Identidad ciclotómica

En matemáticas , la identidad ciclotómica establece que

${\displaystyle {1 \sobre 1-\alpha z}=\prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \sobre 1-z^{j}}\right)^{M(\alpha ,j)}}$

donde M es la función de conteo de collares de Moreau ,

${\displaystyle M(\alpha ,n)={1 \sobre n}\sum _{d\,|\,n}\mu \left({n \sobre d}\right)\alpha ^{d},}$

y μ es la función clásica de Möbius de la teoría de números .

El nombre proviene del denominador, 1 −  z ^j , que es el producto de polinomios ciclotómicos .  

El lado izquierdo de la identidad ciclotómica es la función generadora del álgebra asociativa libre sobre generadores α, y el lado derecho es la función generadora del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre sobre generadores α. La identidad ciclotómica da testimonio del hecho de que estas dos álgebras son isomorfas.

También existe una generalización simétrica de la identidad ciclotómica encontrada por Strehl:

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \sobre 1-\alpha z^{j}}\right)^{M(\beta ,j)}=\prod _{j=1}^{\infty }\left({1 \sobre 1-\beta z^{j}}\right)^{M(\alpha ,j)}}$

• Metropolis, N.; Rota, Gian-Carlo (1984), "La identidad ciclotómica", en Greene, Curtis (ed.), Combinatorics and algebra (Boulder, Colo., 1983). Actas de la conferencia de investigación conjunta de verano AMS-IMS-SIAM celebrada en la Universidad de Colorado, Boulder, Colo., del 5 al 11 de junio de 1983., Contemp. Math., vol. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 19-27, ISBN 978-0-8218-5029-9, Sr.  0777692