Proceso cicloestacionario

Un proceso estocástico${\displaystyle x(t)}$de media${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$y función de autocorrelación:

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\operatorname {E} \{x(t+\tau )x^{*}(t)\},\,}$

donde la estrella denota conjugación compleja , se dice que es ciclostacionaria en sentido amplio con período${\displaystyle T_{0}}$si ambos${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]}$y${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$son cíclicos en${\displaystyle t}$con período${\displaystyle T_{0},}$es decir: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [x(t)]=\operatorname {E} [x(t+T_{0})]{\text{ para todo }}t}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=R_{x}(t+T_{0};\tau ){\text{ para todo }}t,\tau .}$

La función de autocorrelación es, por lo tanto, periódica en t y puede expandirse en series de Fourier :

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

dónde${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$se denomina función de autocorrelación cíclica y es igual a:

${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Las frecuencias${\displaystyle n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,}$se denominan frecuencias de ciclo .

Los procesos estacionarios en sentido amplio son un caso especial de procesos cicloestacionarios con solo${\displaystyle R_{x}^{0}(\tau )\neq 0}$.

Una señal que es simplemente una función del tiempo y no una trayectoria de muestra de un proceso estocástico puede exhibir propiedades de ciclostacionariedad en el marco del punto de vista de la fracción de tiempo . De esta manera, la función de autocorrelación cíclica se puede definir mediante: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Si la serie temporal es una trayectoria de muestra de un proceso estocástico, entonces es${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]}$. Si la señal es además cicloergódica, ^{[ 3 ]} todas las trayectorias de muestra exhiben los mismos promedios temporales cíclicos con probabilidad igual a 1 y por lo tanto${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$con probabilidad 1.

La transformada de Fourier de la función de autocorrelación cíclica a la frecuencia cíclica α se denomina espectro cíclico o función de densidad de correlación espectral y es igual a:

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

El espectro cíclico a frecuencia cíclica cero también se denomina densidad espectral de potencia promedio . Para un proceso cicloestacionario gaussiano, su función de distorsión de tasa puede expresarse en términos de su espectro cíclico. ^{[ 4 ]}

La razón${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)}$Se denomina función de densidad de correlación espectral, ya que es igual al límite, cuando el ancho de banda del filtro se aproxima a cero, del valor esperado del producto de la salida de un filtro pasabanda unilateral con frecuencia central${\displaystyle f+\alpha /2}$y el conjugado de la salida de otro filtro pasabanda unilateral con frecuencia central${\displaystyle f-\alpha /2}$, con ambas salidas del filtro desplazadas en frecuencia a una frecuencia central común, como cero, tal como se observó y demostró originalmente en ^{[ 5 ] .}

Para series temporales, la razón por la que la función de densidad espectral cíclica se denomina función de densidad de correlación espectral es que es igual al límite, cuando el ancho de banda del filtro se aproxima a cero, del promedio en todo el tiempo del producto de la salida de un filtro de paso de banda unilateral con frecuencia central${\displaystyle f+\alpha /2}$y el conjugado de la salida de otro filtro pasabanda unilateral con frecuencia central${\displaystyle f-\alpha /2}$, con ambas salidas del filtro desplazadas en frecuencia a una frecuencia central común, como cero, tal como se observó y demostró originalmente en ^{[ 6 ] .}

Un ejemplo de señal ciclostacionaria es la señal digital modulada linealmente  :

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})}$

dónde${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }$son variables aleatorias i.i.d. La forma de onda${\displaystyle p(t)}$, con transformada de Fourier${\displaystyle P(f)}$, es el pulso de soporte de la modulación.

Al asumir${\displaystyle \operatorname {E} [a_{k}]=0}$y${\displaystyle \operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}}$La función de autocorrelación es:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{aligned}}}$

La última suma es una suma periódica , por lo tanto una señal periódica en t . De esta manera,${\displaystyle x(t)}$es una señal ciclostacionaria con período${\displaystyle T_{0}}$y función de autocorrelación cíclica:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}/2-kT_{0}}^{T_{0}/2-kT_{0}}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}}$

con${\displaystyle *}$indicando convolución . El espectro cíclico es:

${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{*}\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).}$

Los pulsos de coseno elevado típicos adoptados en las comunicaciones digitales tienen, por lo tanto, solo${\displaystyle n=-1,0,1}$frecuencias cíclicas distintas de cero.

Este mismo resultado se puede obtener para el modelo de series temporales no estocásticas de señales digitales moduladas linealmente en el que la esperanza se reemplaza por un promedio de tiempo infinito, pero esto requiere un método matemático algo modificado como se observó y demostró originalmente en ^{[ 6 ] .}

Las señales mecánicas producidas por máquinas rotativas o alternativas se modelan notablemente bien como procesos cicloestacionarios. La familia cicloestacionaria acepta todas las señales con periodicidades ocultas, ya sean de tipo aditivo (presencia de componentes tonales) o de tipo multiplicativo (presencia de modulaciones periódicas). Este es el caso del ruido y la vibración producidos por mecanismos de engranajes, cojinetes, motores de combustión interna, turbofanes, bombas, hélices, etc. El modelado explícito de señales mecánicas como procesos cicloestacionarios ha resultado útil en varias aplicaciones, como en ruido, vibración y aspereza (NVH) y en monitoreo de condición . ^{[ 15 ]} En este último campo, se ha descubierto que la cicloestacionariedad generaliza el espectro de envolvente , una técnica de análisis popular utilizada en el diagnóstico de fallas en cojinetes.

Una peculiaridad de las señales de las máquinas rotativas es que el período del proceso está estrictamente vinculado al ángulo de rotación de un componente específico: el “ciclo” de la máquina. Al mismo tiempo, debe conservarse una descripción temporal para reflejar la naturaleza de los fenómenos dinámicos que se rigen por ecuaciones diferenciales del tiempo. Por lo tanto, se utiliza la función de autocorrelación ángulo-tiempo .

${\displaystyle R_{x}(\theta ,\tau )=\operatorname {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,}$

dónde${\displaystyle \theta }$significa ángulo,${\displaystyle t(\theta )}$para el instante de tiempo correspondiente al ángulo${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \tau }$para retardo de tiempo. Procesos cuya función de autocorrelación ángulo-tiempo exhibe un componente periódico en ángulo, es decir, tal que${\displaystyle R_{x}(\theta$ ;\tau )} tiene un coeficiente de Fourier-Bohr distinto de cero para algún período angular${\displaystyle \Theta }$, se denominan ciclostacionarias (en sentido amplio) de ángulo-tiempo. La transformada doble de Fourier de la función de autocorrelación de ángulo-tiempo define la correlación espectral de orden-frecuencia ,

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta }$

dónde${\displaystyle \alpha }$es un orden (unidad en eventos por revolución ) y${\displaystyle f}$una frecuencia (unidad en Hz).

Para una velocidad de rotación constante,${\displaystyle \omega }$, el ángulo es proporcional al tiempo,${\displaystyle \theta =\omega t}$En consecuencia, la autocorrelación ángulo-tiempo es simplemente una autocorrelación tradicional escalada por ciclicidad; es decir, las frecuencias del ciclo se escalan por${\displaystyle \omega }$Por otro lado, si la velocidad de rotación cambia con el tiempo, la señal deja de ser cicloestacionaria (a menos que la velocidad varíe periódicamente). Por lo tanto, no es un modelo para señales cicloestacionarias. Ni siquiera es un modelo para la cicloestacionariedad con distorsión temporal, aunque puede ser una aproximación útil para cambios suficientemente lentos en la velocidad de rotación. ^{[ 16 ]}