Esferas de diente de león

En geometría , las esferas de Dandelin son una o dos esferas que son tangentes tanto a un plano como a un cono que interseca el plano. La intersección del cono y el plano es una sección cónica , y el punto en el que cualquiera de las esferas toca el plano es un foco de la sección cónica, por lo que las esferas de Dandelin también se denominan a veces esferas focales . ^[1]

Las esferas de Dandelin fueron descubiertas en 1822. ^{[1] [2]} Se llaman así en honor al matemático francés Germinal Pierre Dandelin , aunque a veces también se le atribuye parcialmente el mérito a Adolphe Quetelet . ^{[3] [4] [5]}

Las esferas de Dandelin se pueden utilizar para dar elegantes demostraciones modernas de dos teoremas clásicos conocidos por Apolonio de Perga . El primer teorema es que una sección cónica cerrada (es decir, una elipse ) es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. El segundo teorema es que para cualquier sección cónica, la distancia desde un punto fijo (el foco) es proporcional a la distancia desde una línea fija (la directriz ), siendo la constante de proporcionalidad llamada excentricidad . ^[6]

Una sección cónica tiene una esfera de Dandelin por cada foco. Una elipse tiene dos esferas de Dandelin que tocan la misma napa del cono, mientras que una hipérbola tiene dos esferas de Dandelin que tocan napas opuestas. Una parábola tiene solo una esfera de Dandelin.

Considere la ilustración, que representa un cono con el vértice S en la parte superior. Un plano e interseca el cono en una curva C (con el interior azul). La siguiente prueba mostrará que la curva C es una elipse.

Las dos esferas marrones de Dandelin, G ₁ y G ₂ , se colocan tangentes tanto al plano como al cono: G ₁ encima del plano, G ₂ debajo. Cada esfera toca el cono a lo largo de un círculo (de color blanco) y . $estilo de visualización k_{1}$$estilo de visualización k_{2}$

Denotemos el punto de tangencia del plano con G ₁ por F ₁ , y de manera similar para G ₂ y F ₂ . Sea P un punto típico en la curva C .

Para demostrar: La suma de distancias permanece constante a medida que el punto P se mueve a lo largo de la curva de intersección C. (Esta es una definición de C como una elipse, con y siendo sus focos). ${\displaystyle d(P,F_{1})+d(P,F_{2})}$$Estilo de visualización F_{1}$$Estilo de visualización F_{2}$

• Una línea que pasa por P y el vértice S del cono interseca los dos círculos, tocando G ₁ y G ₂ respectivamente en los puntos P ₁ y P ₂ .
• A medida que P se mueve alrededor de la curva, P ₁ y P ₂ se mueven a lo largo de los dos círculos y su distancia d ( P ₁ ,  P ₂ ) permanece constante.
• La distancia de P a F ₁ es la misma que la distancia de P a P ₁ , porque los segmentos de línea PF ₁ y PP ₁ son ambos tangentes a la misma esfera G ₁ .
• Por un argumento simétrico, la distancia de P a F ₂ es la misma que la distancia de P a P ₂ .
• En consecuencia, calculamos la suma de distancias como que es constante a medida que P se mueve a lo largo de la curva.${\displaystyle d(P,F_{1})+d(P,F_{2})\ =\ d(P,P_{1})+d(P,P_{2})\ =\ d(P_{1},P_{2}),}$

Esto da una prueba diferente de un teorema de Apolonio de Perge . ^[6]

Si definimos una elipse como el lugar geométrico de los puntos P tales que d ( F ₁ ,  P ) +  d ( F ₂ ,  P ) = una constante, entonces el argumento anterior demuestra que la curva de intersección C es de hecho una elipse. Que la intersección del plano con el cono sea simétrica respecto de la bisectriz perpendicular de la línea que pasa por F ₁ y F ₂ puede ser contraintuitivo, pero este argumento lo deja claro.

Las adaptaciones de este argumento funcionan para hipérbolas y parábolas como intersecciones de un plano con un cono. Otra adaptación funciona para una elipse realizada como la intersección de un plano con un cilindro circular recto .

La directriz de una sección cónica se puede hallar mediante la construcción de Dandelin. Cada esfera de Dandelin interseca al cono en un círculo; ambos círculos definen sus propios planos. Las intersecciones de estos dos planos paralelos con el plano de la sección cónica serán dos líneas paralelas; estas líneas son las directrices de la sección cónica. Sin embargo, una parábola tiene solo una esfera de Dandelin y, por lo tanto, tiene solo una directriz.

Utilizando las esferas de Dandelin, se puede demostrar que cualquier sección cónica es el lugar geométrico de los puntos para los cuales la distancia desde un punto (foco) es proporcional a la distancia desde la directriz. ^[7] Los matemáticos griegos antiguos como Pappus de Alejandría conocían esta propiedad, pero las esferas de Dandelin facilitan la prueba. ^[6]

Ni Dandelin ni Quetelet utilizaron las esferas de Dandelin para demostrar la propiedad foco-directriz. El primero en hacerlo pudo haber sido Pierce Morton en 1829, ^[8] o quizás Hugh Hamilton, quien observó (en 1758) que una esfera toca el cono en un círculo que define un plano cuya intersección con el plano de la sección cónica es una directriz. ^{[1] [9] [10] [11]} La propiedad foco-directriz puede utilizarse para demostrar que los objetos astronómicos se mueven a lo largo de secciones cónicas ^{[ ancla rota ]} alrededor del Sol. ^[12]

• Página de esferas de diente de león de Hop David
• Weisstein, Eric W. "Esferas de diente de león". MundoMatemático .
• Página de la Academia de Matemáticas sobre las esferas de Dandelin Archivado el 11 de abril de 2007 en Wayback Machine
• Les théorèmes belges de Xavier Hubaut (en francés).
• Órbitas de secciones cónicas: esferas de Dandelin de Greg Egan