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Empaquetamiento compacto de esferas iguales

Ilustración del empaquetamiento compacto de esferas iguales en redes HCP (izquierda) y FCC (derecha). En geometría , el empaquetamiento compacto de esferas iguales es una dispos...

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Ilustración del empaquetamiento compacto de esferas iguales en redes HCP (izquierda) y FCC (derecha).

En geometría , el empaquetamiento compacto de esferas iguales es una disposición densa de esferas congruentes en una disposición regular infinita (o red ). Carl Friedrich Gauss demostró que la mayor densidad promedio, es decir, la mayor fracción de espacio ocupada por esferas, que se puede lograr mediante un empaquetamiento reticular esπ32≈0,74048{\textstyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048}La misma densidad de empaquetamiento también puede lograrse mediante apilamientos alternos de los mismos planos compactos de esferas, incluyendo estructuras aperiódicas en la dirección de apilamiento. La conjetura de Kepler afirma que esta es la mayor densidad que puede lograrse con cualquier disposición de esferas, ya sea regular o irregular. Esta conjetura fue demostrada por Thomas Hales . [ 1 ] [ 2 ] Hasta ahora, la mayor densidad solo se conoce para 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones. [ 3 ]

Muchas estructuras cristalinas se basan en un empaquetamiento compacto de un solo tipo de átomo, o en un empaquetamiento compacto de iones grandes con iones más pequeños que llenan los espacios entre ellos. Las configuraciones cúbica y hexagonal tienen energías muy similares, por lo que puede resultar difícil predecir cuál será la preferida a partir de principios fundamentales.

Redes FCC y HCP

Disposición FCC vista en la dirección del eje cuádruple

Hay dos redes regulares simples que alcanzan esta densidad promedio más alta. Se denominan cúbica centrada en las caras ( FCC ) (también llamada cúbica compacta ( CCP )) y hexagonal compacta ( HCP ), según su simetría . Ambas se basan en láminas de esferas dispuestas en los vértices de un teselado triangular; se diferencian en cómo se apilan las láminas unas sobre otras. La red FCC también es conocida por los matemáticos como la generada por el sistema de raíces A3 . [ 4 ]

El problema de la bala de cañón

Balas de cañón apiladas sobre una base triangular (frontal) y rectangular (posterior) , ambas con estructura reticular cúbica centrada en las caras (FCC) .

El problema del empaquetamiento compacto de esferas fue analizado matemáticamente por primera vez por Thomas Harriot alrededor de 1587, después de que Sir Walter Raleigh le planteara una pregunta sobre cómo apilar balas de cañón en barcos durante su expedición a América. [ 5 ] Las balas de cañón solían apilarse en un marco de madera rectangular o triangular, formando una pirámide de tres o cuatro caras. Ambas disposiciones producen una red cúbica centrada en las caras, con diferente orientación respecto al suelo. El empaquetamiento compacto hexagonal daría como resultado una pirámide de seis caras con base hexagonal.

Colecciones de bolas de nieve dispuestas en forma de pirámide. La pirámide frontal es hexagonal compacta y la trasera es cúbica centrada en las caras.

El problema de las balas de cañón plantea qué disposiciones planas y cuadradas de balas de cañón pueden apilarse para formar una pirámide cuadrada. Édouard Lucas formuló el problema como la ecuación diofántica.

∑norte=1nortenorte2=METRO2{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}

o, equivalentemente,

16norte(norte+1)(2norte+1)=2norte3+3norte2+norte6=METRO2{\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)={\frac {2N^{3}+3N^{2}+N}{6}}=M^{2}}

y conjeturó que las únicas soluciones sonnorte=1,METRO=1,{\displaystyle N=1,M=1,}ynorte=24,METRO=70{\displaystyle N=24,M=70}. Aquínorte{\displaystyle N}es el número de capas en la disposición de apilamiento piramidal yMETRO{\displaystyle M}es el número de balas de cañón a lo largo de un borde en la disposición cuadrada plana.

Posicionamiento y espaciado

En las configuraciones FCC y HCP, cada esfera tiene doce vecinos. Por cada esfera, hay un hueco rodeado por seis esferas ( octaédrico ) y dos huecos más pequeños rodeados por cuatro esferas (tetraédrico). Las distancias a los centros de estos huecos desde los centros de las esferas circundantes son √3 / 2 para el tetraedro y √2 para el octaédrico, cuando el radio de la esfera es 1.

En relación con una capa de referencia con posición A, son posibles dos posiciones adicionales, B y C. Cualquier secuencia de A, B y C, sin repetición inmediata, es posible y proporciona un empaquetamiento igualmente denso para esferas de un radio determinado.

Los más habituales son

  • FCC = ABC ABC ABC... (cada tercera capa es igual)
  • HCP = AB AB AB AB... (cada dos capas son iguales).

Existe un número infinito incontable de disposiciones desordenadas de planos (por ejemplo, ABCACBABABAC...) que a veces se denominan colectivamente "empaquetamientos de Barlow", en honor al cristalógrafo William Barlow . [ 6 ]

En el empaquetamiento compacto, el espaciado entre los centros de las esferas en el plano xy es una teselación simple tipo panal con un paso (distancia entre los centros de las esferas) de un diámetro de esfera. La distancia entre los centros de las esferas, proyectada sobre el eje z (vertical), es:

pasoZ=6⋅d3≈0,81649658d,{\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,}

donde d es el diámetro de una esfera; esto se deduce de la disposición tetraédrica de las esferas compactas.

El número de coordinación de HCP y FCC es 12 y sus factores de empaquetamiento atómico (APF) son iguales al número mencionado anteriormente, 0,74.Empaquetamiento cúbico más denso (CCP) y empaquetamiento hexagonal más denso (HCP)

Generación de retículos

Comparación entre HCP y FCC
Figura  1. La red HCP (izquierda) y la red FCC (derecha). El contorno de cada red de Bravais se muestra en rojo. Las letras indican qué capas son iguales. Hay dos capas "A" en la matriz HCP, donde todas las esferas están en la misma posición. Las tres capas en la estructura FCC son diferentes. Nótese que la estructura FCC se puede convertir en una estructura HCP mediante la traslación de la esfera superior, como se muestra en el contorno punteado.
La figura  2 muestra a Thomas Harriot reflexionando por primera vez, alrededor de 1585, sobre las matemáticas de la disposición o pila de balas de cañón, que presenta una red FCC. Obsérvese cómo las dos balas que miran al observador en el segundo nivel desde arriba entran en contacto con la misma bala en el nivel inferior. Esto no ocurre en una red HCP (la organización de la izquierda en la figura  1 y en la figura  4 ).
Figura 3 Aquí se muestra una forma modificada de la pila de balas de cañón en la que se han añadido tres esferas adicionales para mostrar las ocho esferas en los tres niveles superiores de la red FCC diagramada en la Figura  1 .
Figura 4. Aquí se muestran las once esferas de la red HCP ilustrada en la Figura  1. La diferencia entre esta pila y los tres niveles superiores de la pila de balas de cañón radica en el nivel inferior, que está girado la mitad del diámetro primitivo de una esfera (60°). Nótese que las dos esferas que miran al observador en el segundo nivel desde arriba no entran en contacto con la misma esfera en el nivel inferior.
Figura 5 Esta vista animada ayuda a ilustrar la forma piramidal de tres lados ( tetraédrica ) de la disposición de la bala de cañón.

Al formar cualquier red de empaquetamiento de esferas, lo primero que se observa es que cuando dos esferas se tocan, se puede trazar una línea recta desde el centro de una esfera hasta el centro de la otra, pasando por el punto de contacto. La distancia entre los centros a lo largo del camino más corto, es decir, esa línea recta, será r₁ + r₂ , donde r₁ es el radio de la primera esfera y r₂ es el radio de la segunda. En un empaquetamiento compacto, todas las esferas comparten un radio común, r₁ . Por lo tanto, dos centros tendrían simplemente una distancia de 2r₂ .  

Retículo HCP simple

Animación de la generación de una red de empaquetamiento compacto. Nota: Si una tercera capa (no mostrada) se coloca directamente sobre la primera, se forma una red HCP. Si la tercera capa se coloca sobre los huecos de la primera, se crea una red FCC.

Para formar un empaquetamiento hexagonal compacto ABAB-... de esferas, los puntos de coordenadas de la red serán los centros de las esferas. Supongamos que el objetivo es llenar una caja con esferas según el empaquetamiento hexagonal compacto (HCP). La caja se colocaría en el espacio de coordenadas x - y - z .

Primero forma una fila de esferas. Los centros estarán todos sobre una línea recta. Su coordenada x variará en 2r ya que la distancia entre cada centro de las esferas que se tocan es 2r . La coordenada y y la coordenada z serán las mismas. Para simplificar, digamos que las bolas son la primera fila y que sus coordenadas y y z son simplemente r , de modo que sus superficies descansan sobre los planos cero. Las coordenadas de los centros de la primera fila se verán como (2r , r , r ) , (4r , r , r ) , (6r , r , r ) , (8r , r , r ) , ... .          

Ahora, forme la siguiente fila de esferas. Nuevamente, los centros estarán todos en una línea recta con diferencias de coordenadas x de 2r , pero habrá un desplazamiento de distancia r en la dirección x de modo que el centro de cada esfera en esta fila se alinee con la coordenada x donde dos esferas se tocan en la primera fila. Esto permite que las esferas de la nueva fila se deslicen más cerca de la primera fila hasta que todas las esferas de la nueva fila toquen dos esferas de la primera fila. Dado que las nuevas esferas tocan dos esferas, sus centros forman un triángulo equilátero con los centros de esas dos vecinas. Las longitudes de los lados son todas 2r , por lo que la diferencia de altura o coordenada y entre las filas es √3r . Por lo tanto , esta fila tendrá las coordenadas para el n -ésimo centro, comenzando desde 0, de ( 2n + 1 ) r , r + √3r , r :

( r , r + √ 3 r , r ), (3 r , r + √ 3 r , r ), (5 r , r + √ 3 r , r ), ...            

La primera esfera de esta fila solo toca una esfera de la fila original, pero su ubicación sigue la misma pauta que la del resto de la fila.

La siguiente fila sigue este patrón de desplazamiento de la coordenada x en r y la coordenada y en √3 . Añada filas hasta alcanzar los límites máximos x e y de la caja.

En un patrón de apilamiento ABAB-..., los planos de esferas impares tendrán exactamente las mismas coordenadas, salvo una diferencia de paso en la coordenada z , y los planos de esferas pares compartirán las mismas coordenadas x e y . Ambos tipos de planos se forman utilizando el patrón mencionado anteriormente, pero la posición inicial de la primera esfera de la primera fila será diferente.

Utilizando el plano descrito anteriormente como plano n.° 1, el plano A, coloque una esfera sobre este plano de manera que toque tres esferas en el plano A. Las tres esferas ya se tocan entre sí, formando un triángulo equilátero, y como todas tocan la nueva esfera, los cuatro centros forman un tetraedro regular . [ 7 ] Todos los lados son iguales a 2 r porque todos los lados están formados por dos esferas que se tocan. La altura de la cual, o la diferencia de la coordenada z entre los dos "planos", es ⁠ √ 6 r 2 / 3 ⁠ . Esto, combinado con los desplazamientos en las coordenadas x e y , da los centros de la primera fila en el plano B:

( r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (3 r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (5 r , r + 1 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), ...                  

Las coordenadas de la segunda fila siguen el patrón descrito anteriormente y son:

(2 r , r + 4 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (4 r , r + 4 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), (6 r , r + 4 ⁄ √ 3 r , r + 2 √ 2/3 r ), ...                  

La diferencia con el siguiente plano, el plano A, es nuevamente 2 √ 2/3 r en la dirección z y un desplazamiento en x e y para que coincidan con las coordenadas x e y del primer plano A. [ 8 ]

En general, las coordenadas de los centros de las esferas se pueden escribir como:

[2i+((j + k)mod2)3j+kmod23223k]r{\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+{\bigl (}(j\ +\ k){\bmod {2}}{\bigr )}\\{\sqrt {3}}j+{\frac {k{\bmod {2}}}{\sqrt {3}}}\\2{\sqrt {\frac {2}{3}}}k\\\end{bmatrix}}r}

donde i , j y k son índices que comienzan en 0 para las coordenadas x , y y z .

Índices de Miller

Índice de Miller-Bravais para la red HCP

Las características cristalográficas de los sistemas HCP, como los vectores y las familias de planos atómicos, se pueden describir utilizando una notación de índice de Miller de cuatro valores ( hkil ) en la que el tercer índice i denota un componente degenerado pero conveniente que es igual a − h  − k . Las direcciones de los índices h , i y k están separadas por 120°, y por lo tanto no son ortogonales; el componente l es mutuamente perpendicular a las direcciones de los índices h , i y k . 

Rellenar el espacio restante

Los empaquetamientos FCC y HCP son los empaquetamientos de esferas iguales más densos conocidos, con la mayor simetría (unidades repetitivas más pequeñas). Se conocen empaquetamientos de esferas más densos , pero implican un empaquetamiento de esferas desiguales . Una densidad de empaquetamiento de 1, que llena el espacio por completo, requiere formas no esféricas, como los panales de abejas .

Sustituir cada punto de contacto entre dos esferas por una arista que conecte los centros de las esferas en contacto produce tetraedros y octaedros de igual longitud de arista. La disposición FCC produce el panal tetraédrico-octaédrico . La disposición HCP produce el panal tetraédrico-octaédrico girado . Si, en cambio, cada esfera se complementa con los puntos del espacio que están más cerca de ella que de cualquier otra esfera, se obtienen los duales de estos panales: el panal dodecaédrico rómbico para FCC y el panal dodecaédrico trapezoidal-rómbico para HCP.

En agua jabonosa, aparecen burbujas esféricas con una disposición FCC o HCP cuando el agua de los espacios entre las burbujas se drena. Este patrón también se asemeja al panal dodecaédrico rómbico o al panal dodecaédrico trapezoidal . Sin embargo, estas espumas FCC o HCP con un contenido líquido muy pequeño son inestables, ya que no cumplen las leyes de Plateau . La espuma de Kelvin y la espuma de Weaire-Phelan son más estables, pues presentan una menor energía interfacial en el límite de un contenido líquido muy pequeño. [ 9 ]

Existen dos tipos de huecos intersticiales que dejan las conformaciones hcp y fcc: tetraédricos y octaédricos. Cuatro esferas rodean un hueco tetraédrico, tres de ellas en una capa y una en la siguiente. Seis esferas rodean un hueco octaédrico, tres de ellas en una capa y tres en la siguiente. Por ejemplo, las estructuras de muchos compuestos químicos simples suelen describirse en términos de átomos pequeños que ocupan huecos tetraédricos u octaédricos en sistemas compactos formados por átomos más grandes.

Las estructuras en capas se forman alternando planos octaédricos vacíos y llenos. Dos capas octaédricas generalmente permiten cuatro disposiciones estructurales que pueden llenarse con sistemas de empaquetamiento hcp o fcc. Al llenar huecos tetraédricos, un llenado completo da lugar a una disposición de campo fcc. En las celdas unitarias, el llenado de huecos a veces puede dar lugar a disposiciones poliédricas con una mezcla de capas hcp y fcc. [ 10 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Hales, TC (1998). "Una visión general de la conjetura de Kepler". arXiv : math/9811071v2 .
  2. ↑ Szpiro, George (2003). "Matemáticas: ¿La demostración es sólida?" . Nature . 424 (6944): 12– 13. Bibcode : 2003Natur.424...12S . doi : 10.1038/424012a . PMID 12840727 . 
  3. ↑ Cohn, H.; Kumar, A.; Miller, SD; Radchenko, D.; Viazovska, M. (2017). "El problema del empaquetamiento de esferas en dimensión 24". Annals of Mathematics . 185 (3): 1017– 1033. arXiv : 1603.06518 . doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8 . S2CID 119281758 . 
  4. ↑ Conway, John Horton ; Sloane, Neil James Alexander ; Bannai, Eiichi (1999). Empaquetamientos de esferas, retículos y grupos . Springer. Sección 6.3. ISBN 9780387985855.
  5. ↑ Darling, David. "El problema de la bala de cañón" . La enciclopedia científica de Internet .
  6. ↑ Barlow, William (1883). "Naturaleza probable de la simetría interna de los cristales" . Nature . 29 (738): 186– 188. Bibcode : 1883Natur..29..186B . doi : 10.1038/029186a0 .
  7. ↑ "sobre el empaquetamiento de esferas" . Grunch.net . Consultado el 12 de junio de 2014 .
  8. ↑ Weisstein, Eric W. "Empaquetamiento hexagonal compacto" . MathWorld .
  9. ^ Cantat, Isabelle ; Cohen-Addad, Sylvie; Elías, Florencia; Graner, François; Höhler, Reinhard; Hombre plano, Ruth; Pitois, Olivier (2013). Espumas, Estructura y Dinámica . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780199662890.
  10. ↑ Woodward, Patrick M.; Karen, Pavel; Evans, John SO; Vogt, Thomas (2021). Química de materiales de estado sólido . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521873253.
  • Krishna, P.; Pandey, D. (1981). Estructuras compactas (PDF) . Unión Internacional de Cristalografía, Comisión de Folletos de Enseñanza Cristalográfica. Vol.  5. Cardiff, Gales: University College Cardiff Press. ISBN 0-906449-08-1.
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