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Cicloide

Una cicloide generada por un círculo rodante En geometría , una cicloide es la curva que describe un punto en un círculo al rodar sobre una línea recta sin deslizarse. Una ciclo...

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Una cicloide generada por un círculo rodante

En geometría , una cicloide es la curva que describe un punto en un círculo al rodar sobre una línea recta sin deslizarse. Una cicloide es una forma específica de trocoide y un ejemplo de ruleta , una curva generada por el rodamiento de una curva sobre otra.

La cicloide, con las cúspides apuntando hacia arriba, es la curva de descenso más rápido bajo gravedad uniforme (la curva braquistócrona ). También es la forma de una curva para la cual el período de un objeto en movimiento armónico simple (que sube y baja repetidamente) a lo largo de la curva no depende de la posición inicial del objeto (la curva tautócrona ). En física, cuando una partícula cargada en reposo se coloca bajo un campo eléctrico y magnético uniformes perpendiculares entre sí, la trayectoria de la partícula describe una cicloide.

Bolas que ruedan bajo gravedad uniforme sin fricción sobre una cicloide (negra) y líneas rectas con diferentes pendientes. Esto demuestra que la bola que se desliza por la curva siempre supera a las que viajan en línea recta en el punto de intersección de la curva con cada línea recta.

Historia

Fue en el crisol izquierdo del Pequod, con la esteatita girando diligentemente a mi alrededor, donde me sorprendió por primera vez, de forma indirecta, el hecho extraordinario de que, en geometría, todos los cuerpos que se deslizan a lo largo de la cicloide, mi esteatita por ejemplo, descenderán desde cualquier punto exactamente en el mismo tiempo.

La cicloide ha sido llamada "La Helena de los geómetras" ya que, al igual que Helena de Troya , provocó frecuentes disputas entre los matemáticos del siglo XVII, mientras que Sarah Hart considera que se la denomina así "porque las propiedades de esta curva son muy bellas". [ 1 ] [ 2 ]

Los historiadores de las matemáticas han propuesto varios candidatos para el descubridor de la cicloide. El historiador matemático Paul Tannery especuló que una curva tan simple debía ser conocida por los antiguos , citando un trabajo similar de Carpo de Antioquía descrito por Jámblico . [ 3 ] El matemático inglés John Wallis, escribiendo en 1679, atribuyó el descubrimiento a Nicolás de Cusa , [ 4 ] pero estudios posteriores indican que o Wallis estaba equivocado o la evidencia que utilizó se ha perdido. [ 5 ] El nombre de Galileo Galilei fue propuesto a finales del siglo XIX [ 6 ] y al menos un autor informa que se le dio el crédito a Marin Mersenne . [ 7 ] A partir del trabajo de Moritz Cantor [ 8 ] y Siegmund Günther , [ 9 ] los estudiosos ahora dan prioridad al matemático francés Charles de Bovelles [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] basándose en su descripción de la cicloide en su Introductio in geometriam , publicada en 1503. [ 13 ] En esta obra, Bovelles confunde el arco trazado por una rueda rodante con parte de un círculo mayor con un radio un 125% mayor que el de la rueda más pequeña. [ 5 ]

Galileo acuñó el término cicloide y fue el primero en realizar un estudio serio de la curva. [ 5 ] Según su alumno Evangelista Torricelli , [ 14 ] en 1599 Galileo intentó la cuadratura de la cicloide (determinando el área bajo la cicloide) con un enfoque inusualmente empírico que implicaba trazar tanto el círculo generador como la cicloide resultante en una lámina de metal, cortarlos y pesarlos. Descubrió que la razón era aproximadamente 3:1, que es el valor verdadero, pero concluyó erróneamente que la razón era una fracción irracional, lo que habría hecho imposible la cuadratura. [ 7 ] Alrededor de 1628, Gilles Persone de Roberval probablemente aprendió del problema de la cuadratura de Père Marin Mersenne y realizó la cuadratura en 1634 utilizando el Teorema de Cavalieri . [ 5 ] Sin embargo, este trabajo no se publicó hasta 1693 (en su Traité des Indivisibles ). [ 15 ]

La construcción de la tangente de la cicloide se remonta a agosto de 1638, cuando Mersenne recibió métodos únicos de Roberval, Pierre de Fermat y René Descartes . Mersenne transmitió estos resultados a Galileo, quien a su vez los compartió con sus alumnos Torricelli y Viviani, quienes lograron realizar una cuadratura. Este resultado, junto con otros, fue publicado por Torricelli en 1644, [ 14 ] siendo esta la primera obra impresa sobre la cicloide. Esto llevó a Roberval a acusar a Torricelli de plagio, controversia que se vio truncada por la temprana muerte de Torricelli en 1647. [ 15 ]

En 1658, Blaise Pascal había abandonado las matemáticas por la teología, pero, mientras sufría de dolor de muelas, comenzó a considerar varios problemas relacionados con la cicloide. Su dolor de muelas desapareció, y lo tomó como una señal divina para continuar con su investigación. Ocho días después había terminado su ensayo y, para dar a conocer los resultados, propuso un concurso. Pascal propuso tres preguntas relacionadas con el centro de gravedad , el área y el volumen de la cicloide, y el ganador o ganadores recibirían premios de 20 y 40 doblones españoles . Pascal, Roberval y el senador Carcavy fueron los jueces, y ninguna de las dos propuestas (de John Wallis y Antoine de Lalouvère ) fue considerada adecuada. [ 16 ] : 198 Mientras el concurso estaba en curso, Christopher Wren envió a Pascal una propuesta para una demostración de la rectificación de la cicloide; Roberval afirmó de inmediato que conocía la demostración desde hacía años. Wallis publicó la prueba de Wren (dándole crédito a Wren) en el Tractatus Duo de Wallis , otorgándole a Wren prioridad por la primera prueba publicada. [ 15 ]

Quince años después, Christiaan Huygens empleó el péndulo cicloidal para mejorar los cronómetros y descubrió que una partícula recorría un segmento de un arco cicloidal invertido en el mismo tiempo, independientemente de su punto de partida. En 1686, Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó la geometría analítica para describir la curva con una sola ecuación. En 1696, Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistócrona , cuya solución es una cicloide. [ 15 ]

Ecuaciones

La cicloide que pasa por el origen, generada por un círculo de radio r que rueda sobre el eje x en el lado positivo ( y ≥ 0 ), consta de los puntos ( x , y ) , con incógnita=r(t−pecado⁡t)y=r(1−porque⁡t),{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}} donde t es un parámetro real que corresponde al ángulo que ha girado el círculo rodante. Para un t dado , el centro del círculo se encuentra en ( x , y ) = ( rt , r ) . [ 17 ]

La ecuación cartesiana se obtiene resolviendo la ecuación de y para t y sustituyéndola en la ecuación de x :incógnita=rporque−1⁡(1−yr)−y(2r−y),{\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}o bien, eliminando el coseno inverso multivaluado:

rporque(incógnita+y(2r−y)r)+y=r.{\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}

Cuando y se considera como una función de x , la cicloide es diferenciable en todas partes excepto en las cúspides del eje x , con la derivada tendiendo hacia∞{\displaystyle \infty }o−∞{\displaystyle -\infty }cerca de una cúspide (donde y=0 ). La aplicación de t a ( x , y ) es diferenciable, de hecho de clase C∞ , con derivada 0 en las cúspides.

La pendiente de la tangente a la cicloide en el punto(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}es dado pordydincógnita=cuna⁡(t2){\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}.

Un segmento cicloide de una cúspide a la siguiente se llama arco de la cicloide, por ejemplo los puntos con0≤t≤2π{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }y0≤incógnita≤2π{\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }.

Considerando la cicloide como la gráfica de una funcióny=F(incógnita){\displaystyle y=f(x)}, satisface la ecuación diferencial : [ 18 ]

(dydincógnita)2=2ry−1.{\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}

Si definimosh=2r−y=r(1+porque⁡t){\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}como la diferencia de altura desde el vértice de la cicloide (el punto con una tangente horizontal yporque⁡t=−1{\displaystyle \cos t=-1}), entonces tenemos:

(dincógnitadh)2=2rh−1.{\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}

Evolvente

Generación de la evolvente de la cicloide desenrollando un alambre tensado colocado sobre un arco de media cicloide (marcado en rojo).

La evolvente de la cicloide tiene exactamente la misma forma que la cicloide de la que se origina. Esto se puede visualizar como la trayectoria descrita por la punta de un alambre que inicialmente se encuentra sobre un semiarco de la cicloide: a medida que se desenrolla sin dejar de ser tangente a la cicloide original, describe una nueva cicloide (véase también péndulo cicloidal y longitud de arco ).

Demostración

Demostración de las propiedades de la involuta de una cicloide.

Esta demostración utiliza la definición de cicloide de rueda rodante, así como el vector de velocidad instantánea de un punto en movimiento, tangente a su trayectoria. En la imagen adjunta,PAG1{\displaystyle P_{1}}yPAG2{\displaystyle P_{2}}son dos puntos pertenecientes a dos círculos rodantes, con la base del primero justo encima de la parte superior del segundo. Inicialmente, PAG1{\displaystyle P_{1}}yPAG2{\displaystyle P_{2}}coinciden en el punto de intersección de los dos círculos. Cuando los círculos ruedan horizontalmente a la misma velocidad,PAG1{\displaystyle P_{1}}yPAG2{\displaystyle P_{2}}recorrer dos curvas cicloidales. Considerando la línea roja que conectaPAG1{\displaystyle P_{1}}yPAG2{\displaystyle P_{2}}En un momento dado, se demuestra que la línea siempre es tangente al arco inferior enPAG2{\displaystyle P_{2}}y ortogonal al arco superior enPAG1{\displaystyle P_{1}}. DejarQ{\displaystyle Q}Sea el punto común entre los círculos superior e inferior en el momento dado. Entonces:

  • PAG1,Q,PAG2{\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}son colineales: de hecho, la misma velocidad de rodadura da ángulos iguales.PAG1O1Q^=PAG2O2Q^{\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}y por lo tantoO1QPAG1^=O2QPAG2^{\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}El puntoQ{\displaystyle Q}yace en la líneaO1O2{\displaystyle O_{1}O_{2}}por lo tantoPAG1QO1^+PAG1QO2^=π{\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }y análogamentePAG2QO2^+PAG2QO1^=π{\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }. De la igualdad deO1QPAG1^{\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}yO2QPAG2^{\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}uno tiene eso también PAG1QO2^=PAG2QO1^{\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}. SiguePAG1QO1^+PAG2QO1^=π{\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }.
  • SiA{\displaystyle A}es el punto de encuentro entre la perpendicular desdePAG1{\displaystyle P_{1}}al segmento de líneaO1O2{\displaystyle O_{1}O_{2}}y la tangente al círculo enPAG2{\displaystyle P_{2}}, luego el triánguloPAG1APAG2{\displaystyle P_{1}AP_{2}}es isósceles, como se puede apreciar fácilmente en la construcción:QPAG2A^=12PAG2O2Q^{\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}yQPAG1A^=12QO1R^={\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}12QO1PAG1^{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}. Por la igualdad previamente señalada entrePAG1O1Q^{\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}yQO2PAG2^{\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}entoncesQPAG1A^=QPAG2A^{\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}yPAG1APAG2{\displaystyle P_{1}AP_{2}}es isósceles.
  • Dibujando desdePAG2{\displaystyle P_{2}}el segmento ortogonal aO1O2{\displaystyle O_{1}O_{2}}, dePAG1{\displaystyle P_{1}}la línea recta tangente al círculo superior, y llamandoB{\displaystyle B}el punto de encuentro, uno ve quePAG1APAG2B{\displaystyle P_{1}AP_{2}B}es un rombo usando los teoremas sobre ángulos entre líneas paralelas
  • Ahora consideremos la velocidad.V2{\displaystyle V_{2}}dePAG2{\displaystyle P_{2}}Puede considerarse como la suma de dos componentes, la velocidad de rodadura.Va{\displaystyle V_{a}}y la velocidad de derivaVd{\displaystyle V_{d}}, que son iguales en módulo porque los círculos ruedan sin deslizarse.Vd{\displaystyle V_{d}}es paralelo aPAG1A{\displaystyle P_{1}A}, mientrasVa{\displaystyle V_{a}}es tangente al círculo inferior enPAG2{\displaystyle P_{2}}y por lo tanto es paralelo aPAG2A{\displaystyle P_{2}A}. El rombo constituido por los componentesVd{\displaystyle V_{d}}yVa{\displaystyle V_{a}}es por lo tanto similar (mismos ángulos) al romboBPAG1APAG2{\displaystyle BP_{1}AP_{2}}porque tienen lados paralelos. EntoncesV2{\displaystyle V_{2}}, la velocidad total dePAG2{\displaystyle P_{2}}, es paralelo aPAG2PAG1{\displaystyle P_{2}P_{1}}porque ambas son diagonales de dos rombos con lados paralelos y tienen en común conPAG1PAG2{\displaystyle P_{1}P_{2}}el punto de contactoPAG2{\displaystyle P_{2}}Por lo tanto, el vector de velocidadV2{\displaystyle V_{2}}se basa en la prolongación dePAG1PAG2{\displaystyle P_{1}P_{2}}. PorqueV2{\displaystyle V_{2}}es tangente a la cicloide enPAG2{\displaystyle P_{2}}De ello se deduce que tambiénPAG1PAG2{\displaystyle P_{1}P_{2}}coincide con la tangente a la cicloide inferior enPAG2{\displaystyle P_{2}}.
  • De forma análoga, se puede demostrar fácilmente quePAG1PAG2{\displaystyle P_{1}P_{2}}es ortogonal aV1{\displaystyle V_{1}}(la otra diagonal del rombo).
  • Esto demuestra que la punta de un alambre inicialmente estirado en un semiarco de la cicloide inferior y fijado al círculo superior enPAG1{\displaystyle P_{1}}seguirá el punto a lo largo de su trayectoria sin cambiar su longitud porque la velocidad de la punta es en cada momento ortogonal al alambre (sin estiramiento ni compresión). El alambre será al mismo tiempo tangente enPAG2{\displaystyle P_{2}}al arco inferior debido a la tensión y a los hechos demostrados anteriormente. (Si no fuera tangente, habría una discontinuidad enPAG2{\displaystyle P_{2}}y, en consecuencia, fuerzas de tensión desequilibradas.)

Medición

Área

Utilizando la parametrización anteriorincógnita=r(t−pecado⁡t)x=r(t-\sin t)yy=r(1−porque⁡t){\textstyle y=r(1-\cos t)}, el área bajo un arco,0≤t≤2π,{\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}está dado por: [ 19 ]A=∫incógnita=02πrydincógnita=∫t=02πr2(1−porque⁡t)2dt=3πr2.{\displaystyle A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.} Esto es tres veces el área del círculo rodante. [ 19 ]

Longitud de arco

La longitud de la cicloide como consecuencia de la propiedad de su involuta

La longitud de arco S de un arco viene dada por [ 19 ].S=∫02π(dincógnitadt)2+(dydt)2dt=∫02πr2−2porque⁡tdt=2r∫02πpecado⁡t2dt=8r.{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}

Otra forma geométrica de calcular la longitud de la cicloide es observar que cuando un alambre que describe una evolvente se ha desenrollado completamente de medio arco, se extiende a lo largo de dos diámetros, una longitud de 4 r . Esto es igual a la mitad de la longitud del arco, y la de un arco completo es 8 r .

Desde el vértice de la cicloide (el punto con una tangente horizontal yporque⁡t=−1{\displaystyle \cos t=-1}) a cualquier punto dentro del mismo arco, la longitud del arco al cuadrado es8r2(1+porque⁡t){\displaystyle 8r^{2}(1+\cos t)}, que es proporcional a la diferencia de alturar(1+porque⁡t){\displaystyle r(1+\cos t)}; esta propiedad es la base del isocronismo de la cicloide . De hecho, la longitud del arco al cuadrado es igual a la diferencia de altura multiplicada por la longitud total del arco 8 r .

péndulo cicloidal

Esquema de un péndulo cicloidal.

Si un péndulo simple se suspende de la cúspide de una cicloide invertida, de manera que la cuerda sea tangente a uno de sus arcos, y la longitud L del péndulo es igual a la mitad de la longitud del arco de la cicloide (es decir, el doble del diámetro del círculo generador, L = 4r ), la masa del péndulo también describe una trayectoria cicloidal. Dicho péndulo es isócrono , con oscilaciones de igual duración independientemente de su amplitud. Introduciendo un sistema de coordenadas centrado en la posición de la cúspide, la ecuación de movimiento viene dada por: incógnita=r[2θ(t)+pecado⁡2θ(t)]y=r[−3−porque⁡2θ(t)],{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}} dóndeθ{\displaystyle \theta }es el ángulo que forma la parte recta de la cuerda con el eje vertical, y viene dado por pecado⁡θ(t)=Aporque⁡(ωt),ω2=gramoL=gramo4r,{\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},} donde A < 1 es la "amplitud",ω{\displaystyle \omega }es la frecuencia angular del péndulo y g la aceleración gravitatoria.

Cinco péndulos cicloidales isócronos con amplitudes diferentes.

El matemático holandés del siglo XVII, Christiaan Huygens, descubrió y demostró estas propiedades de la cicloide mientras buscaba diseños de relojes de péndulo más precisos para su uso en la navegación . [ 20 ]

Varias curvas están relacionadas con la cicloide.

  • Trocoide : generalización de una cicloide en la que el punto que traza la curva puede estar dentro del círculo rodante (curtado) o fuera (prolado).
  • Hipocicloide : variante de una cicloide en la que un círculo rueda sobre el interior de otro círculo en lugar de sobre una línea.
  • Epicicloide : variante de una cicloide en la que un círculo rueda por la parte exterior de otro círculo en lugar de una línea.
  • Hipotrocoide : generalización de una hipocicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.
  • Epitrocoide : generalización de una epicicloide donde el punto generador puede no estar en el borde del círculo rodante.

Todas estas curvas son ruletas con un círculo rodando a lo largo de otra curva de curvatura uniforme . La cicloide, las epicicloides y las hipocicloides tienen la propiedad de que cada una es similar a su evoluta . Si q es el producto de esa curvatura por el radio del círculo, con signo positivo para epicicloide y negativo para hipocicloide, entonces la razón de similitud de la curva con su evoluta es 1  +  2q .

El clásico juguete Spirograph traza las curvas hipotrocoidea y epitrocoidea .

Otros usos

Arcos cicloidales en el Museo de Arte Kimbell.

El arco cicloidal fue utilizado por el arquitecto Louis Kahn en su diseño para el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth, Texas . También fue utilizado por Wallace K. Harrison en el diseño del Centro Hopkins en el Dartmouth College en Hanover, New Hampshire . [ 21 ]

Las primeras investigaciones indicaron que algunas curvas arqueadas transversales de las placas de los violines de la edad de oro están estrechamente modeladas por curvas cicloidales truncadas. [ 22 ] Trabajos posteriores indican que las cicloidales truncadas no sirven como modelos generales para estas curvas, [ 23 ] que varían considerablemente.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Cajori, Florian (1999). Historia de las matemáticas . Nueva York: Chelsea. pág.  177. ISBN 978-0-8218-2102-2.
  2. ↑ Hart, Sarah (7 de abril de 2023). "Las maravillosas conexiones entre las matemáticas y la literatura" . New York Times . Consultado el 7 de abril de 2023 .
  3. ^ Tannery, Paul (1883), "Pour l'histoire des lignes etsurfaces courbes dans l'antiquité" , Mélanges, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques , Ser. 2, 7 : 278–291 , pág. 284: Avant de quitter la citation de Jamblique, j'ajouterai que, dans la courbe de double mouvement de Carpos, il est difficile de ne pas reconnaître la cycloïde dont la génération si simple n'a pas dû échapper aux anciens. [ Antes de abandonar la cita de Jámblico, añadiré que, en la curva de doble movimiento de Carpo , es difícil no reconocer la cicloide, cuya generación tan simple no pudo escapar a los antiguos. ] (citado en Whitman 1943);
  4. ↑ Wallis, D. (1695). "Un extracto de una carta del Dr. Wallis, del 4 de mayo de 1697, sobre la cicloeida conocida por el cardenal Cusanus, alrededor del año 1450; y por Carolus Bovillus alrededor del año 1500" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 19 ( 215–235 ): 561–566 . doi : 10.1098/rstl.1695.0098 .(Citado en Günther, pág. 5)
  5. 1 2 3 4 Whitman, EA (mayo de 1943), "Algunas notas históricas sobre la cicloide", The American Mathematical Monthly , 50 (5): 309–315 , doi : 10.2307/2302830 , JSTOR 2302830 (Se requiere suscripción)
  6. ↑ Cajori, Florian (1999), Historia de las matemáticas (5.ª ed.), American Mathematical Soc., p. 162, ISBN   0-8218-2102-4(Nota: La primera edición (1893) y sus reimpresiones afirman que Galileo inventó la cicloide. Según Phillips, esto se corrigió en la segunda edición (1919) y se ha mantenido hasta la edición más reciente (la quinta).)
  7. 1 2 Roidt, Tom (2011). Cicloides y caminos (PDF) (MS). Universidad Estatal de Portland. pág. 4. Archivado (PDF) del original el 09-10-2022. 
  8. ^ Cantor, Moritz (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2 , Leipzig: BG Teubner, OCLC 25376971 
  9. ↑ Günther, Siegmund (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften , Leipzig: Druck und Verlag Von BG Teubner, p. 352, OCLC 2060559  
  10. ↑ Phillips, JP (mayo de 1967), "Braquistócrona, tautócrona, cicloide : manzana de la discordia", The Mathematics Teacher , 60 (5): 506–508 , doi : 10.5951/MT.60.5.0506 , JSTOR 27957609 (Se requiere suscripción)
  11. ^ Victor, Joseph M. (1978), Charles de Bovelles, 1479-1553: una biografía intelectual , Librairie Droz, p. 42, ISBN  978-2-600-03073-1
  12. ↑ Martin, J. (2010). "La Helena de la geometría". The College Mathematics Journal . 41 : 17–28 . doi : 10.4169/074683410X475083 . S2CID 55099463 . 
  13. ↑ de Bouelles, Charles (1503), Introductio in geometriam... Liber de quadratura circuli. Esfera de liberación de cúbicación. Introducción a la perspectiva. , OCLC 660960655 
  14. ^ Torricelli , Evangelista (1644), Ópera geométrica , OCLC 55541940 
  15. 1 2 3 4 Walker, Evelyn (1932), Un estudio del Traité des Indivisibles de Roberval , Universidad de Columbia(citado en Whitman 1943);
  16. ↑ Conner, James A. (2006), La apuesta de Pascal: El hombre que jugaba a los dados con Dios (1.ª ed.), HarperCollins, 224 págs. , ISBN   9780060766917
  17. ^ Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Cálculo (9ª ed.). Pearson Prentice Hall . pag. 532.ISBN​   9780131469686.
  18. ↑ Roberts, Charles (2018). Ecuaciones diferenciales elementales: aplicaciones, modelos y computación (2.ª ed. ilustrada). CRC Press. pág. 141. ISBN   978-1-4987-7609-7.Extracto de la página 141, ecuación (f) con su K =2 r
  19. ^ Varberg , Purcell y Rigdon (2007) , pág.534. 
  20. ↑ C. Huygens, "El reloj de péndulo o demostraciones geométricas sobre el movimiento de los péndulos (sic) aplicadas a los relojes", traducido por RJ Blackwell, Iowa State University Press (Ames, Iowa, EE. UU., 1986).
  21. ↑ 101 razones para amar Dartmouth , Revista de exalumnos de Dartmouth, 2016
  22. ↑ Playfair, Q. "Arqueo cicloide cortito en instrumentos de la familia del violín cremonese de la Edad de Oro". Catgut Acoustical Society Journal . II. 4 (7): 48– 58.
  23. ↑ Mottola, RM (2011). "Comparación de perfiles de arco de violines cremoneses de la Edad de Oro y algunas curvas generadas matemáticamente" . Savart Journal . 1 (1). Archivado del original el 11 de diciembre de 2017. Recuperado el 13 de agosto de 2012 .

Lecturas adicionales

  • Aplicación desde la física : Ghatak, A. y Mahadevan, L. Calle de grietas: la estela cicloidal de un cilindro que atraviesa una lámina. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
  • Edward Kasner y James Newman (1940) Matemáticas y la imaginación , págs. 196-200 , Simon & Schuster .
  • Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Nueva York: Penguin Books. págs. 445–47 . ISBN  0-14-011813-6.