Gráfico de Durero

En el campo matemático de la teoría de grafos , el grafo de Durero es un grafo no dirigido con 12 vértices y 18 aristas. Recibe su nombre de Alberto Durero , cuyo grabado de 1514 , Melancolía I, incluye una representación del sólido de Durero , un poliedro convexo cuyo esqueleto está formado por el grafo de Durero . El sólido de Durero es uno de los cuatro únicos poliedros convexos simples bien estudiados .

El sólido de Durero es combinatoriamente equivalente a un cubo con dos vértices opuestos truncados , ^{[ 1 ]} aunque la representación que hace Durero no es de esta forma, sino más bien como un romboedro truncado o un trapezoedro triangular truncado . ^{[ 2 ]} La geometría exacta del sólido representado por Durero es objeto de cierto debate académico, con diferentes valores hipotéticos para sus ángulos agudos que van desde 72° hasta 82°. ^{[ 3 ]}

La sólida obra de Durero

Melancolía I de Albrecht Dürer, la primera aparición del sólido de Dürer en 1514.

El grafo de Dürer es el grafo formado por los vértices y aristas del sólido de Dürer. Es un grafo cúbico de circunferencia 3 y diámetro 4. Además de su construcción como esqueleto del sólido de Dürer, se puede obtener aplicando una transformación Y-Δ a los vértices opuestos de un grafo cúbico , o como el grafo de Petersen generalizado G (6,2). ^{[ 4 ]} Como cualquier grafo de un poliedro convexo , el grafo de Dürer es un grafo planar simple con 3 vértices conexos .

El grafo de Dürer es un grafo bien cubierto , lo que significa que todos sus conjuntos independientes máximos tienen el mismo número de vértices, cuatro. Es uno de los cuatro grafos poliédricos cúbicos bien cubiertos y uno de los siete grafos cúbicos 3-conexos bien cubiertos . Los únicos otros tres poliedros convexos simples bien cubiertos son el tetraedro , el prisma triangular y el prisma pentagonal . ^{[ 5 ]}

El grafo de Dürer es hamiltoniano , con notación LCF [−4, 5, 2, −4, −2, 5; −]. ^{[ 6 ]} Más precisamente, tiene exactamente seis ciclos hamiltonianos, cada par de los cuales puede mapearse entre sí mediante una simetría del grafo. ^{[ 7 ]}

El grafo de Dürer es un grafo de distancia unitaria . Sin embargo, aunque el grafo de Dürer es planar, su incrustación de distancia unitaria tiene cruces. Por lo tanto, es un grafo planar de distancia unitaria que no es un grafo de cerillas . ^{[ 8 ]}

El grupo de automorfismos tanto del grafo de Dürer como del sólido de Dürer (ya sea en la forma de cubo truncado o en la forma mostrada por Dürer) es isomorfo al grupo diedral de orden 12, denotado D ₆ .

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  El índice cromático del gráfico de Durero es 3.
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  El número cromático del gráfico de Durero es 3.
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  El grafo de Dürer es hamiltoniano .

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