Sistema de coordenadas cilíndricas

Un sistema de coordenadas cilíndricas es un sistema de coordenadas tridimensional que especifica la posición de los puntos alrededor de un eje principal (una línea dirigida elegida ) y un eje auxiliar (un rayo de referencia ). Las tres coordenadas cilíndricas son: la distancia perpendicular $ρ$ del punto al eje principal; la distancia con signo z del punto a lo largo del eje principal desde un origen elegido ; y el ángulo $φ$ de la proyección del punto sobre un plano de referencia (que pasa por el origen y es perpendicular al eje principal).

El eje principal se denomina indistintamente eje cilíndrico o eje longitudinal . El eje auxiliar se llama eje polar , que se encuentra en el plano de referencia, parte del origen y apunta en la dirección de referencia. Las demás direcciones perpendiculares al eje longitudinal se denominan líneas radiales .

La distancia al eje se denomina distancia radial o radio , mientras que la coordenada angular se conoce a veces como posición angular o acimut . El radio y el acimut se denominan conjuntamente coordenadas polares , ya que corresponden a un sistema de coordenadas polares bidimensional en el plano que pasa por el punto, paralelo al plano de referencia. La tercera coordenada se denomina altura ( si el plano de referencia se considera horizontal), posición longitudinal ^[¹^] o posición axial ^[²^] .

Las coordenadas cilíndricas son útiles en relación con objetos y fenómenos que presentan cierta simetría rotacional respecto al eje longitudinal, como el flujo de agua en una tubería recta de sección transversal redonda, la distribución del calor en un cilindro metálico , los campos electromagnéticos producidos por una corriente eléctrica en un cable largo y recto, los discos de acreción en astronomía, etc.

A veces se las denomina coordenadas polares cilíndricas ^{[ 3 ]} o coordenadas cilíndricas polares ^{[ 4 ]} , y en ocasiones se utilizan para especificar la posición de las estrellas en una galaxia ( coordenadas polares cilíndricas galactocéntricas ) ^[⁵^] .

Definición

Las tres coordenadas ( $ρ$ , $φ$ , $z$ ) de un punto $P$ se definen como:

La distancia radial $ρ$ es la distancia euclidiana desde el eje $z$ hasta el punto $P.$
El acimut $φ$ es el ángulo entre la dirección de referencia en el plano elegido y la línea que va desde el origen hasta la proyección de $P$ sobre el plano.
La coordenada axial o altura $z$ es la distancia con signo desde el plano elegido hasta el punto $P.$

Coordenadas cilíndricas únicas

Al igual que en coordenadas polares, el mismo punto con coordenadas cilíndricas $(ρ, φ, z)$ tiene infinitas coordenadas equivalentes, a saber, $(ρ, φ \pm n \times 360°, z)$ y $(-ρ, φ \pm (2n + 1) \times 180°, z),$ donde $n$ es cualquier número entero. Además, si el radio $ρ$ es cero, el acimut es arbitrario.

En situaciones en las que alguien desea un conjunto único de coordenadas para cada punto, se puede restringir el radio a que sea no negativo ( $ρ \geq 0$ ) y el acimut $φ a que se encuentre en un$ intervalo específico que abarque 360°, como $[-180°,+180°]$ o $[0,360°]$ .

Convenciones

La notación para coordenadas cilíndricas no es uniforme. La norma ISO 80000-2:2019 recomienda $(ρ, φ, z)$ , donde $ρ$ es la coordenada radial, $φ$ el acimut y $z$ la altura. Sin embargo, el radio también se suele denotar como $r$ o $s$ , el acimut como $θ$ o $t$ , y la tercera coordenada como $h$ o (si el eje cilíndrico se considera horizontal) $x$ , o cualquier letra específica del contexto.

En situaciones concretas, y en muchos ejemplos matemáticos, una coordenada angular positiva se mide en sentido contrario a las agujas del reloj vista desde cualquier punto con altura positiva.

Conversiones de sistemas de coordenadas

El sistema de coordenadas cilíndricas es uno de los muchos sistemas de coordenadas tridimensionales. Las siguientes fórmulas pueden utilizarse para convertir entre ellos.

Coordenadas cartesianas

Para la conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, conviene suponer que el plano de referencia de las primeras es el plano cartesiano $xy$ (con ecuación $z = 0$ ), y el eje cilíndrico es el eje cartesiano $z$ . Entonces, la coordenada $z$ es la misma en ambos sistemas, y la correspondencia entre las coordenadas cilíndricas $(ρ, φ, z)$ y cartesianas $(x, y, z)$ es la misma que para las coordenadas polares, es decir, ${\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}$ en una dirección, y ${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminado}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{si }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{si }}x<0{\text{ y }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)-\pi &{\mbox{si }}x<0{\text{ y }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$ en el otro. La función arcoseno es la inversa de la función seno , y se supone que devuelve un ángulo en el rango $[- ⁠ π / 2 ⁠, + ⁠ π / 2 ⁠]$ = $[-90°, +90°]$ . Estas fórmulas producen un acimut $φ$ en el rango $[-180°, +180°]$ .

Al usar la función arcotangente que también devuelve un ángulo en el rango $[- ⁠ π / 2 ⁠, + ⁠ π / 2 ⁠]$ = $[-90°, +90°]$ , también se puede calcular $\varphi$ sin computación $\rho$ primero ${\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminado}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{si }}x=0{\text{ y }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{si }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{si }}x<0{\text{ y }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{si }}x<0{\text{ y }}y<0\end{cases}}\end{aligned}}$ Para otras fórmulas, consulte el artículo Sistema de coordenadas polares .

Muchos lenguajes de programación modernos proporcionan una función que calcula el acimut correcto $φ$ , en el rango $(-π, π)$ , dados x e y , sin necesidad de realizar un análisis de casos como el anterior. Por ejemplo, esta función se llama atan2 ( y , x ) en el lenguaje de programación C y (atan y x ) en Common Lisp .

Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas (radio $r$ , elevación o inclinación $θ$ , acimut $φ$ ) se pueden convertir a coordenadas cilíndricas o viceversa, dependiendo de si $θ$ representa elevación o inclinación, de la siguiente manera:

Elementos de línea y volumen

En muchos problemas que involucran coordenadas polares cilíndricas, es útil conocer los elementos de línea y volumen; estos se utilizan en la integración para resolver problemas que involucran trayectorias y volúmenes.

El elemento de línea es $\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.$

El elemento de volumen es $\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

El elemento de superficie en una superficie de radio constante $ρ$ (un cilindro vertical) es $\mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

El elemento de superficie en una superficie de azimut constante $φ$ (un semiplano vertical) es $\mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.$

El elemento de superficie en una superficie de altura constante $z$ (un plano horizontal) es $\mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .$

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para gradiente , divergencia , rotacional y laplaciano : ${\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}$

Armónicos cilíndricos

Las soluciones a la ecuación de Laplace en un sistema con simetría cilíndrica se denominan armónicos cilíndricos .

Cinemática

En un sistema de coordenadas cilíndricas, la posición de una partícula se puede escribir como ^{[ 6 ].} ${\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.$ La velocidad de la partícula es la derivada temporal de su posición, ${\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},$ donde el término $\rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}$ Proviene de la fórmula de Poisson. ${\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}$ Su aceleración es ^{[ 6 ]} ${\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}$

Véase también

Referencias

↑ Krafft, C.; Volokitin, AS (1 de enero de 2002). "Interacción resonante de un haz de electrones con varias ondas híbridas inferiores" . Física de Plasmas . 9 (6): 2786–2797 . Bibcode : 2002PhPl....9.2786K . doi : 10.1063/1.1465420 . ISSN 1089-7674 . Consultado el 9 de febrero de 2013. ...en coordenadas cilíndricas $($ $r$ $,$ $θ$ $,$ $z$ $)$ ... y $Z$ $=$ $v$ $bz$ $t$ es la posición longitudinal... {{cite journal}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )
↑ Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). "Pares de vórtices solitarios en flujo de Couette viscoelástico". Physical Review Letters . 78 (8): 1460– 1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460 . S2CID 54814721. ... donde $r$ , $θ$ y $z$ son coordenadas cilíndricas ... en función de la posición axial...
↑ Szymanski, JE (1989). Matemáticas básicas para ingenieros electrónicos: modelos y aplicaciones . Guías tutoriales en ingeniería electrónica (n.º 16). Taylor & Francis. pág. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
↑ Nunn, Robert H. (1989). Mecánica de fluidos intermedia . Taylor & Francis. pág. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
^ Sparke, Linda Siobhan ; Gallagher, John Sill (2007). Galaxias en el universo: una introducción (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 37.ISBN 978-0-521-85593-8.
1 2 Taylor, John R. (2005). Mecánica clásica . Sausalito, California: University Science Books. pág. 29.

Lecturas adicionales

Morse, Philip M.; Feshbach , Herman (1953). Métodos de física teórica, Parte I. Nueva York : McGraw-Hill . págs. 656–657 . ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Margenau, Henry ; Murphy, George M. (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. pág . 178. ISBN 9780882754239LCCN 55010911 . OCLC 3017486 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Ciudad de Nueva York: McGraw-Hill. págs. 174–175 . LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Ciudad de Nueva York: Springer-Verlag . pag. 95.LCCN 67025285 .
Zwillinger, Daniel (1992). Manual de integración . Boston : Jones and Bartlett Publishers . pág. 113. ISBN 0-86720-293-9OCLC 25710023
Moon, P.; Spencer, DE (1988). «Coordenadas del cilindro circular (r, ψ, z)». Manual de teoría de campos, incluyendo sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª ed. corregida). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 12-17 , Tabla 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

Enlaces externos

"Coordenadas cilíndricas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
Descripción de coordenadas cilíndricas según MathWorld
Animaciones de coordenadas cilíndricas que ilustran las coordenadas cilíndricas, por Frank Wattenberg.

[1] Krafft, C.; Volokitin, AS (1 de enero de 2002). "Interacción resonante de un haz de electrones con varias ondas híbridas inferiores" . Física de Plasmas . 9 (6): 2786–2797 . Bibcode : 2002PhPl....9.2786K . doi : 10.1063/1.1465420 . ISSN 1089-7674 . Consultado el 9 de febrero de 2013. ...en coordenadas cilíndricas $($ $r$ $,$ $θ$ $,$ $z$ $)$ ... y $Z$ $=$ $v$ $bz$ $t$ es la posición longitudinal... {{cite journal}}: CS1 maint: servicio de archivado obsoleto ( enlace )

[2] Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). "Pares de vórtices solitarios en flujo de Couette viscoelástico". Physical Review Letters . 78 (8): 1460– 1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G . doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460 . S2CID 54814721. ... donde $r$ , $θ$ y $z$ son coordenadas cilíndricas ... en función de la posición axial...

[3] Szymanski, JE (1989). Matemáticas básicas para ingenieros electrónicos: modelos y aplicaciones . Guías tutoriales en ingeniería electrónica (n.º 16). Taylor & Francis. pág. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.

[4] Nunn, Robert H. (1989). Mecánica de fluidos intermedia . Taylor & Francis. pág. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.

[5] Sparke, Linda Siobhan ; Gallagher, John Sill (2007). Galaxias en el universo: una introducción (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 37.ISBN 978-0-521-85593-8.

[Taylor-6] 1 2 Taylor, John R. (2005). Mecánica clásica . Sausalito, California: University Science Books. pág. 29.

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