Duplicar el cubo

Duplicar el cubo , también conocido como el problema de Delos , es un antiguo ^{[ a ] [ 1 ] : 9} problema geométrico . Dado el borde de un cubo , el problema requiere la construcción del borde de un segundo cubo cuyo volumen sea el doble del primero. Al igual que con los problemas relacionados de cuadrar el círculo y trisecar el ángulo , se sabe ahora que duplicar el cubo es imposible de construir usando solo un compás y una regla , pero incluso en la antigüedad se conocían soluciones que empleaban otros métodos.

Según Eutocio, Arquitas fue el primero en resolver el problema de duplicar el cubo, con una ingeniosa construcción geométrica. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} La inexistencia de una solución con regla y compás fue finalmente demostrada por Pierre Wantzel en 1837.

En términos algebraicos, duplicar un cubo unitario requiere la construcción de un segmento de línea de longitud x , donde x³ = 2 ; en ^otras palabras, x =${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, la raíz cúbica de dos . Esto se debe a que un cubo de lado 1 tiene un volumen de 1 ³ = 1 , y un cubo del doble de ese volumen (un volumen de 2) tiene un lado de longitud igual a la raíz cúbica de 2. Por lo tanto, la imposibilidad de duplicar el cubo es equivalente a la afirmación de que${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no es un número construible . Esto es consecuencia del hecho de que las coordenadas de un nuevo punto construido con un compás y una regla son raíces de polinomios sobre el campo generado por las coordenadas de puntos anteriores, de grado no mayor que un cuadrático . Esto implica que el grado de la extensión del campo generada por un punto construible debe ser una potencia de 2. La extensión del campo generada por${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, sin embargo, es de grado 3.

Comenzamos con el segmento de línea unitario definido por los puntos (0,0) y (1,0) en el plano . Se nos pide construir un segmento de línea definido por dos puntos separados por una distancia de${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$. Se demuestra fácilmente que las construcciones con compás y regla permitirían que dicho segmento de línea se mueva libremente para tocar el origen , paralelo al segmento de línea unitario; por lo tanto, equivalentemente podemos considerar la tarea de construir un segmento de línea desde (0,0) hasta (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, 0), lo que implica construir el punto (${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$, 0).

Respectivamente, las herramientas de un compás y una regla nos permiten crear círculos centrados en un punto previamente definido y que pasan por otro, y crear líneas que pasan por dos puntos previamente definidos. Cualquier punto recién definido surge como resultado de la intersección de dos de dichos círculos, como la intersección de un círculo y una línea, o como la intersección de dos líneas. Un ejercicio de geometría analítica elemental muestra que en los tres casos, tanto las coordenadas x como las coordenadas y del punto recién definido satisfacen un polinomio de grado no superior a un cuadrático, con coeficientes que son sumas, restas, multiplicaciones y divisiones que involucran las coordenadas de los puntos previamente definidos (y números racionales). Dicho en términos más abstractos, las nuevas coordenadas x e y tienen polinomios mínimos de grado como máximo 2 sobre el subcampo de${\displaystyle \mathbb {R} }$generado por las coordenadas anteriores. Por lo tanto, el grado de extensión del campo correspondiente a cada nueva coordenada es 2 o 1.

Así, dada una coordenada de cualquier punto construido, podemos proceder inductivamente hacia atrás a través de las coordenadas x e y de los puntos en el orden en que fueron definidos hasta llegar al par original de puntos (0,0) y (1,0). Como toda extensión de cuerpo tiene grado 2 o 1, y como la extensión de cuerpo sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$de las coordenadas del par de puntos original es claramente de grado 1, se deduce de la regla de la torre que el grado de la extensión del campo sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$de cualquier coordenada de un punto construido es una potencia de 2 .

Ahora bien, se ve fácilmente que p ( x ) = x ³ − 2 = 0 es irreducible sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$– cualquier factorización implicaría un factor lineal ( x − k ) para algún${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, y por lo tanto k debe ser una raíz de p ( x ) ; pero también k debe dividir a 2 (por el teorema de la raíz racional ); es decir, k = 1, 2, −1 o −2 , y ninguno de estos son raíces de p ( x ) . Por el lema de Gauss , p ( x ) también es irreducible sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y, por lo tanto, es un polinomio mínimo sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$para${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$La extensión del campo${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} }$es, por lo tanto, de grado 3. Pero esto no es una potencia de 2, así que por lo anterior:

• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no es la coordenada de un punto construible, por lo tanto
• un segmento de línea de${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$no se puede construir con regla y compás, y
• El cubo no se puede duplicar utilizando únicamente una regla y un compás.

El problema debe su nombre a una historia sobre los ciudadanos de Delos , quienes consultaron al oráculo de Delfos para saber cómo vencer una plaga enviada por Apolo . ^{[ 5 ] [ 1 ] : 9} Según Plutarco , ^{[ 6 ]} sin embargo, los ciudadanos de Delos consultaron al oráculo de Delfos para encontrar una solución a sus problemas políticos internos de la época, que habían intensificado las relaciones entre los ciudadanos. El oráculo respondió que debían duplicar el tamaño del altar a Apolo, que era un cubo regular. La respuesta les pareció extraña a los delianos, y consultaron a Platón , quien pudo interpretar el oráculo como el problema matemático de duplicar el volumen de un cubo dado, explicando así el oráculo como el consejo de Apolo a los ciudadanos de Delos para que se dedicaran al estudio de la geometría y las matemáticas con el fin de calmar sus pasiones. ^{[ 7 ]}

Según Plutarco , Platón le dio el problema a Eudoxo , Arquitas y Menaechmo , quienes lo resolvieron usando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no haberlo resuelto usando geometría pura . ^{[ 8 ]} Esto podría explicar por qué el autor del Sísifo pseudoplatónico (388e) se refiere al problema como aún sin resolver en la década de 350 a. C. ^{[ 9 ]} Sin embargo, otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón ) dice que los tres encontraron soluciones, pero que eran demasiado abstractas para tener valor práctico. ^{[ 10 ]}

Un avance significativo en la búsqueda de una solución al problema fue el descubrimiento de Hipócrates de Quíos de que es equivalente a encontrar dos medias geométricas proporcionales entre un segmento de línea y otro con el doble de longitud. ^{[ 11 ]} En notación moderna, esto significa que dados segmentos de longitudes a y 2a , la duplicación del cubo es equivalente a encontrar segmentos de longitudes r y s tales que

${\displaystyle {\frac {a}{r}}={\frac {r}{s}}={\frac {s}{2a}}.}$

A su vez, esto significa que

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}.}$

Pero Pierre Wantzel demostró en 1837 que la raíz cúbica de 2 no es construible ; es decir, no se puede construir con regla y compás . ^{[ 12 ]}

La solución original de Menaechmus implica la intersección de dos curvas cónicas . Otros métodos más complicados para duplicar el cubo incluyen la neusis , la cissoide de Diocles , la concoide de Nicomedes o la línea de Filón . Pandrosión , una matemática probablemente mujer de la antigua Grecia, encontró una solución aproximada numéricamente precisa usando planos en tres dimensiones, pero fue duramente criticada por Pappus de Alejandría por no proporcionar una demostración matemática adecuada . ^{[ 13 ]} Arquitas resolvió el problema en el siglo IV a. C. usando una construcción geométrica en tres dimensiones, determinando un punto cierto como la intersección de tres superficies de revolución.

La teoría de Descartes sobre la solución geométrica de ecuaciones utiliza una parábola para introducir ecuaciones cúbicas; de esta forma, es posible plantear una ecuación cuya solución es la raíz cúbica de dos. Cabe destacar que la parábola en sí misma solo se puede construir mediante métodos tridimensionales.

Abundan las afirmaciones falsas sobre cómo duplicar el cubo con un compás y una regla en la literatura matemática pseudocientífica ( pseudomatemáticas ).

El origami también se puede utilizar para construir la raíz cúbica de dos doblando papel .

Usando una regla marcada

Existe una construcción de neusis simple que utiliza una regla marcada para una longitud que es la raíz cúbica de 2 veces otra longitud. ^{[ 14 ]}

1. Marca una regla con la longitud indicada; esta será finalmente GH.
2. Construye un triángulo equilátero ABC con la longitud dada para cada lado.
3. Extiende AB una cantidad igual nuevamente hasta D.
4. Extiende la línea BC formando la línea CE.
5. Extiende la línea DC formando la línea CF.
6. Coloca la regla marcada de manera que pase por A y un extremo, G, de la longitud marcada caiga sobre el rayo CF y el otro extremo de la longitud marcada, H, caiga sobre el rayo CE. Por lo tanto, GH es la longitud dada.

Entonces AG es la longitud dada por${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$.

En teoría musical , un análogo natural de la duplicación es la octava (un intervalo musical causado por duplicar la frecuencia de un tono), y un análogo natural de un cubo es dividir la octava en tres partes, cada una del mismo intervalo . En este sentido, el problema de duplicar el cubo se resuelve con la tercera mayor en temperamento igual . Este es un intervalo musical que es exactamente un tercio de una octava. Multiplica la frecuencia de un tono por${\displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={\sqrt[{3}]{2}}}$, la longitud del lado del cubo de Delos. ^{[ 15 ]}

• Frédéric Beatrix, Peter Katzlinger: Una solución bastante precisa al problema de Delos . En: Parabola Volumen 59 (2023) Número 1 , revista en línea (ISSN 1446-9723) publicada por la Escuela de Matemáticas y Estadística de la Universidad de Nueva Gales del Sur.
• Duplicando el cubo, construcción por proximidad como animación (lado = 1,259921049894873) — Wikimedia Commons
• "Duplicación del cubo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Duplicar el cubo . JJ O'Connor y EF Robertson en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor.
• Duplicar un cubo : la solución de Arquitas . Fragmento de Historia de las matemáticas griegas, de Sir Thomas Heath .
• Problema de Delian resuelto. ¿O no? en cut-the-knot .
• Vídeo de Mathologer: "2000 años sin resolver: ¿Por qué es imposible duplicar cubos y cuadrar círculos?"