paradoja de Condorcet

Los votantes del condado de Cactus prefieren al actual ejecutivo del condado, Alex, del Partido de los Agricultores, sobre su rival Beatrice, del Partido de los Paneles Solares, por un margen aproximado de 2 a 1. Este año, un tercer candidato, Charlie , se presenta como independiente. Charlie es un empresario adinerado y franco, sobre quien los votantes tienen opiniones muy divididas.

Los votantes se dividen en tres grupos:

• El Grupo 1 venera a Charlie por salvar al equipo de fútbol americano de la escuela secundaria. Lo clasifican en primer lugar, y luego a Alex por encima de Beatrice como de costumbre ( CAB ).
• El Grupo 2 desprecia a Charlie por sus prácticas comerciales deshonestas. Lo clasifican en último lugar , y luego a Alex por encima de Beatrice, como de costumbre ( ABC ).
• El Grupo 3 son los principales partidarios de Beatrice. Quieren que el Partido de los Agricultores deje el poder y que el Partido de los Paneles Solares lo adopte, y consideran la candidatura de Charlie una mera formalidad. Como de costumbre, colocan a Beatrice en primer lugar y a Alex en último, y a Charlie en segundo lugar por defecto ( BCA ).

Por lo tanto, la mayoría de los votantes prefiere a Alex antes que a Beatrice (A > B), como siempre ha sido. La mayoría de los votantes son partidarios de Beatrice o detractores de Charlie, por lo que prefieren a Beatrice antes que a Charlie (B > C). Y la mayoría de los votantes son partidarios de Charlie o detractores de Alex, por lo que prefieren a Charlie antes que a Alex (C > A). La combinación de estas tres preferencias nos da A > B > C > A, un ciclo de Condorcet.

Podemos calcular la probabilidad de observar la paradoja para el caso especial en que las preferencias de los votantes se distribuyen uniformemente entre los candidatos. (Este es el modelo de " cultura imparcial ", que se sabe que es un "escenario del peor caso" ^{[ 4 ] [ 5 ] : 40 [ 6 ] : 320 [ 7 ];} la mayoría de los modelos muestran probabilidades sustancialmente menores de ciclos de Condorcet).

Para${\displaystyle n}$Los votantes proporcionan una lista de preferencias de tres candidatos A, B, C, escribimos${\displaystyle X_{n}}$(resp.${\displaystyle Y_{n}}$,${\displaystyle Z_{n}}$) la variable aleatoria igual al número de votantes que colocaron A delante de B (respectivamente B delante de C, C delante de A). La probabilidad buscada es${\displaystyle p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)}$(duplicamos porque también existe el caso simétrico A> C> B> A). Demostramos que, para impar${\displaystyle n}$,${\displaystyle p_{n}=3q_{n}-1/2}$dónde${\displaystyle q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)}$lo que hace que uno necesite conocer solo la distribución conjunta de${\displaystyle X_{n}}$y${\displaystyle Y_{n}}$.

Si ponemos${\displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$, mostramos la relación que permite calcular esta distribución por recurrencia:

$${\displaystyle p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}.}$$

A continuación se obtienen los siguientes resultados:

La secuencia parece tender hacia un límite finito.

Utilizando el teorema del límite central , demostramos que${\displaystyle q_{n}}$tiende a${\displaystyle q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),}$dónde${\displaystyle T}$es una variable que sigue una distribución de Cauchy , lo que da

$${\displaystyle q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}}$$(constante citada en el OEIS ).

Por lo tanto, la probabilidad asintótica de encontrar la paradoja de Condorcet es:${\displaystyle {{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }}$lo que da un valor del 8,77%. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Se han calculado algunos resultados para el caso de más de tres candidatos ^{[ 10 ]} y se han simulado ^{[ 11 ]} . La probabilidad simulada para un modelo de cultura imparcial con 25 votantes aumenta con el número de candidatos: ^{[ 11 ] : 28}

La probabilidad de un ciclo de Condorcet para modelos relacionados se aproxima a estos valores para elecciones de tres candidatos con grandes electorados: ^{[ 9 ]}

• Cultura anónima imparcial (CAI): 6,25%
• Cultura uniforme (CU): 6,25%
• Condición de cultivo máxima (CM): 9,17%

Todos estos modelos son poco realistas, pero pueden investigarse para establecer un límite superior en la probabilidad de un ciclo. ^{[ 9 ]}

Cuando se modelan con preferencias de los votantes más realistas, las paradojas de Condorcet en elecciones con un número reducido de candidatos y un gran número de votantes se vuelven muy raras. ^{[ 5 ] : 78}

Un estudio de elecciones con tres candidatos analizó 12 modelos diferentes de comportamiento electoral y encontró que el modelo espacial de votación era el más preciso para los datos reales de elecciones con voto preferencial . Al analizar este modelo espacial, encontraron que la probabilidad de un ciclo disminuye hasta cero a medida que aumenta el número de votantes, con probabilidades del 5 % para 100 votantes, del 0,5 % para 1000 votantes y del 0,06 % para 10 000 votantes. ^{[ 12 ]}

Otro modelo espacial halló probabilidades del 2% o menos en todas las simulaciones de 201 votantes y 5 candidatos, ya fueran bidimensionales o cuatridimensionales, con o sin correlación entre dimensiones, y con dos dispersiones diferentes de candidatos. ^{[ 11 ] : 31}

Se han realizado muchos intentos para encontrar ejemplos empíricos de la paradoja. ^{[ 13 ]} La identificación empírica de una paradoja de Condorcet presupone datos extensos sobre las preferencias de los responsables de la toma de decisiones sobre todas las alternativas, algo que rara vez está disponible.

Si bien los ejemplos de la paradoja parecen ocurrir ocasionalmente en entornos pequeños (por ejemplo, parlamentos), se han encontrado muy pocos ejemplos en grupos más grandes (por ejemplo, distritos electorales), aunque se han identificado algunos. ^{[ 14 ]}

Un resumen de 37 estudios individuales, que abarcan un total de 265 elecciones reales, grandes y pequeñas, encontró 25 casos de paradoja de Condorcet, para una probabilidad total del 9,4 % ^{[ 6 ] : 325} (y esta puede ser una estimación alta, ya que es más probable que se informen los casos de la paradoja que los casos sin ella). ^{[ 5 ] : 47}

Un análisis de 883 elecciones con tres candidatos, extraídas de 84 elecciones reales con voto preferencial de la Sociedad de Reforma Electoral, arrojó una probabilidad de ciclo de Condorcet del 0,7 %. Estas elecciones derivadas tuvieron entre 350 y 1957 votantes. ^{[ 12 ]} Un análisis similar de datos de las encuestas de escala de termómetro de los Estudios Electorales Nacionales Estadounidenses de 1970 a 2004 arrojó una probabilidad de ciclo de Condorcet del 0,4 %. Estas elecciones derivadas tuvieron entre 759 y 2521 "votantes". ^{[ 12 ]}

Andrew Myers, quien dirige el Servicio de Votación por Internet Condorcet , analizó 10.354 elecciones no políticas de CIVS y encontró ciclos en el 17% de las elecciones con al menos 10 votos, cifra que se redujo al 2,1% para las elecciones con al menos 100 votos y al 1,2% para ≥300 votos. ^{[ 15 ]}

Una base de datos de 189 elecciones estadounidenses clasificadas de 2004 a 2022 contenía solo un ciclo de Condorcet: la elección del Consejo Municipal de Minneapolis de 2021 en el Distrito 2 , con un estrecho empate circular entre los candidatos del Partido Verde ( Cam Gordon ), el Partido Demócrata-Agrario-Laborista de Minnesota (Yusra Arab) y un socialista democrático independiente ( Robin Wonsley ). ^{[ 16 ]} Las preferencias de los votantes no fueron transitivas: Arab fue preferido sobre Gordon, Gordon sobre Wonsley y Wonsley sobre Arab, creando un patrón cíclico sin un ganador claro. Además, la elección exhibió una paradoja de monotonicidad descendente , así como una paradoja similar a la paradoja de Simpson .

Un segundo ejemplo de ciclo de Condorcet se encontró en las elecciones de 2022 para director escolar del Distrito 4 en Oakland, California. Manigo fue preferido a Hutchinson, Hutchinson a Resnick y Resnick a Manigo. Al igual que en Minneapolis, los márgenes fueron bastante estrechos: por ejemplo, 11 370 votantes prefirieron a Manigo sobre Hutchinson, mientras que 11 322 prefirieron a Hutchinson sobre Manigo. ^{[ 17 ]}

Otro ejemplo de ciclo de Condorcet se dio en el distrito electoral de Prahran durante las elecciones estatales de Victoria de 2014 , con un empate técnico entre los candidatos de los Verdes , el Partido Liberal y el Partido Laborista . El candidato de los Verdes, que inicialmente ocupaba el tercer lugar en la votación primaria, derrotó al candidato liberal por menos de 300 votos. Sin embargo, si la contienda hubiera sido entre el Partido Laborista y el Partido Liberal, el candidato liberal habría ganado por 25 votos. Si bien no se realizó un recuento de votos entre los Verdes y el Partido Laborista, las preferencias del Partido Liberal tienden a inclinarse más hacia el Partido Laborista que hacia los Verdes en otros casos ( incluido el distrito electoral de Richmond en las mismas elecciones ), lo que significa que el Partido Laborista probablemente habría sido preferido a los Verdes. Esto implica que hubo un patrón circular, con los Verdes preferidos sobre el Partido Liberal, quienes fueron preferidos sobre el Partido Laborista, quienes fueron preferidos sobre los Verdes.

Una implicación importante de la posible existencia de la paradoja de la votación en una situación práctica es que, en un proceso de votación por pares como los del procedimiento parlamentario estándar , el ganador final dependerá del orden en que se emitan los votos mayoritarios. Por ejemplo, supongamos que un proyecto de ley popular está a punto de aprobarse, antes de que otro grupo proponga una enmienda; esta enmienda se aprueba por mayoría simple. Esto puede resultar en que la mayoría de la legislatura rechace el proyecto de ley en su totalidad, creando así una paradoja (donde una enmienda popular a un proyecto de ley popular lo ha vuelto impopular). Esta inconsistencia lógica es el origen de la enmienda venenosa , que manipula deliberadamente un falso ciclo de Condorcet para bloquear un proyecto de ley. Del mismo modo, el orden de las votaciones en una legislatura puede ser manipulado por quien las organiza para asegurar que gane el resultado que prefiere.

A pesar de las frecuentes objeciones de los teóricos de la elección social sobre los resultados lógicamente incoherentes de tales procedimientos, y la existencia de mejores alternativas para elegir entre múltiples versiones de un proyecto de ley, el procedimiento de regla de mayoría por pares es ampliamente utilizado y está codificado en los estatutos o procedimientos parlamentarios de casi todo tipo de asamblea deliberativa .

Las paradojas de Condorcet implican que los métodos mayoritarios no logran la independencia de las alternativas irrelevantes. Denominemos a los tres candidatos en una carrera Piedra , Papel y Tijeras . En carreras individuales, Piedra pierde contra Papel, Papel pierde contra Tijeras y Tijeras pierde contra Piedra.

Sin pérdida de generalidad , supongamos que Piedra gana la elección con un método determinado. Entonces, Tijeras es un candidato que podría perjudicar a Papel; si Tijeras se retirara, Papel ganaría el único enfrentamiento individual (Papel derrota a Piedra). El mismo razonamiento se aplica independientemente del ganador.

Este ejemplo también muestra por qué las elecciones de Condorcet rara vez (si acaso alguna vez) se ven afectadas negativamente; las decisiones negativas solo pueden ocurrir cuando no hay un ganador de Condorcet. Los ciclos de Condorcet son raros en elecciones grandes, ^{[ 19 ] [ 20 ]} y el teorema del votante mediano muestra que los ciclos son imposibles siempre que los candidatos estén dispuestos en un espectro de izquierda a derecha .