esferas de diente de león

En geometría , las esferas de Dandelin son una o dos esferas tangentes tanto a un plano como a un cono que interseca dicho plano. La intersección del cono y el plano es una sección cónica , y el punto donde cualquiera de las esferas toca el plano es un foco de la sección cónica; por lo tanto, las esferas de Dandelin también se denominan a veces esferas focales . ^{[ 1 ]}

Las esferas de Dandelin fueron descubiertas en 1822. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Reciben su nombre en honor al matemático francés Germinal Pierre Dandelin , aunque a veces también se le atribuye parte del mérito a Adolphe Quetelet . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Las esferas de Dandelin pueden utilizarse para proporcionar elegantes demostraciones modernas de dos teoremas clásicos conocidos por Apolonio . El primer teorema establece que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse ) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. El segundo teorema establece que, para cualquier sección cónica, la distancia a un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia a una recta fija (la directriz ), y la constante de proporcionalidad se denomina excentricidad . ^{[ 6 ]}

Una sección cónica tiene una esfera de Dandelin por cada foco. Una elipse tiene dos esferas de Dandelin que tocan la misma napa del cono, mientras que una hipérbola tiene dos esferas de Dandelin que tocan napas opuestas. Una parábola tiene solo una esfera de Dandelin.

Consideremos la ilustración que muestra un cono con vértice S en la parte superior. Un plano e interseca el cono describiendo una curva C (con interior azul). La siguiente demostración mostrará que la curva C es una elipse.

Las dos esferas marrones de Dandelin, G ₁ y G ₂ , se colocan tangentes tanto al plano como al cono: G ₁ por encima del plano, G ₂ por debajo. Cada esfera toca el cono a lo largo de un círculo (coloreado de blanco),${\displaystyle k_{1}}$y${\displaystyle k_{2}}$.

Denotemos el punto de tangencia del plano con G ₁ por F ₁ , y de manera similar para G ₂ y F ₂ . Sea P un punto típico en la curva C .

Demostrar: La suma de distancias${\displaystyle d(P,F_{1})+d(P,F_{2})}$permanece constante a medida que el punto P se mueve a lo largo de la curva de intersección C. (Esta es una definición de que C sea una elipse, con${\displaystyle F_{1}}$y${\displaystyle F_{2}}$siendo sus focos.)

• Una línea que pasa por P y el vértice S del cono interseca los dos círculos, tocando G ₁ y G ₂ respectivamente en los puntos P ₁ y P ₂ .
• A medida que P se mueve alrededor de la curva, P ₁ y P ₂ se mueven a lo largo de los dos círculos, y su distancia d ( P ₁ , P ₂ ) permanece constante. 
• La distancia de P a F ₁ es la misma que la distancia de P a P ₁ , porque los segmentos de línea PF ₁ y PP ₁ son ambos tangentes a la misma esfera G ₁ .
• Mediante un argumento simétrico, la distancia de P a F ₂ es la misma que la distancia de P a P ₂ .
• En consecuencia, calculamos la suma de distancias como${\displaystyle d(P,F_{1})+d(P,F_{2})\ =\ d(P,P_{1})+d(P,P_{2})\ =\ d(P_{1},P_{2}),}$que es constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva.

Esto proporciona una demostración diferente de un teorema de Apolonio de Perga . ^{[ 6 ]}

Si definimos una elipse como el lugar geométrico de los puntos P tales que d ( F₁ , P ) + d ( F₂ , P ) = una constante, entonces el argumento anterior demuestra que la curva de intersección C es _{, en efecto ,} una elipse. Que la intersección del plano con el cono sea simétrica respecto a la mediatriz del segmento que pasa por _F₁ y F₂ puede resultar contraintuitivo, pero este argumento lo aclara.    

Adaptaciones de este argumento funcionan para hipérbolas y parábolas como intersecciones de un plano con un cono. Otra adaptación funciona para una elipse realizada como la intersección de un plano con un cilindro circular recto .

La directriz de una sección cónica se puede hallar mediante la construcción de Dandelin. Cada esfera de Dandelin interseca el cono en un círculo; consideremos que ambos círculos definen sus propios planos. Las intersecciones de estos dos planos paralelos con el plano de la sección cónica serán dos líneas paralelas; estas líneas son las directrices de la sección cónica. Sin embargo, una parábola tiene una sola esfera de Dandelin y, por lo tanto, una sola directriz.

Utilizando las esferas de Dandelin, es posible realizar una demostración de la parábola , que establece que es el lugar geométrico de los puntos para los cuales la distancia a un punto (foco) es igual a la distancia a la directriz, así como una demostración más general de que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos donde las distancias mantienen una proporción constante. ^{[ 7 ]} Los matemáticos griegos antiguos, como Papo de Alejandría, conocían esta propiedad, pero las esferas de Dandelin facilitan la demostración. ^{[ 6 ]}

Ni Dandelin ni Quetelet utilizaron las esferas de Dandelin para demostrar la propiedad foco-directriz. El primero en hacerlo pudo haber sido Pierce Morton en 1829, ^{[ 8 ]} o quizás Hugh Hamilton, quien observó (en 1758) que una esfera toca el cono en un círculo que define un plano cuya intersección con el plano de la sección cónica es una directriz. ^{[ 1 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} La propiedad foco-directriz puede utilizarse para demostrar que los objetos astronómicos se mueven a lo largo de secciones cónicas alrededor del Sol. ^{[ 12 ]}

• Página de Dandelin Spheres por Hop David
• Weisstein, Eric W. "Esferas de diente de león" . MundoMatemático .
• Página de la Academia de Matemáticas sobre las esferas de Dandelin. Archivada el 11 de abril de 2007 en la Wayback Machine.
• Les théorèmes belges de Xavier Hubaut (en francés).
• Órbitas de sección cónica: esferas de diente de león por Greg Egan