Cíclica de Darboux

Una ciclídea de Darboux es una superficie algebraica de grado como máximo 4 que contiene múltiples familias de círculos . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Nombradas en honor al matemático francés Gaston Darboux, quien estudió estas superficies en 1880, las ciclídeas de Darboux son un superconjunto de las ciclídeas y cuádricas de Dupin . Estas superficies tienen aplicaciones en geometría arquitectónica y diseño geométrico asistido por computadora (DGA). ^{[ 1 ] [ 3 ]}

Una ciclida de Darboux se define como una superficie cuya ecuación en un sistema de coordenadas cartesianas tiene la forma

${\displaystyle \lambda (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+(x^{2}+y^{2}+z^{2})L(x,y,z)+Q(x,y,z)=0}$

dónde${\displaystyle \lambda }$es una constante,${\displaystyle L(x,y,z)=\mu x+\nu y+\kappa z}$es un polinomio de grado 1, y${\displaystyle Q}$es un polinomio de grado como máximo 2 con coeficientes que no se anulan simultáneamente. Si el lado izquierdo de esta ecuación se factoriza en polinomios no constantes con coeficientes complejos , la ciclada de Darboux se denomina ciclada reducible . Una ciclada reducible se divide en una unión de esferas/planos o degenera en una curva en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

El estudio matemático de las cíclidas de Darboux comenzó con el trabajo de Ernst Kummer en 1865, seguido de importantes contribuciones de Gaston Darboux en 1880. ^{[ 2 ]} Julian Coolidge ofreció un análisis exhaustivo de estas superficies en su monografía de 1916. Tras un período de menor interés, los geómetras redescubrieron estas superficies a finales del siglo XX, particularmente debido a su notable propiedad de contener múltiples familias de círculos. ^{[ 1 ]}

Las ciclides de Darboux pueden contener hasta seis familias de círculos reales . Es decir, estos círculos se encuentran completamente dentro de la superficie ; están contenidos en ella como parte de su estructura geométrica. Estas familias de círculos se manifiestan en dos tipos distintos. El primer tipo consiste en familias emparejadas, donde dos familias de círculos están relacionadas de tal manera que cualquier esfera que pase por un círculo de una familia interseca la ciclid en un círculo de la otra familia. El segundo tipo comprende familias simples, que surgen cuando la ciclid se genera como una superficie de canal (la envoltura de una familia de esferas de un parámetro). ^{[ 1 ]}

Una esfera de Möbius (también conocida como esfera M )${\displaystyle S}$es el conjunto dado por la ecuación${\displaystyle \lambda \mathbf {x} ^{2}+ax+by+cz+d=0}$, dónde${\displaystyle \lambda ,a,b,c,d}$no desaparecen simultáneamente. Las ciclides de Darboux pueden exhibir simetría con respecto a hasta cinco esferas de Möbius ortogonales por pares , aunque al menos una de estas esferas debe ser imaginaria; es decir, una M -esfera no tiene puntos reales. ^{[ 1 ]}

Las ciclídes de Darboux lisas se pueden clasificar topológicamente en tres categorías distintas: superficies esféricas , superficies toroidales y configuraciones formadas por dos esferas. ^{[ 1 ]}

En geometría arquitectónica , las cíclidas de Darboux se han aplicado en la racionalización de estructuras de forma libre : el proceso de tomar un diseño arquitectónico complejo de forma libre y descomponerlo en partes que se pueden fabricar y construir manteniendo la intención artística del diseñador. Su capacidad para albergar múltiples familias de círculos hace que las cíclidas de Darboux sean particularmente útiles en el diseño de estructuras de arco circular y en la creación de paneles y elementos de soporte en superficies arquitectónicas. Las propiedades geométricas de las cíclidas de Darboux permiten procesos de fabricación eficientes y estabilidad estructural en los diseños arquitectónicos. ^{[ 1 ]}

• Cíclido de Dupin
• Geometría de Möbius
• Superficie algebraica
• Geometría arquitectónica