Función cúbica

En matemáticas , una función cúbica es una función de la forma$${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$$con​${\displaystyle a\neq 0}$⁠ , es decir, una función polinómica de tercer grado. En muchos textos, se supone que los coeficientes a , b , c y d son números reales , y la función se considera una función real que mapea números reales a números reales o una función compleja que mapea números complejos a números complejos. En otros casos, los coeficientes pueden ser números complejos, y la función es una función compleja cuyo codominio es el conjunto de los números complejos , incluso cuando el dominio se restringe a los números reales.

Si se establece f ( x ) = 0, se obtiene una ecuación cúbica de la forma

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$

cuyas soluciones se denominan raíces de la función. La derivada de una función cúbica es una función cuadrática .

Una función cúbica con coeficientes reales tiene una o tres raíces reales ( que pueden no ser distintas ); ^{[ 1 ]} todos los polinomios de grado impar con coeficientes reales tienen al menos una raíz real.

La gráfica de una función cúbica siempre tiene un único punto de inflexión . Puede tener dos puntos críticos : un mínimo local y un máximo local. En caso contrario, una función cúbica es monótona . La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto a su punto de inflexión; es decir, es invariante ante una rotación de media vuelta alrededor de este punto. Salvo una transformación afín , solo existen tres gráficas posibles para las funciones cúbicas.

Las funciones cúbicas son fundamentales para la interpolación cúbica .

Los puntos críticos de una función cúbica son sus puntos estacionarios , es decir, los puntos donde la pendiente de la función es cero. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, los puntos críticos de una función cúbica f definida por

f ( x ) = ax ³ + bx ² + cx + d ,

ocurren en valores de x tales que la derivada

${\displaystyle 3ax^{2}+2bx+c=0}$

de la función cúbica es cero.

Las soluciones de esta ecuación son los valores de x de los puntos críticos y se obtienen, utilizando la fórmula cuadrática , mediante

${\displaystyle x_{\text{crítico}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.}$

El signo de la expresión Δ ₀ = b ² − 3 ac dentro de la raíz cuadrada determina el número de puntos críticos. Si es positivo, entonces hay dos puntos críticos: uno es un máximo local y el otro un mínimo local. Si b ² − 3 ac = 0 , entonces solo hay un punto crítico, que es un punto de inflexión . Si b ² − 3 ac < 0 , entonces no hay puntos críticos (reales). En los dos últimos casos, es decir, si b ² − 3 ac es no positivo, la función cúbica es estrictamente monótona . Véase la figura para un ejemplo del caso Δ ₀ > 0 .

El punto de inflexión de una función es donde esa función cambia de concavidad . ^{[ 3 ]} Un punto de inflexión ocurre cuando la segunda derivada${\displaystyle f''(x)=6ax+2b,}$es cero, y la tercera derivada es distinta de cero. Por lo tanto, una función cúbica siempre tiene un único punto de inflexión, que ocurre en

${\displaystyle x_{\text{inflexión}}=-{\frac {b}{3a}}.}$

La gráfica de una función cúbica es una curva cúbica , aunque muchas curvas cúbicas no son gráficas de funciones.

Aunque las funciones cúbicas dependen de cuatro parámetros, su gráfica solo puede tener muy pocas formas. De hecho, la gráfica de una función cúbica siempre es similar a la gráfica de una función de la forma

${\displaystyle y=x^{3}+px.}$

Esta similitud se puede construir como la composición de traslaciones paralelas a los ejes de coordenadas, una homotecia ( escalamiento uniforme ) y, posiblemente, una reflexión ( imagen especular ) con respecto al eje y . Un escalamiento no uniforme adicional puede transformar la gráfica en la gráfica de una de las tres funciones cúbicas.

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}}$

Esto significa que solo hay tres gráficas de funciones cúbicas salvo una transformación afín .

Las transformaciones geométricas anteriores se pueden construir de la siguiente manera, partiendo de una función cúbica general. ${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.}$

En primer lugar, si a < 0 , el cambio de variable x → − x permite suponer que a > 0. Después de este cambio de variable, la nueva gráfica es la imagen especular de la anterior, con respecto al eje y .

Entonces, el cambio de variable x = x ₁ − ⁠ b / 3 a ⁠ proporciona una función de la forma

${\displaystyle y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.}$

Esto corresponde a una traslación paralela al eje x .

El cambio de variable y = y ₁ + q corresponde a una traslación con respecto al eje y , y da una función de la forma

${\displaystyle y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.}$

El cambio de variable${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}}$corresponde a una escala uniforme y da, después de la multiplicación por${\displaystyle {\sqrt {a}},}$una función de la forma

${\displaystyle y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},}$

que es la forma más simple que se puede obtener mediante una semejanza.

Entonces, si p ≠ 0 , el escalamiento no uniforme${\displaystyle \textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}}$da, después de la división por${\displaystyle \textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},}$

${\displaystyle y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),}$

dónde${\displaystyle \operatorname {sgn}(p)}$tiene el valor 1 o −1, dependiendo del signo de p . Si se define${\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0,}$La última forma de la función se aplica a todos los casos (con${\displaystyle x_{2}=x_{3}}$y${\displaystyle y_{2}=y_{3}}$).

Para una función cúbica de la forma${\displaystyle y=x^{3}+px,}$El punto de inflexión es, por lo tanto, el origen. Como tal función es una función impar , su gráfica es simétrica con respecto al punto de inflexión e invariante bajo una rotación de media vuelta alrededor del punto de inflexión. Como estas propiedades son invariantes por semejanza , lo siguiente es cierto para todas las funciones cúbicas.

La gráfica de una función cúbica es simétrica con respecto a su punto de inflexión y permanece invariable bajo una rotación de media vuelta alrededor de dicho punto.

Las líneas tangentes a la gráfica de una función cúbica en tres puntos colineales interceptan nuevamente la cúbica en puntos colineales. ^{[ 4 ]} Esto se puede ver de la siguiente manera.

Como esta propiedad es invariante bajo un movimiento rígido , se puede suponer que la función tiene la forma

${\displaystyle f(x)=x^{3}+px.}$

Si α es un número real, entonces la tangente a la gráfica de f en el punto ( α , f ( α )) es la recta

{( x , f ( α ) + ( x − α ) f ′( α ))  : x ∈ R } .

Entonces, el punto de intersección entre esta línea y la gráfica de f se puede obtener resolviendo la ecuación f ( x ) = f ( α ) + ( x − α ) f ′( α ) , es decir

${\displaystyle x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),}$

que puede ser reescrito

${\displaystyle x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,}$

y factorizado como

${\displaystyle (x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.}$

Entonces, la tangente intercepta la cúbica en

${\displaystyle (-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).}$

Entonces, la función que mapea un punto ( x , y ) de la gráfica al otro punto donde la tangente intercepta la gráfica es

${\displaystyle (x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).}$

Se trata de una transformación afín que convierte puntos colineales en puntos colineales. Esto demuestra el resultado propuesto.

Dados los valores de una función y su derivada en dos puntos, existe exactamente una función cúbica que tiene los mismos cuatro valores, que se denomina spline de Hermite cúbico .

Hay dos formas estándar de utilizar este hecho. En primer lugar, si se conocen, por ejemplo mediante medición física, los valores de una función y su derivada en algunos puntos de muestreo, se puede interpolar la función con una función continuamente diferenciable , que es una función cúbica por partes .

Si se conoce el valor de una función en varios puntos, la interpolación cúbica consiste en aproximarla mediante una función continuamente diferenciable , que es cúbica por tramos . Para obtener una interpolación definida de forma única, se deben añadir dos restricciones más, como los valores de las derivadas en los extremos o una curvatura nula en dichos extremos.

• "Fórmula de Cardano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Historia de las ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas en el archivo de MacTutor .