Subespacio cíclico

En matemáticas , específicamente en álgebra lineal y análisis funcional , un subespacio cíclico es un subespacio especial de un espacio vectorial asociado a un vector en dicho espacio y a una transformación lineal del mismo. El subespacio cíclico asociado a un vector v en un espacio vectorial V y a una transformación lineal T de V se denomina subespacio cíclico T generado por v . El concepto de subespacio cíclico es un componente fundamental en la formulación del teorema de descomposición cíclica en álgebra lineal.

Dejar${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ser una transformación lineal de un espacio vectorial${\displaystyle V}$y dejar${\displaystyle v}$ser un vector en${\displaystyle V}$. El${\displaystyle T}$-subespacio cíclico de${\displaystyle V}$generado por${\displaystyle v}$, denotado${\displaystyle Z(v;T)}$, es el subespacio de${\displaystyle V}$generado por el conjunto de vectores${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}}$. En el caso de que${\displaystyle V}$es un espacio vectorial topológico ,${\displaystyle v}$se denomina vector cíclico para${\displaystyle T}$si${\displaystyle Z(v;T)}$es denso en${\displaystyle V}$. Para el caso particular de espacios de dimensión finita , esto es equivalente a decir que${\displaystyle Z(v;T)}$es todo el espacio${\displaystyle V}$. ^{[ 1 ]}

Existe otra definición equivalente de espacios cíclicos. Sea${\displaystyle T:V\rightarrow V}$sea ​​una transformación lineal de un espacio vectorial topológico sobre un campo${\displaystyle F}$y${\displaystyle v}$ser un vector en${\displaystyle V}$. El conjunto de todos los vectores de la forma${\displaystyle g(T)v}$, dónde${\displaystyle g(x)}$es un polinomio en el anillo${\displaystyle F[x]}$de todos los polinomios en${\displaystyle x}$encima${\displaystyle F}$, es el${\displaystyle T}$-subespacio cíclico generado por${\displaystyle v}$. ^{[ 1 ]}

El subespacio${\displaystyle Z(v;T)}$es un subespacio invariante para${\displaystyle T}$, en el sentido de que${\displaystyle TZ(v;T)\subconjunto Z(v;T)}$.

Dejar${\displaystyle T:V\rightarrow V}$ser una transformación lineal de un${\displaystyle n}$espacio vectorial de dimensión${\displaystyle V}$sobre un campo${\displaystyle F}$y${\displaystyle v}$ser un vector cíclico para${\displaystyle T}$. Entonces los vectores

${\displaystyle B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\}}$

formar una base ordenada para${\displaystyle V}$. Sea el polinomio característico para${\displaystyle T}$ser

${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$.

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{alineado}}}$

Por lo tanto, en relación con la base ordenada${\displaystyle B}$, el operador${\displaystyle T}$está representada por la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

Esta matriz se denomina matriz compañera del polinomio.${\displaystyle p(x)}$. ^{[ 1 ]}

• Matriz complementaria
• subespacio de Krylov

• PlanetMath: subespacio cíclico