Politopo cíclico

En matemáticas, un politopo cíclico , denotado C ( n , d ), es un politopo convexo formado como una envoltura convexa de n puntos distintos en una curva normal racional en R ^d , donde n es mayor que d . Estos politopos fueron estudiados por Constantin Carathéodory , David Gale , Theodore Motzkin , Victor Klee y otros. Desempeñan un papel importante en la combinatoria poliédrica : según el teorema del límite superior , demostrado por Peter McMullen y Richard Stanley , el límite Δ ( n , d ) del politopo cíclico C ( n , d ) maximiza el número f _i de caras i -dimensionales entre todas las esferas simpliciales de dimensión d − 1 con n vértices.

La curva de momento en se define por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \mathbf {x} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}}$. ^[1]

El politopo cíclico -dimensional con vértices es la envoltura convexa${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}}$

de puntos distintos con respecto a la curva de momentos. ^[1]${\displaystyle n>d\geq 2}$${\displaystyle \mathbf {x} (t_{i})}$${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$

La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices. ^[1] Su límite es un politopo simplicial de dimensión ( d − 1) denotado Δ ( n , d ).

La condición de uniformidad de Gale ^[2] proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una faceta en un politopo cíclico.

Sea . Entonces, un -subconjunto forma una faceta de si y solo si dos elementos cualesquiera en están separados por un número par de elementos de en la secuencia . ${\displaystyle T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle T_{d}\subseteq T}$${\displaystyle C(n,d)}$ ${\displaystyle T\setmenos T_{d}}$$Estilo de visualización T_{d}$${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})}$

Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos , en el sentido de que cada conjunto de como máximo d /2 vértices forma una cara. Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso. ^{[3] [4]}

El número de caras i -dimensionales del politopo cíclico Δ ​​( n , d ) viene dado por la fórmula

${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {para}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$

y determinar completamente a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville . ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$

El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una dimensión y un número de vértices dados: si Δ es una esfera simple de dimensión d − 1 con n vértices, entonces

${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {para}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$

La conjetura del límite superior para politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y demostrada por Peter McMullen en 1970. Victor Klee sugirió que la misma afirmación debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido de hecho en 1975 por Richard P. Stanley ^[5] usando la noción de un anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.

• Álgebra conmutativa combinatoria