puede provocar un descontrol térmico catastrófico .