Módulo cíclico

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un módulo cíclico o módulo monogénico ^{[ 1 ]} es un módulo sobre un anillo generado por un solo elemento. Este concepto es una generalización de la noción de grupo cíclico , es decir, un grupo abeliano (o Z -módulo) generado por un solo elemento.

Un R -módulo izquierdo M se llama cíclico si M puede ser generado por un solo elemento, es decir, M = ( x ) = Rx = { rx | r ∈ R } para algún x en M . De manera similar, un R -módulo derecho N es cíclico si N = yR para algún y ∈ N .

• 2 Z como módulo Z es un módulo cíclico.
• De hecho, todo grupo cíclico es un Z -módulo cíclico.
• Todo R -módulo simple M es un módulo cíclico, ya que el submódulo generado por cualquier elemento no nulo x de M es necesariamente el módulo completo M. En general, un módulo es simple si y solo si es no nulo y es generado por cada uno de sus elementos no nulos. ^{[ 2 ]}
• Si el anillo R se considera como un módulo izquierdo sobre sí mismo, entonces sus submódulos cíclicos son exactamente sus ideales principales izquierdos como anillo. Lo mismo se aplica a R como un R -módulo derecho , mutatis mutandis .
• Si R es F [ x ], el anillo de polinomios sobre un cuerpo F , y V es un R -módulo que también es un espacio vectorial de dimensión finita sobre F , entonces los bloques de Jordan de x que actúan sobre V son submódulos cíclicos. (Todos los bloques de Jordan son isomorfos a F [ x ]/( x − λ ) ⁿ ; también puede haber otros submódulos cíclicos con diferentes anuladores ; véase más adelante).

• Dado un R -módulo cíclico M generado por x , existe un isomorfismo canónico entre M y R / Ann _R x , donde Ann _R x denota el aniquilador de x en R .

• Módulo generado de forma finita

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  13 (2.ª  ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp.  x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487 
• B. Hartley ; T.O. Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman and Hall. págs. 77 , 152. ISBN  0-412-09810-5.
• Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera  ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, pp. 147–149 , ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001