Rotacional (matemáticas)

En cálculo vectorial , el rotor , también conocido como rotacional , es un operador vectorial que describe la circulación infinitesimal de un campo vectorial en el espacio euclidiano tridimensional . El rotacional en un punto del campo se representa mediante un vector cuya longitud y dirección indican, respectivamente, la magnitud y el eje de la circulación máxima ^[¹^] . El rotacional de un campo se define formalmente como la densidad de circulación en cada punto del campo.

Un campo vectorial cuyo rotacional es cero se denomina irrotacional . El rotacional es una forma de diferenciación para campos vectoriales. La forma correspondiente del teorema fundamental del cálculo es el teorema de Stokes , que relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial con la integral de línea del campo vectorial alrededor de la curva límite.

La notación $curl F$ es más común en los países de habla inglesa. En el resto del mundo, particularmente en la literatura científica del siglo XX, se utiliza tradicionalmente la notación alternativa $rot F$ , que proviene de la "velocidad de rotación" que representa. Para evitar confusiones, los autores modernos tienden a utilizar la notación de producto vectorial con el operador del (nabla), como en $\nabla \times \mathbf {F}$ , ^{[ 2 ]} que también revela la relación entre los operadores de rotacional (rotor), divergencia y gradiente .

A diferencia del gradiente y la divergencia , el rotacional, tal como se formula en el cálculo vectorial, no se generaliza simplemente a otras dimensiones; algunas generalizaciones son posibles, pero solo en tres dimensiones el rotacional definido geométricamente de un campo vectorial vuelve a ser un campo vectorial. Esta deficiencia es una consecuencia directa de las limitaciones del cálculo vectorial; por otro lado, cuando se expresa como un campo tensorial antisimétrico mediante el operador cuña del cálculo geométrico , el rotacional se generaliza a todas las dimensiones. La circunstancia es similar a la que acompaña al producto vectorial tridimensional , y de hecho la conexión se refleja en la notación. $\nabla \times$ para el rizo.

El nombre "rizo" fue sugerido por primera vez por James Clerk Maxwell en 1871 ^{[ 3 ]} pero el concepto aparentemente fue utilizado por primera vez en la construcción de una teoría de campo óptico por James MacCullagh en 1839. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Definición

Los componentes de

F

en la posición

r

, normal y tangente a una curva cerrada

C

en un plano, que encierra un área vectorial plana

\mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}}

.

Regla de la mano derecha

Convención para la orientación vectorial de la integral de línea

El pulgar apunta en la dirección de

\mathbf {\hat {n}}

y los dedos se curvan siguiendo la orientación de

C

El rotacional de un campo vectorial $F$ , denotado por $curl F$ , o $\nabla \times \mathbf {F}$ , o $rot F$ , es un operador que mapea funciones $C k$ en $R 3$ a funciones $C k -1$ en $R 3$ , y en particular, mapea funciones continuamente diferenciables $R 3 \to R 3$ a funciones continuas $R 3 \to R 3$ . Se puede definir de varias maneras, que se mencionarán a continuación:

Una forma de definir el rotacional de un campo vectorial en un punto es implícitamente a través de sus componentes a lo largo de varios ejes que pasan por el punto: si $\mathbf {\hat {u}}$ es cualquier vector unitario, la componente del rotacional de $F$ a lo largo de la dirección $\mathbf {\hat {u}}$ puede definirse como el valor límite de una integral de línea cerrada en un plano perpendicular a $\mathbf {\hat {u}}$ dividido por el área encerrada, ya que la trayectoria de integración se contrae indefinidamente alrededor del punto.

Más específicamente, el rizo se define en un punto $p$ como ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} $(\nabla \times \mathbf {F} )(p)\cdot \mathbf {\hat {u}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{A\to 0}{\frac {1}{|A|}}\oint _{C(p)}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$ donde la integral de línea se calcula a lo largo del límite $C$ del área $A$ que contiene el punto p, siendo $| A |$ la magnitud del área. Esta ecuación define la componente del rotacional de $F$ a lo largo de la dirección $\mathbf {\hat {u}}$ . Las superficies infinitesimales delimitadas por $C$ tienen $\mathbf {\hat {u}}$ como su normal . $C$ se orienta mediante la regla de la mano derecha .

La fórmula anterior significa que la componente del rotacional de un campo vectorial a lo largo de un eje determinado es la densidad de área infinitesimal de la circulación del campo en un plano perpendicular a dicho eje. Esta fórmula no define a priori un campo vectorial legítimo , ya que las densidades de circulación individuales con respecto a los distintos ejes no tienen por qué estar relacionadas entre sí de la misma manera que las componentes de un vector; que sí se relacionen de esta forma precisa debe demostrarse por separado.

A esta definición se ajusta naturalmente el teorema de Kelvin-Stokes , como fórmula global que corresponde a dicha definición. Este teorema iguala la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial a la integral de línea anterior calculada alrededor del contorno de la superficie.

Otra forma de definir el vector rotacional de una función $F$ en un punto es explícitamente como el valor límite de una integral de superficie vectorial alrededor de una capa que encierra $p$ , dividida por el volumen encerrado, ya que la capa se contrae indefinidamente alrededor de $p$ .

Más específicamente, el rotacional puede definirse mediante la fórmula vectorial. $(\nabla \times \mathbf {F} )(p){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oint _ {S}\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {F} \ \mathrm {d} S$ donde la integral de superficie se calcula a lo largo del límite $S$ del volumen $V$ , siendo $| V |$ la magnitud del volumen, y $\mathbf {\hat {n}}$ apuntando hacia afuera desde la superficie $S$ perpendicularmente en cada punto de $S.$

En esta fórmula, el producto vectorial del integrando mide la componente tangencial de $F$ en cada punto de la superficie $S$ , y apunta a lo largo de la superficie perpendicularmente a la proyección tangencial de $F.$ La integración de este producto vectorial sobre toda la superficie da como resultado un vector cuya magnitud mide la circulación global de $F$ alrededor de $S$ , y cuya dirección es perpendicular a dicha circulación. La fórmula anterior indica que el rotacional de un campo vectorial en un punto es la densidad volumétrica infinitesimal de este "vector de circulación" alrededor del punto.

A esta definición se ajusta naturalmente otra fórmula global (similar al teorema de Kelvin-Stokes) que iguala la integral de volumen del rotacional de un campo vectorial a la integral de superficie anterior tomada sobre el límite del volumen.

Una tercera forma de definir el rotacional enfatiza su interpretación como el doble del vector de rotación de un volumen esférico infinitesimal de campo. Se puede demostrar que el rotacional cumple $\nabla \times \mathbf {F} (O)=\lim _{\varepsilon \to 0}{3 \over {\text{Vol}}(B_{\varepsilon })}\int _{B_{\epsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {F} (P)-\mathbf {F} (O))}{r^{2}}}\,dV,$ dónde $P$ y $O$ son puntos en $\mathbb {R} ^{3}$ , $\mathbf {r} =\mathbf {P} -\mathbf {O}$ , y ${\ Displaystyle B _ {\ varepsilon}}$ denota la bola de radio $\varepsilon$ centrado en $O$ .

Por otro lado, el vector de rotación instantánea ${\boldsymbol {\omega }}$ de un cuerpo rígido con campo de movimiento $\mathbf {v}$ se da , por cada bola ${\ Displaystyle B _ {\ varepsilon}}$ , por la fórmula de la media integral ${\boldsymbol {\omega }}={\frac {3}{2\,\mathrm {Vol} (B_{\varepsilon })}}\int _{B_{\varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} \times (\mathbf {v} (\mathbf {P} )-\mathbf {v} (O))}{r^{2}}}\,dV$ (de este modo ${\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} (O).$ ). Vemos que el rizo aparece como el doble del vector de rotación de un volumen esférico infinitesimal de campo $\mathbf {F}$ , visto (hasta el tercer orden), como un cuerpo rígido con campo de movimiento igual a $\mathbf {F}$ .

Mientras que las tres definiciones anteriores del rotacional son independientes de las coordenadas, existe otra definición "fácil de memorizar" del rotacional en coordenadas ortogonales curvilíneas , por ejemplo, en coordenadas cartesianas , esféricas , cilíndricas o incluso elípticas o parabólicas : ${\begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{1}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}$

La ecuación para cada componente $(curl F) k$ se puede obtener intercambiando cada aparición de un subíndice 1, 2, 3 en una permutación cíclica: 1 → 2, 2 → 3 y 3 → 1 (donde los subíndices representan los índices relevantes).

Si $(x₁, x₂, x₃)$ son las coordenadas $cartesianas$ y $(u₁, u₂, u₃$ $)$ son $las$ $coordenadas$ $ortogonales$ $,$ $entonces$ $h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}$ es la longitud del vector de coordenadas correspondiente a $u i$ . Los dos componentes restantes del rotacional resultan de la permutación cíclica de índices : 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1.

Uso

En la práctica, las dos definiciones sin coordenadas descritas anteriormente se utilizan raramente porque, en prácticamente todos los casos, el operador rotacional se puede aplicar utilizando algún conjunto de coordenadas curvilíneas , para las cuales se han derivado representaciones más simples.

La notación $\nabla \times \mathbf {F}$ tiene su origen en las similitudes con el producto vectorial tridimensional , y es útil como regla mnemotécnica en coordenadas cartesianas si $\nabla$ se toma como un operador diferencial vectorial del . Dicha notación que involucra operadores es común en física y álgebra .

Expandido en coordenadas cartesianas tridimensionales (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para representaciones de coordenadas esféricas y cilíndricas ), $\nabla \times \mathbf {F}$ es, para $\mathbf {F}$ compuesto de $[F_{x},F_{y},F_{z}]$ (donde los subíndices indican los componentes del vector, no las derivadas parciales): $\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$ donde $i$ , $j$ y $k$ son los vectores unitarios para los ejes $x$ , $y$ y $z$ , respectivamente. Esto se expande de la siguiente manera: ^{[ 8 ]} $\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}$

Aunque se expresa en términos de coordenadas, el resultado es invariante bajo rotaciones adecuadas de los ejes de coordenadas, pero se invierte bajo reflexión.

En un sistema de coordenadas general, el rotacional viene dado por ^{[ 1 ].} $(\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}$ donde $ε$ denota el tensor de Levi-Civita , $\nabla$ la derivada covariante , $g$ es el determinante del tensor métrico y la convención de suma de Einstein implica que los índices repetidos se suman. Debido a la simetría de los símbolos de Christoffel que participan en la derivada covariante, esta expresión se reduce a la derivada parcial : $(\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}$ donde $R k$ son los vectores base locales. De forma equivalente, utilizando la derivada exterior , el rotacional se puede expresar como: $\nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }(\mathbf {F} ^{\flat }){\big )}\right)^{\sharp }$

Aquí , ♭ y ♯ son los isomorfismos musicales , y $★$ es el operador estrella de Hodge . Esta fórmula muestra cómo calcular el rotacional de $F$ en cualquier sistema de coordenadas y cómo extenderlo a cualquier variedad riemanniana tridimensional orientada . Dado que esto depende de la elección de la orientación, el rotacional es una operación quiral . En otras palabras, si se invierte la orientación, también se invierte la dirección del rotacional.

Ejemplos

Ejemplo 1

Supongamos que el campo vectorial describe el campo de velocidad de un flujo de fluido (como un gran tanque de líquido o gas ) y que una pequeña esfera se encuentra dentro del fluido o gas (con el centro de la esfera fijo en un punto determinado). Si la esfera tiene una superficie rugosa, el fluido que fluye a su alrededor la hará girar. El eje de rotación (orientado según la regla de la mano derecha) apunta en la dirección del rotacional del campo en el centro de la esfera, y la velocidad angular de la rotación es la mitad de la magnitud del rotacional en este punto. ^{[ 9 ]} El rotacional del campo vectorial en cualquier punto viene dado por la rotación de un área infinitesimal en el plano xy (para la componente del rotacional en el eje z ), el plano zx (para la componente del rotacional en el eje y ) y el plano yz (para la componente del vector rotacional en el eje x ). Esto se puede ver en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 2

Campo vectorial

F (x, y)=[y,- x]

(izquierda) y su rotacional (derecha).

El campo vectorial $\mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {\imath }}}-x{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$ puede descomponerse como $F_{x}=y,\;F_{y}=-x,\;F_{z}=0.$

A simple vista, el campo puede describirse como "rotatorio". Si los vectores del campo representaran una fuerza lineal que actúa sobre los objetos presentes en ese punto, y se colocara un objeto dentro del campo, este comenzaría a girar en el sentido de las agujas del reloj sobre su propio eje. Esto se cumple independientemente de la posición del objeto.

Calculando el rizo: $\nabla \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2{\boldsymbol {\hat {k}}}$

El campo vectorial resultante que describe el rizo apuntaría siempre en la dirección negativa $del eje z$ . Los resultados de esta ecuación coinciden con lo que se podría haber predicho utilizando la regla de la mano derecha en un sistema de coordenadas diestro . Al tratarse de un campo vectorial uniforme, el objeto descrito anteriormente tendría la misma intensidad de rotación independientemente de su posición.

Ejemplo 3

Campo vectorial

F (x, y) = [0, - x 2]

(izquierda) y su rotacional (derecha).

Para el campo vectorial $\mathbf {F} (x,y,z)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}$

El rizo no es tan evidente en la gráfica. Sin embargo, si tomamos el objeto del ejemplo anterior y lo colocamos en cualquier punto de la línea $x = 3$ , la fuerza ejercida en el lado derecho sería ligeramente mayor que la ejercida en el izquierdo, lo que provocaría que girara en el sentido de las agujas del reloj. Aplicando la regla de la mano derecha, se puede predecir que el rizo resultante sería recto en la dirección negativa $del eje z$ . Por el contrario, si se coloca en $x = -3$ , el objeto giraría en sentido contrario a las agujas del reloj y, según la regla de la mano derecha, giraría en la dirección positiva del eje $z$ .

Calculando el rizo: ${\nabla }\times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-x^{2}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {k}}}.$

El rizo apunta en la dirección negativa $del eje z$ cuando $x$ es positivo y viceversa. En este campo, la intensidad de la rotación sería mayor a medida que el objeto se aleja del plano $x = 0$ .

Otros ejemplos

En un campo vectorial que describe las velocidades lineales de cada parte de un disco giratorio en movimiento circular uniforme , el rotacional tiene el mismo valor en todos los puntos, y este valor resulta ser exactamente el doble de la velocidad angular vectorial del disco (orientado como de costumbre según la regla de la mano derecha ). De forma más general, para cualquier masa en movimiento, el campo vectorial de velocidad lineal en cada punto del flujo de masa tiene un rotacional (la vorticidad del flujo en ese punto) igual a exactamente el doble de la velocidad angular vectorial local de la masa alrededor de ese punto.
Para cualquier objeto sólido sometido a una fuerza física externa (como la gravedad o la fuerza electromagnética), se puede considerar el campo vectorial que representa las contribuciones infinitesimales de fuerza por unidad de volumen que actúan en cada uno de los puntos del objeto. Este campo de fuerza puede generar un par neto sobre el objeto alrededor de su centro de masa, y este par resulta ser directamente proporcional y vectorialmente paralelo a la integral (vectorial) del rotacional del campo de fuerza sobre todo el volumen.
De las cuatro ecuaciones de Maxwell , dos —la ley de Faraday y la ley de Ampère— pueden expresarse de forma compacta utilizando el rotacional. La ley de Faraday establece que el rotacional de un campo eléctrico es igual al opuesto de la tasa de cambio temporal del campo magnético, mientras que la ley de Ampère relaciona el rotacional del campo magnético con la corriente y la tasa de cambio temporal del campo eléctrico.

Identidades

En esta sección, se supone que todos los campos escalares y vectoriales son suaves , es decir, que son continuamente diferenciables en suficientes órdenes para que la identidad tenga sentido.

El rotacional del producto vectorial de los campos vectoriales $v$ y $F$ es $\nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .$

Intercambiando el campo vectorial $v$ y el operador $\nabla$ , llegamos al producto vectorial de un campo vectorial con el rotacional de un campo vectorial: $\mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,$ donde $\nabla F$ es la notación de subíndice de Feynman, que considera solo la variación debida al campo vectorial $F$ (es decir, en este caso, $v$ se trata como constante en el espacio).

Otro ejemplo es el rotacional del rotacional de un campo vectorial. Se puede demostrar que en coordenadas generales $\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,$ y esta identidad define el laplaciano vectorial de $F$ , simbolizado como $\nabla 2 F$ .

El rotor de un gradiente es siempre el campo vectorial cero. $\nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}$ lo cual se deduce de la antisimetría en la definición del rotacional y de la simetría de las segundas derivadas .

La divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es igual a cero: $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$

Si $φ$ es una función escalar y $F$ es un campo vectorial, entonces $\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F}$

Generalizaciones

Las operaciones de cálculo vectorial de gradiente , rotacional y divergencia se generalizan más fácilmente en el contexto de las formas diferenciales, lo que implica una serie de pasos. En resumen, corresponden a las derivadas de las 0-formas, 1-formas y 2-formas, respectivamente. La interpretación geométrica del rotacional como rotación corresponde a la identificación de bivectores (2-vectores) en 3 dimensiones con el álgebra de Lie ortogonal especial. ${\mathfrak {so}}(3)$ de rotaciones infinitesimales (en coordenadas, matrices antisimétricas de 3 × 3), mientras que representar rotaciones mediante vectores corresponde a identificar 1-vectores (equivalentemente, 2-vectores) y ${\mathfrak {so}}(3)$ , siendo todos ellos espacios tridimensionales.

Formas diferenciales

En 3 dimensiones, una 0-forma diferencial es una función de valor real. $f(x,y,z)$ ; una 1-forma diferencial es la siguiente expresión, donde los coeficientes son funciones: $a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz;$ Una 2-forma diferencial es la suma formal, nuevamente con coeficientes de función: $a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz;$ y una 3-forma diferencial se define mediante un único término con una función como coeficiente: $a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.$ (Aquí los coeficientes $a$ son funciones reales de tres variables; los productos de cuña , por ejemplo ${\text{d}}x\wedge {\text{d}}y$ , pueden interpretarse como segmentos de plano orientados , ${\text{d}}x\wedge {\text{d}}y=-{\text{d}}y\wedge {\text{d}}x$ , etc.)

La derivada exterior de una $k$ -forma en $R 3$ se define como la $(k + 1)$ -forma de arriba—y en $R n$ si, por ejemplo, $\omega ^{(k)}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}},$ entonces la derivada exterior $d$ conduce a $d\omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {j=1} \atop \scriptstyle {i_{1}<\cdots <i_{k}}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}.$

Por lo tanto, la derivada exterior de una 1-forma es una 2-forma, y la de una 2-forma es una 3-forma. Por otro lado, debido a la intercambiabilidad de las derivadas mixtas, ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}},$ y antisimetría, $dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}$

La doble aplicación de la derivada exterior produce $0$ (el cero $k+2$ -forma).

Así, denotando el espacio de $k$ -formas por $\Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{3})$ y al derivar exterior por $d$ se obtiene una secuencia: $0\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\,0.$

Aquí $\Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ es el espacio de secciones del álgebra exterior $\Lambda ^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ fibrado vectorial sobre R ⁿ , cuya dimensión es el coeficiente binomial ${\binom {n}{k}}$ ; tenga en cuenta que $\Omega ^{k}(\mathbb {R} ^{3})=0$ para $k>3$ o $k<0$ Al escribir únicamente las dimensiones, se obtiene una fila del triángulo de Pascal :

$0\rightarrow 1\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 1\rightarrow 0;$

Las fibras unidimensionales corresponden a campos escalares, y las fibras tridimensionales a campos vectoriales, como se describe a continuación. Salvo identificaciones adecuadas, las tres ocurrencias no triviales de la derivada exterior corresponden a gradiente, rotacional y divergencia.

Las formas diferenciales y el diferencial pueden definirse en cualquier espacio euclidiano, o de hecho en cualquier variedad, sin ninguna noción de métrica riemanniana. En una variedad riemanniana , o más generalmente una variedad pseudoriemanniana , $las k$ -formas pueden identificarse con $k-$ campos vectoriales ( $las k$ -formas son $k-$ campos covectoriales, y una métrica pseudoriemanniana da un isomorfismo entre vectores y covectores), y en un espacio vectorial orientado con una forma no degenerada (un isomorfismo entre vectores y covectores), hay un isomorfismo entre $k-$ vectores y $(n - k)$ -vectores; en particular en (el espacio tangente de) una variedad pseudoriemanniana orientada. Por lo tanto, en una variedad pseudoriemanniana orientada, se pueden intercambiar $k-$ formas, $k-$ campos vectoriales, $(n - k)$ -formas y $(n - k)$ -campos vectoriales; Esto se conoce como dualidad de Hodge . Concretamente, en $R 3$ esto viene dado por:

1-formas y campos de 1-vectores: la 1-forma $a x dx + a y dy + a z dz$ corresponde al campo vectorial $(a x, a y, a z)$ .
1-formas y 2-formas: se reemplaza $dx$ por la cantidad dual $dy \land dz$ (es decir, se omite $dx$ ), y de igual modo, cuidando la orientación: $dy$ corresponde a $dz \land dx = - dx \land dz$ , y $dz$ corresponde a $dx \land dy$ . Así, la forma $a x dx + a y dy + a z dz$ corresponde a la "forma dual" $a z dx \land dy + a y dz \land dx + a x dy \land dz$ .

Así, se identifican las 0-formas y las 3-formas con campos escalares, y las 1-formas y las 2-formas con campos vectoriales:

La función grad transforma un campo escalar (forma 0) en un campo vectorial (forma 1);
La operación curl transforma un campo vectorial (forma 1) en un campo pseudovectorial (forma 2);
La función div transforma un campo pseudovectorial (forma 2) en un campo pseudoescalar (forma 3).

Por otro lado, el hecho de que $d 2 = 0$ corresponde a las identidades $\nabla \times (\nabla f)=\mathbf {0}$ para cualquier campo escalar $f$ y $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0$ para cualquier campo vectorial $v$ .

Grad y div se generalizan a todas las variedades pseudoriemannianas orientadas, con la misma interpretación geométrica, porque los espacios de 0-formas y $n-$ formas en cada punto son siempre unidimensionales y pueden identificarse con campos escalares, mientras que los espacios de 1-formas y $(n -1)$ -formas son siempre $n-$ dimensionales fibra a fibra y pueden identificarse con campos vectoriales.

Curl no se generaliza de esta manera a 4 o más dimensiones (o a 2 o menos dimensiones); en 4 dimensiones las dimensiones son

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

por lo que el rotacional de un campo vectorial de 1 dimensión (de 4 dimensiones a lo largo de las fibras) es un campo vectorial de 2 dimensiones , que en cada punto pertenece a un espacio vectorial de 6 dimensiones, y por lo tanto se tiene $\omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k},$ lo cual produce una suma de seis términos independientes y no puede identificarse con un campo vectorial de dimensión 1. Tampoco es posible pasar de forma significativa de un campo vectorial de dimensión 1 a un campo vectorial de dimensión 2 y luego a un campo vectorial de dimensión 3 (4 → 6 → 4), ya que al calcular la derivada dos veces se obtiene cero ( $d² = 0 ). Por lo tanto,$ no existe una función rotacional que pase de campos vectoriales a campos vectoriales en otras dimensiones de esta manera.

Sin embargo, en general, se puede definir el rotacional de un campo vectorial como un campo vectorial de orden 2 , como se describe a continuación.

Rizos geométricos

Los 2-vectores corresponden a la potencia exterior $Λ 2 V$ ; en presencia de un producto interno, en coordenadas estas son las matrices antisimétricas, que geométricamente se consideran como el álgebra de Lie ortogonal especial. ${\mathfrak {so}}(V)$ de rotaciones infinitesimales. Esto tiene $(n 2) = ⁠ 1 / 2 ⁠ n (n - 1)$ dimensiones, y permite interpretar el diferencial de un campo vectorial 1 como sus rotaciones infinitesimales. Solo en 3 dimensiones (o trivialmente en 0 dimensiones) tenemos $n = ⁠ 1 / 2 ⁠ n (n - 1)$ , que es el caso más elegante y común. En 2 dimensiones el rotacional de un campo vectorial no es un campo vectorial sino una función, ya que las rotaciones bidimensionales están dadas por un ángulo (un escalar ; se requiere una orientación para elegir si se cuentan las rotaciones en sentido horario o antihorario como positivas); esto no es la div, sino que es perpendicular a ella. En 3 dimensiones, el rotacional de un campo vectorial es un campo vectorial como es habitual (en 1 y 0 dimensiones, el rotacional de un campo vectorial es 0, porque no hay 2-vectores no triviales), mientras que en 4 dimensiones, el rotacional de un campo vectorial es, geométricamente, en cada punto un elemento del álgebra de Lie de 6 dimensiones. ${\mathfrak {so}}(4)$ .

El rotacional de un campo vectorial tridimensional que solo depende de dos coordenadas (por ejemplo, $x$ e $y$ ) es simplemente un campo vectorial vertical (en la dirección $z$ ) cuya magnitud es el rotacional del campo vectorial bidimensional, como en los ejemplos de esta página.

Considerar el rotacional como un campo vectorial de 2 dimensiones (un tensor antisimétrico de 2 dimensiones) se ha utilizado para generalizar el cálculo vectorial y la física asociada a dimensiones superiores. ^{[ 10 ]}

Inverso

En el caso de que la divergencia de un campo vectorial $V$ sea cero, existe un campo vectorial $W tal que$ $V = curl(W)$ . Por eso, el campo magnético , caracterizado por una divergencia cero, puede expresarse como el rotacional de un potencial vectorial magnético .

Si $W$ es un campo vectorial con $curl(W) = V$ , entonces al sumarle cualquier campo vectorial gradiente $grad(f)$ a $W$ se obtendrá otro campo vectorial $W + grad(f)$ tal que $curl(W + grad(f)) = V$ también. Esto se puede resumir diciendo que el rotacional inverso de un campo vectorial tridimensional se puede obtener, salvo un campo irrotacional desconocido, mediante la ley de Biot-Savart .

Véase también

Referencias

1 2 Weisstein, Eric W. "Curl" . MathWorld .
↑ Norma ISO/IEC 80000-2 Norma ISO/IEC 80000-2, punto 2-17.16
↑ Actas de la Sociedad Matemática de Londres, 9 de marzo de 1871
↑ Obras completas de James MacCullagh . Dublín: Hodges. 1880.
↑ Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas tripod.com
↑ Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
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↑ Arfken, George Brown (2005). Métodos matemáticos para físicos . Weber, Hans-Jurgen (6.ª ed.). Boston: Elsevier. p. 43. ISBN 978-0-08-047069-6OCLC 127114279
↑ Gibbs, Josiah Willard ; Wilson, Edwin Bidwell (1901), Análisis vectorial , Publicaciones del bicentenario de Yale, C. Scribner's Sons, hdl : 2027/mdp.39015000962285
↑ McDavid, AW; McMullen, CD (2006-10-30). "Generalizing Cross Products and Maxwell's Equations to Universal Extra Dimensions". arXiv : hep-ph/0609260 .

Lecturas adicionales

Korn, Granino Arthur y Theresa M. Korn (enero de 2000). Manual matemático para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas para consulta y revisión . Nueva York: Dover Publications. págs. 157-160 . ISBN 0-486-41147-8.
Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus . Nueva York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.

Enlaces externos

"Rizo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
"Cálculo multivariable" . mathinsight.org . Consultado el 12 de febrero de 2022 .
"Divergencia y rizo: El lenguaje de las ecuaciones de Maxwell, el flujo de fluidos y más" . 21 de junio de 2018. Archivado del original el 24 de noviembre de 2021 a través de YouTube .

[Mathworld-1] 1 2 Weisstein, Eric W. "Curl" . MathWorld .

[2] Norma ISO/IEC 80000-2 Norma ISO/IEC 80000-2, punto 2-17.16

[3] Actas de la Sociedad Matemática de Londres, 9 de marzo de 1871

[4] Obras completas de James MacCullagh . Dublín: Hodges. 1880.

[5] Primeros usos conocidos de algunas palabras de las matemáticas tripod.com

[6] Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3

[7] Análisis vectorial (segunda edición), MR Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

[8] Arfken, George Brown (2005). Métodos matemáticos para físicos . Weber, Hans-Jurgen (6.ª ed.). Boston: Elsevier. p. 43. ISBN 978-0-08-047069-6OCLC 127114279

[9] Gibbs, Josiah Willard ; Wilson, Edwin Bidwell (1901), Análisis vectorial , Publicaciones del bicentenario de Yale, C. Scribner's Sons, hdl : 2027/mdp.39015000962285

[10] McDavid, AW; McMullen, CD (2006-10-30). "Generalizing Cross Products and Maxwell's Equations to Universal Extra Dimensions". arXiv : hep-ph/0609260 .

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