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Articulo de referencia

Frecuencia de corte

Función de transferencia de magnitud de un filtro paso banda con frecuencia de corte inferior de 3 dB f 1 y frecuencia de corte superior de 3 dB f 2 Diagrama de Bode (un grá...

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Función de transferencia de magnitud de un filtro paso banda con  frecuencia de corte inferior de 3 dB f 1 y  frecuencia de corte superior de 3 dB f 2
Diagrama de Bode (un gráfico de respuesta de frecuencia logarítmica ) de cualquier filtro paso bajo de primer orden con una frecuencia de corte normalizada enω{\displaystyle \omega }=1 y una banda de paso de ganancia unitaria (0 dB).

En física e ingeniería eléctrica , una frecuencia de corte , frecuencia de esquina o frecuencia de ruptura es un límite en la respuesta en frecuencia de un sistema en el cual la energía que fluye a través del sistema comienza a reducirse ( atenuarse o reflejarse) en lugar de pasar a través de él.

Normalmente, en sistemas electrónicos como filtros y canales de comunicación , la frecuencia de corte se refiere a un límite en una característica de paso bajo , paso alto , paso banda o rechazo de banda ; una frecuencia que define el límite entre una banda de paso y una banda de rechazo . A veces se considera el punto en la respuesta del filtro donde se encuentran una banda de transición y una banda de paso, por ejemplo, según lo define un ancho de banda de media potencia (o punto de media potencia), una frecuencia para la cual la salida del circuito es aproximadamente -3,01 dB del valor nominal de la banda de paso. Alternativamente, la frecuencia de corte de la banda de rechazo puede especificarse como un punto donde se encuentran una banda de transición y una banda de rechazo: una frecuencia para la cual la atenuación es mayor que la atenuación requerida de la banda de rechazo, que por ejemplo puede ser de 30 dB o 100 dB.   

En el caso de una guía de ondas o una antena , las frecuencias de corte corresponden a las longitudes de onda de corte inferior y superior .

Electrónica

En electrónica , la frecuencia de corte o frecuencia de esquina es la frecuencia por encima o por debajo de la cual la potencia de salida de un circuito , como una línea , un amplificador o un filtro electrónico , ha caído a una proporción determinada de la potencia en la banda de paso . Con mayor frecuencia, esta proporción es la mitad de la potencia de la banda de paso, también conocida como el punto de 3 dB , ya que una caída de 3 dB corresponde aproximadamente a la mitad de la potencia. Como relación de voltaje, esta es una caída a  1/2 ≈ 0,707{\textstyle {\sqrt {1/2}}\ \approx \ 0.707}del voltaje de la banda de paso. [ 1 ]

El ancho de banda de media potencia es una definición comúnmente utilizada para la frecuencia de corte. [ 2 ] Esto ocurre cuando el voltaje de salida ha caído a12≈0,707{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\approx {\text{0.707}}}del voltaje nominal de la banda de paso del filtro [ a ] ​​y la potencia se ha reducido a la mitad. [ b ] Un amplificador de paso de banda tendrá dos puntos de media potencia, mientras que un amplificador de paso bajo o un amplificador de paso alto tendrá solo uno.

El ancho de banda de un filtro o amplificador se define generalmente como la diferencia entre los puntos de media potencia inferior y superior. Por lo tanto, también se conoce como elAncho de banda de 3  dB . No existe un punto de media potencia inferior para un amplificador de paso bajo, por lo que el ancho de banda se mide en relación con CC , es decir,0  Hz . No existe un punto de media potencia superior para un amplificador paso alto ideal; su ancho de banda es teóricamente infinito. [ 3 ] En la práctica, la banda de rechazo y la banda de transición se utilizan para caracterizar un paso alto.

Además del  punto de 3 dB, pueden ser relevantes otras relaciones, como por ejemplo los filtros de Chebyshev que se describen más  adelante . Lejos de la frecuencia de corte en la banda de transición, la tasa de aumento de la atenuación ( caída ) con el logaritmo de la frecuencia tiende asintóticamente a una constante. Para una red de primer orden , la caída es de -20  dB por década (aproximadamente -6  dB por octava ).

Ejemplo de función de transferencia de un solo polo

La función de transferencia para el filtro paso bajo más simple , H(s)=11+αs,{\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+\alpha s}},} tiene un único polo en s = −1/ α . La magnitud de esta función en el plano jω es|H(jω)|=|11+αjω|=11+α2ω2.{\displaystyle \left|H(j\omega )\right|=\left|{\frac {1}{1+\alpha j\omega }}\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega ^{2}}}}.}

En el corte |H(jωdo)|=12=11+α2ωdo2.{\displaystyle \left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}.}

Por lo tanto, la frecuencia de corte viene dada por ωdo=1α.{\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\alpha }}.}

Donde s es la variable del plano s , ω es la frecuencia angular y j es la unidad imaginaria .

Filtros de Chebyshev

En ocasiones, otras relaciones resultan más convenientes que el  punto de 3 dB. Por ejemplo, en el caso del filtro Chebyshev, se suele definir la frecuencia de corte como el punto posterior al último pico en la respuesta en frecuencia en el que el nivel ha descendido al valor de diseño de la ondulación de la banda de paso. La cantidad de ondulación en este tipo de filtro puede ser ajustada por el diseñador a cualquier valor deseado; por lo tanto, la relación utilizada podría ser cualquiera. [ 4 ]

Comunicaciones por radio

En radiocomunicaciones , la comunicación por onda ionosférica es una técnica en la que las ondas de radio se transmiten en ángulo hacia el cielo y se reflejan de vuelta a la Tierra mediante capas de partículas cargadas en la ionosfera . En este contexto, el término frecuencia de corte se refiere a la frecuencia máxima utilizable , la frecuencia por encima de la cual una onda de radio no se refleja en la ionosfera con el ángulo de incidencia requerido para la transmisión entre dos puntos específicos mediante la reflexión en dicha capa.

guías de onda

La frecuencia de corte de una guía de ondas electromagnética es la frecuencia más baja para la cual un modo se propagará en ella. En fibra óptica , es más común considerar la longitud de onda de corte , la longitud de onda máxima que se propagará en una fibra óptica o guía de ondas . La frecuencia de corte se obtiene con la ecuación característica de la ecuación de Helmholtz para ondas electromagnéticas, que se deriva de la ecuación de onda electromagnética igualando a cero el número de onda longitudinal y resolviendo para la frecuencia. Por lo tanto, cualquier frecuencia de excitación inferior a la frecuencia de corte se atenuará, en lugar de propagarse. La siguiente derivación asume paredes sin pérdidas. El valor de c, la velocidad de la luz , debe tomarse como la velocidad de grupo de la luz en cualquier material que llene la guía de ondas.

Para una guía de ondas rectangular, la frecuencia de corte es ωdo=do(metroπa)2+(norteπb)2,{\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}}},} dóndemetro,norte≥0{\displaystyle m,n\geq 0}son los números modales para los lados del rectángulo de longituda{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}respectivamente. Para los modos TE,metro,norte≥0{\displaystyle m,n\geq 0}(perometro=norte=0{\displaystyle m=n=0}no está permitido), mientras que para los modos TMmetro,norte≥1{\displaystyle m,n\geq 1}.

La frecuencia de corte del modo TM 01 (siguiente superior al modo dominante TE 11 ) en una guía de ondas de sección transversal circular (el modo transversal magnético sin dependencia angular y con la menor dependencia radial) viene dada por ωdo=doχ01r=do2.4048r,{\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},} dónder{\displaystyle r}es el radio de la guía de ondas, y χ01{\displaystyle \chi _{01}}es la primera raíz deJ0(r){\displaystyle J_{0}(r)}, la función de Bessel de primera especie de orden 1.

La frecuencia de corte del modo dominante TE 11 viene dada por [ 5 ].ωdo=doχ11r=do1.8412r{\displaystyle \omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}}

Sin embargo, la frecuencia de corte del modo dominante se puede reducir mediante la introducción de un deflector dentro de la guía de onda de sección transversal circular. [ 6 ] Para una fibra óptica monomodo , la longitud de onda de corte es la longitud de onda en la que la frecuencia normalizada es aproximadamente igual a 2,405.

Análisis matemático

El punto de partida es la ecuación de onda (que se deriva de las ecuaciones de Maxwell ), (∇2−1do2∂2∂t2)ψ(r,t)=0,{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,} que se convierte en una ecuación de Helmholtz al considerar únicamente funciones de la forma ψ(incógnita,y,z,t)=ψ(incógnita,y,z)miiωt.{\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.} Sustituyendo y evaluando la derivada temporal se obtiene (∇2+ω2do2)ψ(incógnita,y,z)=0.{\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.} La funciónψ{\displaystyle \psi }Aquí, el término se refiere al campo (eléctrico o magnético) que no tiene componente vectorial en la dirección longitudinal: el campo transversal. Es una propiedad de todos los modos propios de la guía de ondas electromagnética que al menos uno de los dos campos sea transversal. El eje z se define como paralelo al eje de la guía de ondas.

La derivada "longitudinal" en el laplaciano se puede reducir aún más considerando solo funciones de la forma ψ(incógnita,y,z,t)=ψ(incógnita,y)mii(ωt−kzz),{\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},} dóndekz{\displaystyle k_{z}}es el número de onda longitudinal , lo que resulta en (∇T2−kz2+ω2do2)ψ(incógnita,y,z)=0,{\displaystyle \left(\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0,} donde el subíndice T indica un laplaciano transversal bidimensional. El paso final depende de la geometría de la guía de ondas. La geometría más fácil de resolver es la guía de ondas rectangular. En ese caso, el resto del laplaciano se puede evaluar a su ecuación característica considerando soluciones de la forma ψ(incógnita,y,z,t)=ψ0mii(ωt−kzz−kincógnitaincógnita−kyy).{\displaystyle \psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.} Así, para la guía rectangular se evalúa el laplaciano y llegamos a ω2do2=kincógnita2+ky2+kz2{\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}} Los números de onda transversales se pueden especificar a partir de las condiciones de contorno de onda estacionaria para una sección transversal de geometría rectangular con dimensiones a y b : kincógnita=norteπa,{\displaystyle k_{x}={\frac {n\pi }{a}},}ky=metroπb,{\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi }{b}},} donde n y m son los dos enteros que representan un modo propio específico. Al realizar la sustitución final, obtenemos ω2do2=(norteπa)2+(metroπb)2+kz2,{\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},} que es la relación de dispersión en la guía de ondas rectangular. La frecuencia de corteωdo{\displaystyle \omega _{c}}es la frecuencia crítica entre propagación y atenuación, que corresponde a la frecuencia en la que el número de onda longitudinalkz{\displaystyle k_{z}}es cero. Está dado por ωdo=do(norteπa)2+(metroπb)2{\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}} Las ecuaciones de onda también son válidas por debajo de la frecuencia de corte, donde el número de onda longitudinal es imaginario. En este caso, el campo decae exponencialmente a lo largo del eje de la guía de onda y, por lo tanto, la onda es evanescente .

Véase también

Notas

  1. ↑ Exacto:20registro10⁡(12)≈−3.0103dB{\displaystyle 20\log _{10}\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right)\approx -3.0103\,\mathrm {dB} }
  2. ↑ Exacto:10registro10⁡(12)≈−3.0103dB{\displaystyle 10\log _{10}\left({\tfrac {1}{2}}\right)\approx -3.0103\,\mathrm {dB} }

Referencias

  1. ^ Van Valkenburg, ME (1974). Análisis de red (3ª ed.). Prentice-Hall. págs. 383–384 . ISBN   0-13-611095-9. Consultado el 22 de junio de 2008 .
  2. ↑ Schlessinger, Monroe (1995). Fundamentos de la tecnología infrarroja (2.ª ed., ed. revisada y ampliada ). Nueva York: M. Dekker. ISBN  0824792599.
  3. ↑ En la práctica, no existe ningún filtro paso alto con ancho de banda infinito. Todos los filtros paso alto son filtros paso banda, pero, si están bien diseñados, con un punto medio superior tan alto que no afecta a la aplicación.
  4. ↑ Mathaei, Young, Jones, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento , págs. 85-86, McGraw-Hill, 1964.
  5. ↑ Hunter, IC (2001). Teoría y diseño de filtros de microondas . Institution of Electrical Engineers. Londres: Institution of Electrical Engineers. pág. 214. ISBN  978-0-86341-253-0OCLC 505848355​​ 
  6. ↑ Modi, Anuj Y.; Balanis, Constantine A. (2016-03-01). "Deflector PEC-PMC dentro de una guía de ondas de sección transversal circular para la reducción de la frecuencia de corte". IEEE Microwave and Wireless Components Letters . 26 (3): 171– 173. doi : 10.1109/LMWC.2016.2524529 . ISSN 1531-1309 . S2CID 9594124 .  
Otras fuentes
  • Cálculo de la frecuencia central con media geométrica y comparación con la solución de media aritmética.
  • Conversión de la frecuencia de corte f c y la constante de tiempo τ
  • Definición matemática e información sobre las funciones de Bessel.