espacio curvo

El espacio curvo suele referirse a una geometría espacial que no es "plana", donde un espacio plano tiene curvatura cero , como lo describe la geometría euclidiana . ^{[ 1 ]} Los espacios curvos generalmente se pueden describir mediante la geometría riemanniana , aunque algunos casos simples se pueden describir de otras maneras.

Los espacios curvos desempeñan un papel esencial en la relatividad general , donde la gravedad se visualiza a menudo como un espaciotiempo curvo . ^{[ 2 ]} La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker es una métrica curva que constituye la base actual para la descripción de la expansión del universo y su forma . El hecho de que los fotones no tengan masa, pero se vean distorsionados por la gravedad, implica que la explicación tendría que ser algo distinto a la masa fotónica. De ahí la creencia de que los cuerpos grandes curvan el espacio y, por lo tanto, la luz, al viajar por el espacio curvo, parecerá estar sujeta a la gravedad. No lo está, pero sí está sujeta a la curvatura del espacio.

Un ejemplo muy conocido de espacio curvo es la superficie de una esfera. Si bien desde nuestra perspectiva habitual la esfera parece tridimensional, si un objeto se encuentra confinado a su superficie, solo puede moverse en dos dimensiones . La superficie de una esfera puede describirse completamente mediante dos dimensiones, ya que, por muy rugosa que parezca, sigue siendo solo una superficie, que es el límite exterior bidimensional de un volumen. Incluso la superficie de la Tierra, que es fractal en complejidad, sigue siendo solo un límite bidimensional a lo largo del exterior de un volumen. ^{[ 3 ]}

Una de las características definitorias de un espacio curvo es su desviación del teorema de Pitágoras . En un espacio curvo

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}\neq dl^{2}}$.

La relación pitagórica a menudo se puede restablecer describiendo el espacio con una dimensión adicional. Supongamos que tenemos un espacio tridimensional no euclidiano con coordenadas${\displaystyle \left(x',y',z'\right)}$Porque no es plano.

${\displaystyle dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\neq dl'^{2}\,}$.

Pero si ahora describimos el espacio tridimensional con cuatro dimensiones (${\displaystyle x,y,z,w}$) podemos elegir coordenadas tales que

${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=dl^{2}\,}$.

Tenga en cuenta que la coordenada${\displaystyle x}$no es lo mismo que la coordenada${\displaystyle x'}$.

Para que la elección de las coordenadas 4D sean descriptores válidos del espacio 3D original, debe tener el mismo número de grados de libertad . Dado que cuatro coordenadas tienen cuatro grados de libertad, debe tener una restricción impuesta. Podemos elegir una restricción tal que el teorema de Pitágoras se cumpla en el nuevo espacio 4D. Es decir,

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}={\textrm {constante}}\,}$.

La constante puede ser positiva o negativa. Para mayor comodidad, podemos elegir que la constante sea

${\displaystyle \kappa ^{-1}R^{2}}$dónde${\displaystyle R^{2}\,}$ahora es positivo y${\displaystyle \kappa \equiv \pm 1}$.

Ahora podemos usar esta restricción para eliminar la cuarta coordenada artificial.${\displaystyle w}$. El diferencial de la ecuación de restricción es

${\displaystyle xdx+ydy+zdz+wdw=0\,}$conduciendo a${\displaystyle dw=-w^{-1}(xdx+ydy+zdz)\,}$.

Tapón${\displaystyle dw}$en la ecuación original da

${\displaystyle dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+{\frac {(xdx+ydy+zdz)^{2}}{\kappa ^{-1}R^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$.

Esta forma no suele ser particularmente atractiva, por lo que a menudo se aplica una transformación de coordenadas:${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$,${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$,${\displaystyle z=r\cos \theta }$Con esta transformación de coordenadas

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

La geometría de un espacio n-dimensional también puede describirse mediante la geometría riemanniana . Un espacio isotrópico y homogéneo puede describirse mediante la métrica:

${\displaystyle dl^{2}=e^{-\lambda (r)}{dr^{2}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.

Esto se reduce al espacio euclidiano cuando${\displaystyle \lambda =0}$. Pero se puede decir que un espacio es " plano " cuando el tensor de Weyl tiene todos sus componentes cero. En tres dimensiones, esta condición se cumple cuando el tensor de Ricci (${\displaystyle R_{ab}}$) es igual a la métrica multiplicada por el escalar de Ricci (${\displaystyle R}$(que no debe confundirse con la R de la sección anterior). Es decir,${\displaystyle R_{ab}=g_{ab}R}$El cálculo de estos componentes a partir de la métrica da como resultado que

${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{2}}\ln \left(1-kr^{2}\right)}$dónde${\displaystyle k\equiv {\frac {R}{2}}}$.

Esto proporciona la métrica:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-k{r^{2}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

dónde${\displaystyle k}$Puede ser cero, positivo o negativo y no se limita a ±1.

Un espacio isotrópico y homogéneo puede describirse mediante la métrica:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-\kappa {\frac {r^{2}}{R^{2}}}}}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

En el límite en que la constante de curvatura (${\displaystyle R}$) se vuelve infinitamente grande, se devuelve un espacio euclidiano plano . Es esencialmente lo mismo que establecer${\displaystyle \kappa }$a cero. Si${\displaystyle \kappa }$Si no es cero, el espacio no es euclidiano. Cuando${\displaystyle \kappa =+1}$Se dice que el espacio es cerrado o elíptico . Cuando${\displaystyle \kappa =-1}$Se dice que el espacio es abierto o hiperbólico .

Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio abierto tendrán una suma de ángulos menor que 180°. Los triángulos que se encuentran en la superficie de un espacio cerrado tendrán una suma de ángulos mayor que 180°. El volumen, sin embargo, no es${\displaystyle (4/3)\pi r^{3}}$.

• CAT( k ) espacio
• Curvatura no positiva

• Las Lecciones de Física de Feynman, Vol. II, Cap. 42: Espacio Curvo
• Papastavridis, John G. (1999). « Superficies generales n- dimensionales (riemannianas)» . Cálculo tensorial y dinámica analítica . Boca Raton: CRC Press. pp. 211–218 . ISBN  0-8493-8514-8.

• Curved Spaces , simulador para universos multiconectados desarrollado por Jeffrey Weeks.