Punto de corte

En topología , un punto de corte es un punto de un espacio conexo tal que su eliminación provoca que el espacio resultante se desconecte. Si la eliminación de un punto no produce espacios desconectados, este punto se denomina punto no de corte .

Por ejemplo, cada punto de una línea es un punto de corte, mientras que ningún punto de un círculo es un punto de corte.

Los puntos de corte son útiles para determinar si dos espacios conexos son homeomorfos, contando el número de puntos de corte en cada uno. Si dos espacios tienen diferente número de puntos de corte, no son homeomorfos. Un ejemplo clásico es el uso de puntos de corte para demostrar que las líneas y los círculos no son homeomorfos.

Los puntos de corte también son útiles en la caracterización de continuos topológicos , una clase de espacios que combinan las propiedades de compacidad y conectividad e incluyen muchos espacios conocidos como el intervalo unitario , el círculo y el toro .

Definición

Definiciones formales

Un punto $p$ de un espacio topológico conectado $X$ se denomina punto de corte ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} de $X$ si $X\setminus \{p\}$ no está conectado. Un punto $p$ de un espacio conectado $X$ se denomina punto no cortado ^{[ 1 ]} de $X$ si $X\setminus \{p\}$ está conectado.

Tenga en cuenta que estas dos nociones solo tienen sentido si el espacio $X$ está conectado desde el principio. Además, para que un espacio tenga un punto de corte, debe tener al menos tres puntos, porque al quitar un punto de un espacio con uno o dos elementos siempre queda un espacio conectado.

Un espacio topológico conexo no vacío X se denomina espacio de punto de corte ^{[ 2 ]} si cada punto en X es un punto de corte de X.

Ejemplos básicos

Un intervalo cerrado [a,b] tiene infinitos puntos de corte. Todos los puntos, excepto sus extremos, son puntos de corte, y los extremos {a,b} no lo son.
Un intervalo abierto (a,b) tiene infinitos puntos de corte, al igual que los intervalos cerrados. Dado que los intervalos abiertos no tienen extremos, no tienen puntos que no sean de corte.
Un círculo no tiene puntos de corte. Cada vértice de un círculo es un punto sin corte.

Notaciones

Un recorte de X es un conjunto $\{p,U,V\}$ dónde $p$ es un punto de corte de $X$ , $U$ y $V$ formar una separación de $X-\{p\}.$
También se puede escribir como $X\setminus \{p\}=U|V.$

Teoremas

Puntos de corte y homeomorfismos

Los puntos de corte no se conservan necesariamente bajo funciones continuas . Por ejemplo: f : [0, 2 $π$ ] → R ² , dada por f ( x ) = (cos x , sin x ). Cada punto del intervalo (excepto los dos extremos) es un punto de corte, pero f(x) forma un círculo que no tiene puntos de corte.
Los puntos de corte se conservan bajo homeomorfismos. Por lo tanto, los puntos de corte son un invariante topológico .

Puntos de corte y continuos

Todo continuo ( espacio de Hausdorff compacto y conexo ) con más de un punto tiene al menos dos puntos sin corte. Específicamente, cada conjunto abierto que forma una separación del espacio resultante contiene al menos un punto sin corte.
Todo continuo con exactamente dos puntos sin corte es homeomorfo al intervalo unitario.
Si K es un continuo con puntos a,b y K-{a,b} no está conectado, K es homeomorfo al círculo unitario.

Propiedades topológicas de los espacios de puntos de corte

Sea X un espacio conexo y x un punto de corte en X tal que X\{x}=A|B. Entonces {x} es abierto o cerrado . Si {x} es abierto, A y B son cerrados. Si {x} es cerrado, A y B son abiertos.
Sea X un espacio de puntos de corte. El conjunto de puntos cerrados de X es infinito.

La línea Khalimsky

La línea Khalimsky es el conjunto $\mathbb {Z}$ de enteros con una base para la topología dada por $\{\{2i-1,2i,2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}\cup \{\{2i+1\}:i\in \mathbb {Z} \}$ . ^{[ 3 ]} La topología es una topología de Alexandrov . Cada número impar es un punto aislado . Y el entorno más pequeño de un número par es el punto mismo junto con los dos elementos adyacentes.

La recta de Khalimsky es un espacio de puntos de corte, ya que cada punto es un punto de corte, pero ningún subespacio propio de ella es un espacio de puntos de corte. Es el único espacio con esa propiedad: un espacio de puntos de corte para el cual ningún subespacio propio es un espacio de puntos de corte debe ser homeomorfo a la recta de Khalimsky. ^{[ 4 ]}

Véase también

Vértice de corte (teoría de grafos)

Notas

1 2 Willard 2004 , Definición 28.5.
^ Honari y Bahrampour 1999 , Definición 2.1.
^ Honari y Bahrampour 1999 , Definición 2.5.
^ Honari y Bahrampour 1999 , Teorema 4.5.

Referencias

Hatcher, Allen, Notas sobre topología de conjuntos de puntos introductoria , págs. 20–21
Honari, B.; Bahrampour, Y. (1999). "Espacios de puntos de corte" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 127 (9): 2797– 2803. doi : 10.1090/s0002-9939-99-04839-x .
Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240 .

[FOOTNOTEWillard2004Definition_28.5-1] 1 2 Willard 2004 , Definición 28.5.

[FOOTNOTEHonariBahrampour1999Definition_2.1-2] Honari y Bahrampour 1999 , Definición 2.1.

[FOOTNOTEHonariBahrampour1999Definition_2.5-3] Honari y Bahrampour 1999 , Definición 2.5.

[FOOTNOTEHonariBahrampour1999Theorem_4.5-4] Honari y Bahrampour 1999 , Teorema 4.5.

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